高中数学必修一知识点总结

1、jz*高一数学知识总结必修一' 伟一、集合有关概念1 .集合的含义2 .集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y(3)元素的无序性:如：a,b,甲口a,c,b提表示同一个集合3.集合的表示：如：我校的篮球队员, 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集 N*或N+ 整数集Z有理数集Q实数集R列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的

2、方法。例如：a,b,c(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。x R| x-3>2 ,x| x-3>2 (3)语言描述法：例：不是直角三角形的三角形(4)Venn图：韦恩图(文氏图)是用一条封闭的曲线的内部来表 示一个集合的方法。4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1 .“包含"关系一子集注意：A B有两种可能（1） A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或

3、B A2 .“相等”关系：A=B （5>5,且 5&5,则 5=5）实例：设A=x|X-1=0 B=-1,1“元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。A A真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A? B（或B W A）如果A B, B C那么A C如果A B 同时B A那么A=B3 .不含任何元素的集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。含有n个元素的集合的子集的共有2n个；真子集共有2n 1个：非空真子集共有2n 2.集合的基本运算运算 回交 集并集补集士 7E义由所有属于A且属 于B的元素所组成 的集合，

4、叫做A,B的交集.记作A B（读 作A交B'）,即 A B= x|x A,且 x B.由所有属于集合A或 属于集合B的元素所 组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B（读作地并8'）,即A B =x|x A,或x B）.设S是一个集合，A是S的一 个子集，由S中所扃小属十A 的元素组成的集合，叫做 S中 子集A的补集（或余集）记作CSA,即 SCsA=x|x Sjlx A韦 恩 图 示c注图1图2性质A A=AA 二A B=B AABAABBA A=AA 二人A B=B AABAABB(CuA)(CuB)= CU (A B)(CuA)(CuB)= G(A B)A (CA)=U

5、A(CuA)=.容斥原理 有限集A的兀素个数记作card(A)对于明个有限集A, B,有card(AU B)= card(A)+card(B)- card(A A B).重点习题：注意：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个或多个集合的交集，有助于解题1 .求方程x2 x 1 0的解集；2 .设 A 4,2a 1,a2，B 9,a 5,1 a，已知 Ap B 9 ,则实数 a 。3 .设关于x的方程x2 px 12 0,x2 qx r 0的解集分别为 A, B,若aUb3,4 ,AIB3 ,求 p,q,r 的值。4 .设 A=x

6、|x2+ax+b=0,B=x|1+cx+15=0,又 A B=3, 5, An B=3,求实数 a,b,c 的值.5 .设 A xx2 px q 0,x R,M 1,3,5,7,9,n1,4,7,10。若 A N A, A M求p,q的值。6 .设 Axx2 4x 0 , Bxx2 2(a 1)x a2 1 0 B(1)若Al BB ,求a的值；(2)若AljBB,求a的值.7 .某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%,电视机拥有率为 85%,洗衣机拥有率为44%,至少拥有上述三种电器中两种以上的占63%,三种电器齐全的为 25%,那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少？二、

7、函数(一)函数定义域、值域求法综合设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f ：A B为从集合A到集合 B的一个函数(function),记作y f(x), x A ,其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做 函数的定义域(domain),与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 f (x) x A叫做函数的值域(range)。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；(1)对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“ y是x的函数”，绝对不能理解为“ y等于f与 x的乘积”，在不同

8、的函数中，f的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号 f(a)来表示。如函数 f(x)=x2+3x+1，当 x=2 时的函数值是：f(2)=22+3>2+1=11。注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。(2)定义域是自变量 x的取值范围；注意：定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如

9、：y=x2(x R)与 y=x2(x>0); y=1 与 y=x0若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为 xm,长是宽的2倍，其面积为y=2x：此函数的定义域为x>0,而不是x R。(3)值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。(求值域通常用 观察法、配方法、代换法 )定义域的求法：当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那

10、么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际 意义的实数的集合。函数的三种表示方法(1)解析法(将两个变量的函数关系，用一个等式表示)：如 y 3x2 2x 1,Sr2,C 2 r,S 6t2 等。(2)列表法(列出表格表示两个变量的函数关系)：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国

11、民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。(3)图象法(用图象来表示两个变量的函数关系)(二)函数奇偶性与单调性问题的解题策略一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值XI、X2,当X1 X2时都有f(xi)< f(X2).那么就说f(X)在这个区间上是 增函数(increasing function)。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值XI、X2,当X1<X2时都有f(Xl)>f(X2).那么就是f(X)在这个区间上是 减函数(decreasing function)。如果函数y=f(X)

12、在某个区间是增函数或减函数，那么就说函说y=f(X)在这一区间具有(严 格的)单调性，这一区间叫做y=f(X)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。l1.函数最大值与最小值的含义一般地，设函数 y f(X)的定义域为I ,如果存在实数 M满足：(1)对于任意的X I ,都有f(X) M ;(2)存在 X0I ,使得 f (X。) M 。那么，我们称 M是函数y f (x)的最大值(maximum value).2 .二次函数在给定区间上的最值利用二次函数的性质求最值对二次函数y ax2 bx c(a 0)来说，若给定区间是(，)，则当a 0时，函.2. 2数有最小

13、值是4ac b ,当a 0时，函数有最大值是 4ac b ；若给定区间是a,b,则4a4a必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值。利用图像求函数的最值利用函数的单调性求最值3 .一般地，(板书)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,者B有f(-x)= f(x),那么函数f(x) 就叫做偶函数(even function)。(图像关于 y轴对称)4 .一般地，(板书)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有f ( X)f(X)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function) o (图像关于原点对称)注意：奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；偶函数在两个对称区

14、间内的单调性是相反的；(三)函数解析式的表达求函数解析式的常用方法有：1、待定系数法例1、(1)已知二次函数f(x)满足f(1) 1, f( 1) 5,图象过原点，求 f(x)；(2)已知二次函数f (x),其图象的顶点是(1,2),且经过原点，f (x).解：（1）由题意设 f（x） ax2 bx c,2 f(1) 1，f( 1)a b c 13 a b c 5c 024 f (x) 3x2 2x .(2)由题意设f (x)又图象经过原点，5 ,且图象过原点,a 3 b 2c 02_a(x 1)2,f (0) 0, a 2 0 得 a 2 -_ 2f(x)2x4x .说明：（1）已知函数类型

15、，求函数解析式，常用“待定系数法”（2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数2、代入法例2、根据已知条件，求函数表达式.(1)已知 f (x) x2 4x 3 ,求 f (x 1).(2)已知 f(x) 3x2 1, g(x) 2x 1,求 fg(x)和 gf(x).解：(1) f(x) x2 4x 322 f (x 1) (x 1)2 4(x 1) 3 x2 2x .，一、 一2(2) f(x) 3x2 1, g(x) 2x 1_2_2_2_fg(x) 3g(x)1 3(2x 1)1 12x12x 42_ 2 g f (x) 2f (x

16、) 1 2(3x1) 1 6x 1说明：已知f(x)求fg(x),常用“代入法”.基本方法：将函数f(x)中的x用g(x)来代替，化简得函数表达式.3、配凑法与换元法：例 3、(1)已知 f(x 1) x2 2x,求 f(x).(2)已知 f(Jx 1) x 2豉，求 f(x 1).解：(1)法一配凑法：-2_22_ f (x 1) (x 1) 2x 1 2x (x 1) 4x 1 (x 1)4(x 1) 32f (x) x2 4x 3.法二换元法:令 x 1 t ,则 x t 1 ,f(t) (t 1)2 2(t 1) t2 4t 3f (x) x2 4x 3 .(2)设 u & 1

17、 1,则 Tx=u 1, x (u 1)2于是 f(u) (u 1)2 2(u 1) u2 1(u 1)1 f (x) x2 1(x 1)1 f (x1)(x1)2 1x22x( x 1 1)即 f(x1)x22x(x0).说明：已知fg(x)求f(x)的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉 及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围.4、构造方程法例 3、已知 f(x)满足 2 f (x) fp) 3x,求 f(x).x一1一解：: 2f (x) f (-) 3x x1将中x换成1得x2 f (1) f (x) 3(-) 一 xx3 X2-得 3f (x) 6x -xr1 f(

18、x) 2x x说明：已知“*)与f( x),或f(x)与f(2)之间的关系式，求f(x)的解析式，可通x过“互换”关系构造方程的方法，消去 f ( x)或f (1)，解出f (x).x(三)包成立问题的求解策略主要讨论二次函数问题(四)反函数的几种题型及方法反函数的定义一般地，设函数 y f(x)(x A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x= (y).若对于y在C中的任何一个值，通过 x= (y), x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (y C)叫做函数y f(x)(x A)的反函数，记作x

19、f 1( y),习惯上改写成y f 1(x)1 .求反函数的基本步骤：一求值域：求原函数的值域二反解：视y为常量，从y f x中解出唯一表达式 x f 1 y ,三对换：将x与y互换，得y f 1 x ,并注明定义域。2 .反函数y f 1 x与原函数y f x的关系：性质1、y f 1 x的定义域、值域分别为 y f x的值域、定义域。性质2、若y f x存在反函数，且 y f x为奇函数，则y f 1 x也为奇函数。性质3、若y f x为单调函数，则y f1x同y f x有相同的单调性。性质4、y f x和y f 1 x在同一直角坐标系中，图像关于y x对称。探讨1：所有函数都有反函数吗？

20、为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数y f(x)来说，不一定有反函数，如 y x2,只有“ 一一映射”确定的函数才有反函数，y x2, x 0,)有反函数是y Vx探讨2:互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数 y f(x)是定义域 A到值域 C的映射，而它的反函数y f 1(x)是集合C到集合 A的映射，因此，函数 y f(x)的定义域正好是它的反函数y f1(x)的值域；函数y f(x)的值域正好是它的反函数y f1(x)的定义域f f 1(x) x, f 1 f(x) x (如下表)：函数y f(x)反函数y f 1(x)定义域A

21、C值域CA探讨3: y f 1(x)的反函数是?若函数y f(x)有反函数yf 1(x),那么函数y f 1(x)的反函数就是y f (x),这就是说，函数y f(x)与 y f1 .(x)互为反函数.已知fx 310g21 ,(对数函数形式)R,10g2 x则 lOg2x2y 12y2x例2:已知2x(指数函数形式)解：令y2x 2y的值域为2xlOg 2ylog 2y 1log2x 1 2 x 1例3:已知(根式形式)101y2 1.01 x2例4:x 12x 11 一一一，1的反函数2(分式形式)解：由题意知，yy 2x 1y 12y 1原函数的反函数为x 12x 1例5、已知f x 1

22、x2 2x 1 x 1,2 ,求f x的反函数(二次函数形式)解：；1 x 22 x 1 3 令tx t 1所以原函数可化为22t 12 t 1 1 t2 2 即 f x2x2 2 2 x 32y f x x 2(2 y7)jz*所以f x的反函数f 1 XVx-2 2x7例6、求的反函数（分段函数形式）解：x0时,x/y(y0）则y的反函数为0)0时,1y 2x则 x 2y (y 0）则y的反函数为2x xjz*所以原函数的泛函数y ' x （x 0）2x x 0注：求分段函数的反函数要分段求，最后要用分段函数的形式表示出来利用反函数求值（性质一的应用）例7、已知f x21 x2解一

23、：先求反函数.2解：令y1 x2得x2故f x的反函数为x1 2解二：根据性质-2解：-21 x28、已知f xk的图像过点1.3x的图像过2,0点，求的表达式。图像过点图像过点 0,2又1 y的图像过点1,3 ,x2x利用图像（性质四的应用）例9:已知函数2x 1x ax a1一，x2a的图像关于直线 y x对称，求a的值解：由题意f x的图像关于直线 y x对称，则f x1 ay x x 21 1 ax 2x 1得=解得a 2x 2 x a. 2x 1令 y f x (y 2) y x a 2x 1x a所以 f 1 x 1ax x 2 由 f x f 1 x x 2(五)二次函数根的问题

24、一一一题多解&指数函数y=aAx运算规律：aAa*aAb=aAa+b(a>0,a b 属于 Q)(aAa)Ab=aAab(a>0,a b 属于 Q)(ab)Aa=aAa*bAa(a>0p b 属于 Q)指数函数图像对称规律：1、函数y=aAx与y=aA-x关于y轴对称2、函数y=aAx与y=-aAx关于x轴对称3、函数y=aAx与y=-aA-x关于坐标原点对称指数函数问题解决方法：1 .比较大小例 1 已知函数 f(x) x2 bx c 满足 f(1 x) f (1 x),且 f(0) 3,则 f(bx)与 f(cx) 的大小关系是.分析：先求b, c的值再比较大小，

25、要注意 bx, cx的取值是否在同一单调区间内.解： f (1 x) f (1 x),，函数f (x)的对称轴是x 1 .故 b 2 ,又 f (0) 3 , . c 3 .，函数f (x)在8上递减，在1, 8上递增.若 x>0 ,则 3x>2x>1 , f (3x) > f (2x)；若 x 0,则 3x 2x 1 ,f(3x)f(2x).综上可得 f(3x)> f(2x),即 f(cx)> f(bx).评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论.2 .求解有关指数不等式例2

26、已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x,则x的取值范围是 .分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围.解：a2 2a 5 (a 1)2 4>4 1,，函数y (a2 2a 5)x在(8, oo)上是增函数，1 13x 1 x ,解得x - .，x的取值范围是 一，8 44评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式， 并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论.3 .求定义域及值域问题例3求函数y J1 6x 2的定义域和值域.解：由题意可得1 6x 2>0 ,即6x2 0 1 ,x 200,故*02. 函数f (x

27、)的定义域是8,2.令t 6x 2,则y Ui ,又x< 2 , . x 2< 0.0 6x 2 W 1 ,即 0 t < 1 .0< 1 t 1 ,即 0 0 y 1 .函数的值域是 0,1 .评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响.4 .最值问题例4 函数y a2x 2ax 1(a 0且a 1)在区间1,1上有最大值 14,则a的值是分析：令t ax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围.解：令t ax,则t 0,函数y a2x 2ax 1可化为y (t 1)2 2 ,其对称轴为t 1 .当 a 1 时，: x1,1 ,ax

28、a ,即1& t W a . aa，当 t a时，ymax (a 1)2 2 14.解得a 3或a 5 （舍去）；当 0 a 1 时，: x 11 ,.a < ax < J. , IP a < t < , aa21 ,1- t时，ymax-1214，aa111斛得a 或a （舍去），a的值是3或-. 353评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代 入等.5.解指数方程例5解方程3x 2 32 x 80.解：原方程可化为9 （3x）2 80 3x 9 0,令t 3x（t 0）,上述方程可化为21x9t2 80t 9 0 ,解得t

29、9或t （舍去），3x 9 ,，x 2 ,经检验原方程的解是 x 2 . 9评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根.6.图象变换及应用问题例6为了得到函数y 9 3x 5的图象，可以把函数y 3x的图象（）.A.向左平移9个单位长度，再向上平移 5个单位长度B.向右平移9个单位长度，再向下平移 5个单位长度C.向左平移2个单位长度，再向上平移 5个单位长度D.向右平移2个单位长度，再向下平移 5个单位长度分析：注意先将函数 y 9 3x 5转化为t 3x 2 5 ,再利用图象的平移规律进行判断.解：y 9 3x 5 3x 2 5, 把函数y 3x的图象向左平移 2个单位长

30、度，再向上平移5个单位长度，可得到函数 y 9 3x 5的图象，故选（C）.评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题， 所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等.&对数函数y=logaAx如果a 0,且a1,M 0, N 0,那么：O log a （M ' N） log a M + log a N ; log a N loga M - loga N ; loga M n n log a M （n R）.注意：换底公式log a b log c b （ a 0,且 a 1；c 0,且 c 1;b 0）. log c

31、 a幕函数y=xAa(a属于R)1、幕函数定义：一般地，形如y x (a R)的函数称为幕函 数，其中为常数.2、幕函数性质归纳.(1)所有的幕函数在(0, 十°°)都有定义并且图象都过点(1, 1)；(2) 0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间0,)上 是增函数.特别地，当 1时，幕函数的图象下凸；当01时，幕函数的图象上凸；(3) 0时，幕函数的图象在区间(0,)上是减函数.在第 一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼 近y轴正半轴，当x趋于 时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴.三、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y f (x)(

32、x D),把使f(x) 0 成立的实数x叫做函数y f(x)(x D)的零点。2、函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0实 数根，亦即函数y f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f (x) 0有实数根函数y f(x)的图象与x轴有交点 函数y f(x)有零点.3、函数零点的求法：(代数法)求方程f (x) 0的实数根；0 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数 y ax2 bx c(a 0).(1)>(),方程ax2 bx c 0有两不等实根，二次函数的 图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2) = 0 ,方程ax2 bx c 0有两相等实根，二次函数的 图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零百八、(3) <(),方程ax2 bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.重点习题：2.函数y=(0.2)-x+1的反函数是()A.y=log5x+1B.y=klogx5+1C.y=log5(x-1)D.y=log5x-13.曲线分别是指数函数y=y = ，二d 和 y =的图象，则向也G以 与1的大小关系是().( a <h <<c(比