高等流体-第六讲,边界层理论

1、第六章第六章 边界层理论边界层理论 基本概念 附面层微分方程式 边界层方程的相似性解 沿平板层流附面层微分方程计算 附面层积分方程式 沿平板层流附面层积分方程计算 沿平板紊流附面层计算 曲面附面层及附面层分离第一节第一节 基本概念基本概念n 边界层（附面层）概念的引出边界层（附面层）概念的引出n 边界层的形成与发展边界层的形成与发展n 边界层的特征综述边界层的特征综述n 附面层的厚度附面层的厚度1、边界层（附面层）概念的引出、边界层（附面层）概念的引出 在高雷诺数流动中，由于 ，因此流体的惯性力远远大于作用在流体上的粘性力，则相对于数量级较大的惯性力来说，粘性力可以忽略不计，可把流体视为理想流

2、体。 但是，由于理想流体的理论得到的速度场在固体壁面附近与实际情况相差甚远，在实际流动中，由于紧贴壁面的流体与壁面之间并无相对运动，在壁面附近沿着法线方向存在着较大的速度梯度，故在壁面附近的一层流动区域中，粘性力与惯性力相比不能忽略。1eR 1940年，在第三届国际数学学会上，L.Prandtl在他的论文中提出，对于像水和空气那样粘性很小的流体，粘性对流动的影响实际上仅限于贴近固体表面的一个薄层，这一薄层以外，粘性完全可以忽略，即使应用无粘性流体力学理论来解释流动也可以达到较高的精确性。由于不管Re多大，据表面无滑移条件，固体边界上的流速必为零，所以，在边界的外法线方向流体流动的速度从零迅速增

3、大。于是，在边界附近的流动区域存在着相当大的流速梯度，在这个流区里，粘性力和惯性力量级相近，不能忽略。Prandtl定义：在固体壁面附近的流场中，显著地受到粘性影响的这一薄层，称之为边界层。边界层：实际流体绕物体流动时，在物体表面存在极薄的一层流体，其内流体的速度由物体表面处的速度0增加到来流速度u，此层内存在着很大的速度梯度，粘性力不可忽略，这一薄层流体称为边界层。 2 2边界层的形成与发展边界层的形成与发展 n A: 在边界层以外，由于变形速率甚小，故其中粘性切应力甚微，因此可视为理想流体。可见，在一定条件下流场可以看作由两部分组成 ：边界层区和理想流体区域。 粘性力。按理想流体处理，不计

4、区）：）边界层外流动（主流（面。处作为两个区间的分界（来流速度）分界：一般把速度等于性力。按实际流体处理，计粘）边界层内流动：（299. 01u 粘性流体运动服从N-S方程，由于方程的非线性和边界条件的复杂性，到目前为止还不能用解析方法求解，给出边界层的定义后，我们可以把流场分为两部分：一部分为附面层（边界层），属于粘性流，其中，由于附面层尺寸小，与物体几何尺寸比起来属于微量，于是N-S方程可以简化。另一部分为主流区，速度梯度很小，粘性力可以不计，按理想流体来处理。这种方法是Prandtl提出来的，为流体力学的发展提供了重要条件。B: 边界层也有由层流转入紊流的现象uxRe65103103ec

5、R （1）平板前缘的一段范围内边界层的流动是层流状态，故称为层流边界层。层流边界层的速度剖面如图所示。 在层流流动达到某种状况时，流动开始不稳定，边界或来流的扰动可能使流动由层流状态向湍流状态过渡。我们称这个过渡的位置为转捩点。我们称这个过渡区域为转捩区。（2）在转捩区之后流体流动已发展为完全的湍流状态，我们称这个区域为湍流边界层，在湍流边界层中。3 3、 边界层的特征综述边界层的特征综述a)边界层内，沿厚度方向 很大；b)边界层以外，粘性力不计，N-S方程简 Eulerian程；c)附面层内粘性力与惯性力具有相同的量级，均不能忽略；d)附面层的厚度 ，相对于物体特征长度L很小，属于微量；e)

6、由于 小，可近似认为沿物面法线方向压力都相同， ，从主流区求p；f)判别层流、紊流边界层的标准 dyducup221UxRe65103103ecR 4. 4. 附面层的厚度附面层的厚度 定义： 应该是从壁面到流速完全不再改变的区域之间的距离，用 表示。一般认为 处的地方为边界层的界限，又叫边界层的名义厚度。 由于以上规定具有任意性，不利于对附面层进行解析计算，为此，由三种较严格的规定附面层厚度的方法。 uux995.099.01、 边界层的排挤厚度（流量损失厚度）1 2、 边界层动量损失厚度2 3 3、 边界层动损失厚度2 A A、边界层的排挤厚度（流量损失厚度）边界层的排挤厚度（流量损失厚度

7、）在边界中，由于存在粘性必将引起速度的下降，于是在边界层中通过的流量必将减小，因而势必有一部分流量被排挤到主流区(即理想流区)中去，如图所示。 若按边界层外缘速度计(主流区速度)，则通过边界层的流量应为 0edyuQm 而实际通过边界层的流量为 0budyQm 它们的差值为be1QmQmQm，这个差值就是由于粘性的滞止作用而引起的。这部分流量1Qm。以主流区速度计算，所占的流量厚度以表示之，我们称为排挤厚度。它的数学表达式为1Qm或 0dyu0udy1于是排挤厚度的定义可写成： 01dy)uu1 ( (a)面积（面积（23）面积（面积（13）对于主流区而言，1可以理解为物体向外推移的距离。如图

8、所示。对于边界层而言，边界层的外缘速度与主流区的速度均是u，于是0dy)uu1 (因此式(a)可写成 01dy)uu1 (此式的优越性在于，右式中的不再出现。 排挤厚度含义：排挤厚度含义： 对于不可压缩流体， 当在理想流体流动（即不存在边界层）情况下，流速均为主流区速度时，流过1的流量应和在实际流体流动（有边界层）情况下，由于粘性而使流体流速减小时整个流场减少的流量相等，即与流量欠缺量相等。 B B、边边界界层层动动量量损损失失厚厚度度2 为了说明边界层中动量损失的程度，可以引进动量损失厚度的概念。 其定义与排挤厚度相似，即理想情况下通过2的流体动量等于实际情况下整个流场中实际流量与速度减小量

9、的乘积，也就是等于动量欠缺量： 022dyuuuu 即为 020211dyuuuudyuuuu或 C C、边界层动量损失厚度、边界层动量损失厚度3 其定义与动量损失厚度相似，即理想情况下通过3的流体动能等于实际情况下整个流场中动能的欠缺量： 02233dy2u2uu2u 即为 0223022311dyuuuudyuuuu或 n 问题的引出问题的引出n 附面层微分方程式附面层微分方程式第二节第二节 附面层微分方程式附面层微分方程式 一问题的引出一问题的引出 上一节，讲述了附面层的定义，附面层的形成、发展及特征。实际工程中，要对附面层进行计算，主要有：附面层的厚度沿界面的变化、流体的压力分布、流动

10、阻力等。这就要求给出附面层计算的基本方程式。 据上节所讲，在附面层以外，速度梯度很小，粘性力可以不计，Navier-Stokes方程可以简化成为Euler方程，可按理想流体求解。 而附面层内的流动由于不能忽略粘性力只能用N-S方程求解，直接求解不行，只能对N-S方程进行简化，使之可解，而又不会造成大的偏差。 求解附面层的方法有两个，一是普朗特的近似解析计算方法，二是冯卡门的动量计算方法。前者是附面层微分方程式，后者就是附面层的积分方程式。dtduuzpzdtduuypydtduuxpxSNzzyyxx222111方程二附面层微分方程式二附面层微分方程式1、基础、基础2 2、 假设条件（假设条件

11、（N NS S 方程条件简化）方程条件简化） （1）稳定流 0tu0tuyx （2）层流边界层 粘性力与惯性力在同一数量级 （3）质量力不计 X0 Y0 （4）不可压缩流体 c X1222222pxuxuyuzxxx=zuuyuuxuutuxzxyxxx Y1222222pyuxuyuzyyy=zuuyuuxuutuyzyyyxy )(1)(122222222yuxuypyuuxuuyuxuxpyuuxuuyyyyyxxxxyxx 3 量量级级对对比比 （按按普普朗朗特特思思想想简简化化 NS 方方程程） 边界流动有两个主要性质： （是对 NS 方程进行简化的基本假定。 ） （1）边界层在 y

12、 方向的厚度较物体表面为曲线坐标 x 方向的特征长度 L 小得多，即L0是一小量； （2）边界层内粘滞阻力和惯性力是同一量级。 应用量级对比法进行简化处理应用量级对比法进行简化处理 引入无量纲量：引入无量纲量：令 x 方向板长 L 为特征长度、来流流速u为特性速度；2u为压力特性值 ，20y0yx0 x00uppuuuuuuLyyLxx 且雷诺数 LuRe， 代入下式 )(12222yuxuxpyuuxuuxxxyxx 可得 )(10220202202002000000yLuuxLuuxLpuyLuuuuxLuuuuxxxyxx )(Re1)(Re1)(1)(10202020200000000

13、020202020000000022222222yuxuypyuuxuuyuxuxpyuuxuuyuxuypyuuxuuyuxuxpyuuxuuyyyyyxxxxyxxyyyyyxxxxyxx根据L0是一个很小量，即10的假定，可确立级数列的递减顺序为： 020002111，。 用符号（）表示属于某一量级。 特征量适当选取可使无量纲量具有（1）数量级。 量级对比结果：量级对比结果： ）。（），（000Lyy1Lxx （1）0 xu及其各级导数00 xxu，00 xyu，020 x2xu，020 x2yu的量级： ），（，）（1xu1uuu00 xx0 x ）（000 x1yu ），（ 1xu0

14、20 x2 而）（02020 x21yu （2） 因为由无量纲的连续性方程可得）（ 1yu00y， 即0yu与0y为同一量级。所以，00yu， ）（），（），（0020y20020y200y1yuxu1yu。 （a）表面力：粘性力、压力（没有） 沿流动方向的粘性力 （b）质量力：惯性力、重力（不计） 沿流动方向的惯性力dxdydzdyuddxdydzdyd2x2xuudxdydzxuudxdydzdtdumxxxxx（3 3）边界层粘性力和惯性力处在同一数量级）边界层粘性力和惯性力处在同一数量级 粘性力与惯性力成正比 设边界层任何截面上的流速分布是相似的，即 结论：边界层的厚度的增长是与x的平

15、方根成正比，而相对厚度 ，则与Re的平方根成反比。已被实验证实2x2dyudxuuxx22x2xudyududyudxuxuxxuu2222LuL021Lu 即得 )1(Re02或者xRe1xuxxRe1xx/（4）由能量方程 c2up2x ，得yuuypxuuxpxxxx即00 x0 x0000 x0 x00yuuypxuuxp同理可得： )1(yp) 1 (xp00000，将上面分析得出的各项量级附写在下式的下面，得 0002000020y2020y20000y0y00y0 x020200020 x2020 x20000 x0y00 x0 x1/111)yuxu(Re1ypyuuxuu11

16、1111)yuxu(Re1xpyuuxuu 上式中，把所有量级小于 l 的各项略去，将不会引起太大的误差。因此得 0ypyuRe1xpyuuxuu00020 x20000 x0y00 x0 x 0ypyuRe1xpyuuxuu00020 x20000 x0y00 x0 x 将上式恢复为有量纲的物理量，得 0ypyuxp1yuuxuu2x2xyxx 上式即为边界微分方程，称为普朗特边界层方程。 边边界界条条件件为为 uuyuuyxyx；，；000 也可以近似地写为uuyx，。 由上分析可得几点结论： （1）0yp 边界层内法向压强相等。 边界外边界上的压强可用势流理论求得。因此，边界层内的压强分

17、布就是已知的。 (2) 由 xuu22 所以得 Re1 上式说明(层流)边界层厚度与Re成反比，Re 越大，越小。 方程式用范围： 由于在方程简化过程中，设x与y具有不同的数量 级，即 显然，这一假设在平板壁面前缘部分是不成立的。 方程适用条件： 稳定绕流、不可压缩、二维流动、质量力不计 作业：用无量纲化作业：用无量纲化N-S方程推导边界层微分方程式。方程推导边界层微分方程式。11exyRLuuxy第三节第三节 边界层方程的相似性解边界层方程的相似性解n 相似性解相似性解n 相似性解的存在条件相似性解的存在条件 一相似性解一相似性解 边界层微分方程的解u一般应该是x，y的函数， 即 ，无量纲化

18、后为 （1） 但是，在某些特殊条件下，解具有如下形式 （2） 其中 是一无量纲量，若如此，即速度剖面是单 变量 的函数，则称此剪切层是相似的， 可以是 x和y的某个特定函数，叫相似参数。yxuu,yxgUu, gUu 当存在相似性的解（2）时，可以把边界层微分方程转化为常微分方程，在数学上简化易于求解。 问题是什么时间，什么情况下流动存在相似性解,具有一定的局限性。 具体解法见P131，章梓雄.粘流.(自学) 二相似性解的存在条件二相似性解的存在条件 应当指出，相似性解不是对任意边界层流动都存在的，只有外部流动满足一定条件时才存在。即流动区域内的速度分布都单一时才有相似性解。 若流动存在顺压和

19、逆压，流动本来就不相似，也就不存在相似性解。 Gold Stein证明，当来流速与x的乘幂成正比时，即 时，边界层方程才有相似性解。mcxU 第四节第四节 沿平板层流附面层微分方程式计算沿平板层流附面层微分方程式计算 一、层流附面层微分方程式计算一、层流附面层微分方程式计算 分析：层流附面层微分方程式计算: 运动方程和连续性方程归并 将偏微分方程转化成常微分方程，然后求解。 根据边界条件，求出 fDyxccuu, 现以层流平板附面层为例来说明计算方法及过程。 令主流速度 HBlasins假定层流附面层内任何截面上流速分布都是相似的，即 0,xpcuxVdxduVdyduxx00,2x2xyxx

20、yuxp1yuuxuu2x2xyxxyuyuuxuu边界条件为： uuyyuuyxyx，或，00 1 1、对边界条件进行量级处理、对边界条件进行量级处理 1uu1y0uu0yxx则则 10uu10yx由则由 目的：二个函数、二个变量 一个函数、一个变量 各断面流速分布为 )y(quux （1） 即 的函数关系是yuux 函数 q 与 x 轴坐标无关。 2、层层流流边边界界层层 层流边界层，粘性力与惯性力具有相同量级。 （1）表面力：粘性力、压力（没有） 沿流动方向的粘性力（2）质量力：惯性力、重力（不计） 沿流动方向的惯性力dxdydzdyuddxdydzdyd2x2xuudxdydzxuud

21、xdydzdtdumxxxxx 粘性力与惯性力成正比 设边界层任何截面上的流速分布是相似的，即 2x2dyudxuuxx22x2xudyududyudxuxuxxuu22或者xRe1xuxxRe1x由xRe1x，得 xRexyy。令 y 则 xuyxRexy (2) 为一新的无量纲的坐标,相似变量。 由一个自变量代替 x，y 两个自变量。 式（1）可写成 ）（F)y(quux （3） u)(Fux （4） )(?Fuy 即将偏微分方程变为常微分方程。 3 3、根据连续性方程、根据连续性方程 目的：目的：根据0yuxuyx，由 ux寻找 uy关系 基础：基础：格林公式 如 P(x,y) Q(x,

22、y) 条件xQyP 则原函数的导数的全微分形式 dy)y, x(Qdx)y, x(Pd 由0yuxuyx, 可转化为 yuxuyx 引入个用于描述速度的函数（流函数）， 则 dyudxudxy 而流函数的全微分形式 dyydxxd 则 yux （5） xuy （6） 4、确定、确定 ux、uy （a）由式（6）xuy和式（4）uFux)(得： )(Fuuuuuyxx 令）（F为另一函数）（f的导数，即 ）（F ）（f 则 )(fu)(Fuux （b）)(fuyyux 式（2）xuyxRexy代入上式，得： )(fuxuy )(fxu)(Fxu 式中常数Rexuxu，则 )(fxu (7) （c

23、） )(fxuxxuy )ff(xu21fxu2121xuyfxuxux)(fx)(fxu3 (8) xuyxxyRe其中 ufu)(Fux2x2xyxxyuyuuxuu求解微分方程：（d） fxuuyuyuxx fxufxuyuxuxuxx 2213 fxuuxufxuuyfxuuyfxuuyfxuuyux 22 将上面式子代入微分式，得： 2 2 2fxuf )ff(x2uffx2u 经简化可得出下列常微分方程 0f2ff (9) 此式为常微分方程，为三阶非线性方程。 边界条件可写成， 1f0f0f0， (10) 因边界条件有三个，可以确定它的解。这比解偏微分方程组要简单得多。 求解微分方

24、程思路求解微分方程思路n边界条件n设332210! 3A! 2AAA)(f10, 000fyffy时，时，采用幂级数展开系数由边界条件确定代入所得常微分方程公式（9），并由边界条件可推出： 362543352432342321332210! 3! 2)(! 3! 2)(! 3! 2)(! 3! 2)(AAAAfAAAAfAAAAfAAAAf代入所得常微分方程公式（9），并由边界条件可推出：n系数A00 、 A1 0、 A30、 n A40 、 A60 、 A7 0、 由勃拉休斯经过计算得；A20.332 于是 均可通过数值计算得出在不同 值下的数值。ffff 、25A21A 28A411A 下

25、表就是微分方程式的部分解，由豪沃斯（L.Howarth）通过数值计算求得。 平板附面层)(f 函数值 xuy f uufx f 0 0 0 0.3321 1 0.1658 0.3298 0.3230 2 0.6500 0.6298 0.2668 3 1.3968 0.8461 0.1614 4 2.3058 0.9555 0.0642 5 3.2833 0.9916 0.0159 6 4.2996 0.9990 0.0024 7 5.2793 0.9999 0.0002 7.8 6.0792 1.0000 0.0000 8 6.2792 1.0000 0.0000 8.8 7.0792 1.0

26、000 0.0000 根据上表可计算附面层厚度和边界壁面上的摩擦阻力。 二、确定边界层特性参数二、确定边界层特性参数 1、边界层厚度、边界层厚度： xuyxxyRe 由边界层厚度定义，当沿固体边界法线上一点流速u99. 0ux，则该点的坐标值y称为边界层厚度。 由表可知，当9916. 0uux时0 . 5。 所以边界层厚度为 xRex0 . 5xux0 . 5 (11) 2、流量厚度、流量厚度1 01dy)uu1 ( 由式)(fuux和式duxdy，所以 )(fuxd )(f1 ux1101 式中1和)(f1均指边界外一点处之值，由表可知： 当7208. 10792. 68 . 7)(f, 0

27、 . 1uu11x，因此 xRex72. 1ux7208. 11 （12） 这就是由于边界层粘性的作用，使边界液流向外推移的距离，在平板边界层中排挤流量厚度约为边界层厚度31。 3、动量厚度、动量厚度2： 02dy)uu1 (uu 与上述位移厚度的方法同样处理，得 |0000000000000000022 2111111fVxdfVxdffVxffdfVxdffVxdffVxxVdffdyVuVufxx 查表332. 0, 0, 0, ff 002664. 032. 002VxVx （13） 可见动量厚度约为边界层厚度5 . 71。 4、边界壁面上的摩擦力、边界壁面上的摩擦力 已知边界内的速度

28、分布即可计算边界壁上的粘滞阻力。 壁面上切应力0yx0)dydu（，平面表面一边的阻力是： L0 x0dxbD 式中 b 为平板宽，L 为平板长，壁面切应力为： ufuFux)(, xuyxxyRe xuu332. 0)0(fxuu)dyd)ddu)dydu 0y0yx0yx0（ 表面总摩擦力 LLbuxdxubuDRe664. 0332. 00LbLuDRe664. 02 如果平板两边都有液流通过，即阻力为 2D LRebu328. 1D2 定义阻力系数为 2DAu21DC 式中 A=bL 系指浸润面积，对于两面均淹没在流体中的平板，其阻力系数为 L2DRe328. 1Au21DC L2DR

29、e328. 1Au21DC 式中LuReL为雷诺数。这个阻力定律由布拉休斯 首 先 导 出 的 ， 适 用 于 平 板 层 流 边 界 层 ， 即)103105(Re65L，对于6L103Re即紊流边界层情况，阻力将大大增加。 适用范围：适用范围： 稳定流， 平板层流边界层， 不可压缩流体， 二元流动 ,质量力不计. 二二、边边界界层层微微分分方方程程普普朗朗特特边边界界层层方方程程 1、 基基础础： 纳维一斯托克斯方程 X1222222pxuxuyuzxxx=dudtx Y1222222pyuxuyuzyyy=dudty 2、 假假设设条条件件， （NS 方方程程条条件件简简化化） （1）稳

30、定流 0tu0tuyx （2）层流边界层 粘性力与惯性力在同一数量级 （3）质量力不计 X0 Y0 （4）不可压缩流体 c 0yuxu0ypyuxp1yuuxuuyx2x2xyxx适适用用条条件件： 稳定流、层流边界层、不可压缩流体、二元流动、质量力不计 3、量量级级对对比比， （按按普普朗朗特特思思想想简简化化 NS 方方程程） 三、三、 平板层流边界层微分方程计算平板层流边界层微分方程计算2x2xyxxyuxp1yuuxuu思思路路： 将偏微分方程转化为常微分方程 求边界层中速度分布规律及流动方向厚度变化规律 确定流动的剪切应力及阻力系数 xRex0 . 5xux0 . 5xRex72.

31、1ux7208. 11xRex664. 02 Lubu664. 0D=LRebu664. 0 阻力系数为 L2DRe328. 1Au21DC LuReL。适用于平板层流边界层。 LbLuDRe664. 02第五节第五节 边界层动量积分关系式及应用边界层动量积分关系式及应用n 从微分方程来求解一个给定物体的边界层问题往往很麻烦，且只适用于平板层流边界层。要寻求近似的解法，动量积分方程求解比较简单，也非常实用。n适用范围：n（1）层流边界层、湍流边界层；n（2）平板边界层、曲面边界层n依 据：动量定律n假设条件：稳定流（一）动量积分方程（一）动量积分方程1、取一控制体 沿边界层划出一个单位厚度、微

32、元长度为dx 的微小控制体，以 ABCD 为控制面。如图所示。 现在用动量定律来研究该控制体内的流体在单位时间内沿 x 方向变化和外力冲量之间的关系。 pdxxppdxxp21p2、单位时间内经过 AB 面流人的质量和带入的动量分别为：0ABudym02ABdyuk3、单位时间内经过 CD 面流出的质量和带出的动量分别为：0CDdydxx)u(um0202CDdyuxdxdyuk4、根据连续性方程，对于不可缩流体来说，必然有0ABCDudyxdxmm的质量从边界层外边界 AC 面流入，并带人动量0ACudyxUdxk式中U为边界层外边界上的速度。 5、可得单位时间内该控制体内沿 x 方向的动量

33、变化002ACABCDudyxUdyuxdxkkk6、求单位时间内作用在该控制体上沿 x 方向的切外力冲量。（1）作用在该面上的总压力沿 x 方向的分力分别为 PpAB)d)(dxxPP(pCDd)dxxP21P(pAC式中dxxP21P是 A 与 C 之间的平均压力。 （2）壁面 BD 作用在流体上的切向应力的合力为dxF0BD7、应用动量定律，求方程 于是，单位时间内作用在该控制体上沿 x 方向诸外力的冲量之和为： Pd)dxxP21P()d)(dxxPP(dxdxxPdx00 其中略去了二阶微量。 根据动量定理：取位时间内控制体内流体动量的变化等于外力冲量之和，就可得到稳定流动条件下的边

34、界层动量积分关系式 0002xPudyxUdyux 8、公式分析 （1）在边界层内，上式两个积分都只是的 x函数，因此式中的偏导数可改写成全导数，上式为0002xPudydxdUdyudxd（2）已知数：边界层外边界上的速度 U，可以用实验或解势流问题的办法求得，并可根据伯诺利方程求出xP的数值。所以上式可以把 U、xP和看作已知数。 未知数：只有 、0u三个。（3）因此要解这个关系式还需补充两个关系式。关系式一：关系式一：边界层内速度分布是按已有的经验来假定的。 假定)y(uu ，愈接近实际，则所得的结果愈正确。所以选择边界层内速度分布函数)y(u是求解边界层问题的重要关键。关 系 式 二

35、：关 系 式 二 ： 由 牛 顿 内 摩 擦 定 律 ， 建 立关系式、与u0。下面分别讨论沿平板层流边界层和紊流边界层选择合理的流速分布求求解边界层与距离 x的关系及阻力0表达式。 （二二）平板层流边界层的近似计算平板层流边界层的近似计算 在实际应用中采用边界层动量积分关系式， 对边界层进行近似计算。方法简单，结果也有足够精确性。 流体沿平板，边界层边界上U)x(U由伯诺利方程2U21p常数， 所以边界压力也保持为常数， 即0 xp这样动量方程变成 0002udydxdUdyudxd （a） 方程式中有三个未知数0u、和，所以需要补充两个方积式。 1、 补补充充关关系系式式一一：假定边界层内

36、速度分布以 y 的幂级数表示为 44332210yayayayaa)y(u (A)根据下列边界条件来确定系数。、43210aaaaa(1) 在平板壁面上速度为零，即在 y=0 处，u=0，可推出 a0=0则式（A）简化为4433221yayayaya)y(u(2) 在板上 y=0，0u0uyx ，则层流边界层微分方程2x2xyxxyuxp1yuuxuu对平板0dxdp，所以0yu0y22；342321ya4ya3ya2ay)y(u0ya12ya6a2y)y(u24322可推出 a2=0则式（A）进一步简化为 44331yayaya)y(u（3）任边界层外界上，速度等于来流速度，Uuy ，；则

37、44331aaaU （b）(4)在边界层边界上的切向应力yu变为零，即在y处，0)yuy（； 0a4a3ay)y(u34231 （c）(5) 由于边界上Uu ，0)yuy（，0)xuy（ 由微分方程2x2xyxxyuyuuxuu 可得 0)yuy22（ 0a12a6y)y(u2432 （d） 由式（b） （c） （d）可得：44331UaU2aU2a； （6）结论： 利用上面条件求得五个系数为 4433210UaU2a0aU2a0a； 于是，层流边界层中速度分布律为 )y()y(2)y(2U)y(u43 1、 补充关系式二：补充关系式二：利用牛顿内摩擦定律和速度分布得U2)y(4)y(62U)

38、dydu(0y430y0 (e)为了便于计算边界层厚度，先求下列二个积分式。U107dy)y()y(2)y(2Uudy4200 (f)22420202U630367dy)y()y(2)y(2Udyu (g)把式(e)、(f)、(g)代入边界层动量关系式(a)，得0002udydxdUdyudxd)y()y(2)y(2U)y(u43U2dxdU107dxdU63036722 或 dxdU63037 分离积分变量 00dxU37630d 则边界层厚度为 xRex83. 5Ux83. 5 其中UxxRe 将值代入得xReU343. 0UxU343. 0220 宽为b长为L平板一面阻力为L2L2L05

39、 . 02L00RebU686. 0DRebLU686. 0dxxUbU343. 0dxbD即全平板阻力系数L2DRe372. 1bL2UDC当速度分布为)y2sin(Uu时，同理可求得 xRex80. 4Ux80. 4，xReU328. 020 LReUb656. 0DLbLURe656. 02 LDRe312. 1C 平板层流边界层计算平板层流边界层计算xRex0 . 5LRebu664. 0DLDRe328. 1C微分方程法微分方程法积分方程法积分方程法)y()y(2)y(2U)y(u43)y2sin(UuxRex83. 5LRebu686. 0DLDRe372. 1CxRex80. 4

40、LRebu656. 0DLDRe312. 1C 例 将一薄的平行板平行地置于空气中， 空气的温度为 15.5，压力为一工程气压，流速s/m2 . 6U ，试求距前缘 40cm 处的边界层厚度，以及在该处距壁面 2.1mm 的地方空气流速。解： 1 工程气压，15.5下空气的运动粘度s/m1047. 125551069. 11047. 12 . 64 . 0 xUxRemm67. 51069. 140083. 5xRex83. 55将mm1 . 2ymm67. 5，代入速度分布公式)y()y(2)y(2U)y(u43s/m07. 4)67. 51 . 2()67. 51 . 2(2)67. 51

41、 . 2(2 2 . 6)y(u43所以，在mm1 . 2ycm40 x，处的流体速度s/m07. 4)y(u （三）紊流边界层近似计算（三）紊流边界层近似计算 问题提出：问题提出： 上面讨论层流边界层近似计算， 所取的两个补充关系式是建立在层流的牛顿内摩擦定律和层流边界层的微分方程基础上的， 不能用于紊流边界层。 而平板上上紊流边界层对于若干工程问题具有很重要意义。这问题不能从理论上解决。 只能借助于实验和某些条件假设基础上得出。 10 假假设设：（1）从园管内紊流流动得到启示，普朗特假设边界层速度分布与园管内速度分布应符合相同的指数方规律。因此，紊流边界层速度分布与园管内速度分布应符合相同

42、的指数方规律（l7 指数规律） 。71)y(Uu把管轴心最大流速相当于边界层外缘主流区速度 U；园管半径相当于边界层厚度。（2）并且假设平板边界层从前缘开始就是紊流。20 说明说明（1）普朗特假设显然是不够精确的，因为园管内的速度分布是任沿流动方向有压力梯度的条件下形成的，而平板流动时，其沿流动方向的压力梯度为零。实验表明上式是有定误差的。（2）这个方程不适用于紧靠壁面处，因为)y)(U71dydu7/671在壁面上，y=0，于是壁面上的速度梯度为无穷大，由此得出壁面切应力也无穷大，显然这是不可能的。因此，我们必须认为在紧靠壁处存在着一层层流底层，在层流底层中，速度随 y 的增加而直线地增加，

43、只是在层流底层以外的紊流边界层主体中，上式速度分布规律才是有效的。（3）至于壁面切应力0表示为20v8 在710Re 的情况下，实验证明也可以用园管内流动的布拉休斯公式来计算。414141)Vr(2660. 0)Vd(3164. 0Re3164. 0代入0式41470)r(v3325. 0 平均流速 V 约等于 0.8U，将U8 . 0v 代入上式，并取r，得 4124/1470)U(U0225. 0)(U0225. 0 取0dxdp，代入动量方程（a）式则412071720)U(U0225. 0dy)y(UdxdUdy)y(Udxd0002udydxdUdyudxd412071720)U(U

44、0225. 0dy)y(UdxdUdy)y(Udxd 由于 97dy)y(072 87dy)y(071 代人上式约去2U后得 41)U(0225. 0dxd727 分离变量 dx)U(7720225. 0d4141 积分得 5xRex37. 0 代人0式得 520 xReU0289. 0 宽为 b 长为 L 平面阻力为 5L2L05151200ReUbL036. 0dxxb)U(U0289. 0dxbD全平面阻力系数 5LDRe072. 0C根据实验结果， 最好用 0.074 代替 0.072， 并用 0.0296代替 0.0289 则 520 xReU0296. 0 5LDRe074. 0C

45、 上式在7510105xRe之间是正确的。对对比比层层流流和和紊紊流流边边界界层层：5L2RebLU036. 0D5LD5LDRe074. 0CRe072. 0C5xRex37. 0 xRex83. 5L2RebLU686. 0DL2DRe372. 1AU21DC（四四）混混合合边边界界层层 当边界层具有层流变为紊流的过渡区时，过渡区段是不稳定的，故阻力系数难确定。 一般可先假定紊流边界层从端部即开始连续发展。 而把过渡区归于紊流区中。而认为由层流到紊流有一突然转变。 +全平板的阻力可按下式计算： etXtXLtLDDDD 式中： tLD为全板长 L 均为紊流时的阻力 tXLD为临界距离段紊流

46、边界层的阻力 tXeD为临界距离ex段层流边界层的阻力。 根据上述对层流和紊流的阻力系数DC的分析可写 )Rex074. 0ReL074. 0Rex372. 1(b2UD5Xc5XLxcc2C 普朗特对光滑平扳来流紊流强度较小时， 取L5LDReARe074. 0C A 值与xRe有关，如表 cxRe 5103 5105 610 6103 A 1050 1700 3300 8700 第八节第八节 边界层分离边界层分离日常生活经验告诉我们，当流体流过一个钝体(如桥墩)障碍物时，流体一般能沿迎着来流的那部分面光滑地流过，但在钝体后部的流场就变得相当复杂，有时会存在一个回流区，有时是一片混乱的尾迹，

47、随着 Re 数高低有所不同，这种现象为边界层分离，边界层分离是一种常见的流动现象，实用上极重要，理论上则是当今流体力学中最富挑战性的问题之一。 边界层分离一、边界层分离现象一、边界层分离现象1 1、平板边界层和曲面边界比较、平板边界层和曲面边界比较平板边界层和曲面边界重要区别之一是：边界层外主流 区的不同，因而引起边界层内部压力分布的不同。 (1)平板： 边界层边界上的速度 U 及边界层内部压力 p 均保持不变。 p常数, 0 xp (2)曲面： 边界层边界上的速度U及边界层内部压力p沿物体表面特性长度 x（曲线坐标）变化的。 CU21p2 或 0 xUUxp 项目 分类 平板边界层 曲面边界

48、层 边界层边界 （主流区内）速度 U 不变 变化 法向 变化 边界层 内速度 特性长度 x 方向 不变 变化 法向 几乎不变 边界层内 压强沿 法向变化 特性长度 x 方向 不变 变化 顺压区逆压区顺压区逆压区2、边界层分离现象、边界层分离现象 当流体流经曲面时，形成了曲面边界层，边界层厚度顺流急剧增厚，在边界层内发生与主流方向相反的回流，迫使边界层内上游来的流体“挤”出边界层，进人主流区，这种现象称为边界层分离。 原因：原因：边界层的边界流速将沿边界发生变化，同时压强也随着变化。 断面面积增大、流速减小、压强上升和物体表面粘性阻滞作用的综合结果。 。没有反推力，不会分离）不存在，压强增加（如

49、光有粘性p0 ，也不会分离流体质点不会停滞下来存在，光有如没有粘性p0 后果：后果：形成边界层分离，在物体的尾部形成旋涡，造成了绕流流动的能量损失，即产生较大压差阻力。 3、边边界界层层分分离离现现象象分分析析（三三区区二二点点法法） 从边界层理论、能量转化关系来分析边界层内速度分布规律，明确边界层分离的原因。 假设：边界层的厚度比曲面的曲率半径小得多，曲面边界层全部是层流。 应应用用方方程程一一：边界层微分方程 2x2xyxxyuxp1yuuxuu 由于在物体表面上各点流速等于 0，即 y=0，ux=0，uy=0 于是上式转化 dxdp1xp1yu0y2x2 应应用用方方程程二二：伯诺利方程

50、 CU21p2 求导，得 dxdUUdxdp 边界层速度分布特征：边界层速度分布特征： 0dxdp，这时， 0yu0y2x2，所以在壁面附近，yux随 y 增加而下降。 0yuyx，0yuy2x2，在边界层外缘附近，层内速度与外流光滑连接，必然应有0yuy2x2 所以，在整个增速减压区处处有）（y00yu2x2。 0uyy0u0y 但在整个边界层横向剖面上0yux 边界层内流体微团不但是全部沿流动方向前进， 而且速度分布沿流动方向向外凸出，没有拐点。 顺压区顺压区dxdp1yu0y2x2顺压区顺压区边界层速度分布特征：边界层速度分布特征：0dxdp，这时， 0yu0y2x2，所以在壁面附近，yux随 y 增加而上升。边界层内速度