青岛版九年级上册数学《正多边形与圆》

1、?正多边形与圆?第1课时教案 探究版一、教学目标知识与技能1了解正多边形和圆的有关概念，了解正多边形和圆的关系.2理解并掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念以及它们之间的关系， 并能应用它们进行有关的计算.过程与方法结合生活中的正多边形， 发现正多边形与圆的关系，然后学会运用圆的有关知识，解决正多边形的问题.情感、态度经历观察、发现、探究等数学活动，感受数学来源于生活，又效劳于生活，体会事物之 间是相互联系、相互作用的.二、教学重点、难点重点：探索正多边形与圆的关系， 弄清正多边形的中心、 半径、边心距、中心角的概念.难点：掌握正多边形的半径、中心角、边心距和边长之间的关系.三、教学

2、过程设计一复习引入前面我们已经学习了多边形和正多边形的概念，知道了正多边形的各角相等，各边也相等，知道了多边形的外角和等于360° n边形的内角和等于n-2180。，也研究了等边三角形正三角形、正方形正四边形的判定和性质，那么正多边形与圆有什么关系呢？这 节课我们就来探究这个问题.设计意图：通过简单回忆前面所学的知识引入本节课所学内容.二探究新知观察与思考观察下列图中的正多边形，思考下面的问题：正三角形正方形正五边形正六边形(1) 它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个图形所有的对称轴，并说出这些对称轴是怎样的直线.师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成此题，教师订正.答：

3、它们都是轴对称图形，其对称轴如下列图所示.正方形正三角形的对称轴是三边的垂直平分线;正方形的对称轴是边的垂直平分线和对角线所在的直线；正五边形的对称轴是边的垂直平分线；正六边形的对称轴是边的垂直平分线和相 隔两个顶点的两顶点所确定的直线.(2) 正三角形有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜想正n 边形有几条对称轴吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成此题，教师订正.答：正三角形有 3条对称轴；正四边形、正五边形、正六边形分别有4条、5条、6条对称轴；正n边形有n条对称轴.(3) 通过画图，你发现正多边形的各条对称轴有怎样的特征？由此你能推出正多边形 的什么性质？师

4、生活动：教师出示问题，学生答复，教师补充完善.答:正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，至U各边的距离也相等.正多边形的性质：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴；正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等.(4) 利用尺规作出一个正三角形的外接圆和内切圆，你发现正三角形的外接圆的圆心与内切圆的圆心有什么特征？师生活动：教师出示问题，让学生先画图，然后再把发现的结论说出来.答：如下列图所示，是同心圆，且圆心是各对称轴的交点.该点到正三角形的各顶点的距 离相等，至U三边的距离也相等.(5) 画出一个正方形，你能

5、说出它的外接圆和内切圆的位置吗？你发现正方形的外接圆与内切圆有什么特征？师生活动：教师出示问题，让学生先画图，然后再答复下列问题.答：正方形的外接圆与内切圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点.该点到正方形的各顶点的距离相等，至U四条边的距离也相等.(6) 由(4) ( 5)你猜想正多边形都有外接圆和内切圆吗？如果有，它们的外接圆与内 切圆有什么特征？师生活动：教师出示问题，引导学生得出结论.答:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆， 圆心是各对称轴的交点.外接教师讲解：如下列图，正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心, 圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做

6、正多边形的边心距.(a)(b)正多边形每一边所对的外接圆可以看出，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于n(7) 你能分别说出上图中正方形与正六边形的中心、半径、边心距和中心角的度数吗？ 师生活动：教师出示问题，让学生完成此题.答：上图中正方形的中心为点 0,半径为OA，边心距为0P,中心角的度数是 90°正 六边形的中心为点 0,半径为0A，边心距为 0P，中心角的度数是 60°(8) 正n边形的n条半径把正n边形分成了 n个怎样的图形？相应的边心距把其中每 一个图形又分成了两个怎样的图形？师生活动：教师出示问题，

7、让学生先画图，再答复下列问题.答:正n边形的n条半径把正n边形分成了 n个全等的等腰三角形， 相应的边心距把其 中每一个等腰三角形又分成了两个全等的直角三角形.(9) 如果正三角形的边长为 a，那么它的外接圆的半径 r和内切圆的半径 d分别是多 少？它们之间满足什么关系？ 一般地， 如果正n边形的边长为an,半径为rn,边心距为dn, 这三个量之间有什么关系？师生活动：教师出示问题，让学生先根据题意画出图形，然后引导学生完成此题.答：它的外接圆的半径e-ia ,内切圆的半径d=a ,它们之间满足36f 2 果正n边形的边长为an,半径为rn,边心距为dn,那么这三个量之间的关系为 dn 色 二

8、J .12丿(10) 以正n边形的中心0为旋转中心，将正n边形旋转360，你能得到什么结论？n师生活动：教师出示问题，让学生思考、讨论后答复下列问题.答：以正n边形的中心0为旋转中心，将正 n边形旋转 色0后与原来的图形重合.n(11) 正n边形是中心对称图形吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并答复下列问题，教师订正.答：当n为偶数时，正 n边形是中心对称图形，它的中心0是对称中心当n为奇数时，正n边形不是中心对称图形.设计意图：培养学生的动手能力、推理论证能力及归纳概括能力.(三) 例题精讲例1 一个正六边形花坛的半径为 R,求花坛的边长 a,周长p和面积S.师生活动：教师出例如题，

9、让学生完成此题，教师针对学生出现的问题讲评.解：如下列图所示，ABCDEF为正六边形连接 OA, OB ,作0G丄AB ,垂足为点G,那么OA=OB = R, AB=a.C在等腰三角形AOB中，1 1 360 °/ GOB=丄 / AOB=丄=302 26' a=2GB=2Rsin 30 =R.J3 p=6R.T OG= Rcos 30 = R,1 332-S6 S aob= 6 R R R .2 2 2设计意图：培养学生综合运用所学知识解决问题的能力.例2如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC4, OG丄BC,垂足为 G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距.师生活

10、动：教师出例如题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程.解：如图，连接OD .六边形ABCDEF为正六边形,360 o / COD= =60 °6 COD为等边三角形.1 1 CD=OC=4 .在 Rt COG 中，OC=4, CG= BC= X4=22 2 OG= OC2 _CG2 = 42 22 =2 3 .正六边形 ABCDEF的中心角为60°边长为4,边心距为 2 3 .设计意图：教师通过引导学生将半径、中心角、边心距等数量，在一个直角三角形中 联系起来，将多边形化归为三角形，表达了化归思想.四挑战自我如图，正六边形 ABCDEF的边长为5，求对角线

11、 AD、AC的长.参考答案解：由正六边形的性质可得/ABC=Z BCD =120° , AB=BC.在厶 ABC 中，/ CAB= / ACB=30° . / ACD= / BCD- / ACB=120°-30°=90° ,即厶 ACD 是直角三角形. AD是正六边形 ABCDEF外接圆的直径. 正六边形的边长与外接圆的半径相等， AD=10 .在 Rt ACD 中，AC= . AD2 CD2 = 102 -52 =5 3 .设计意图：通过本环节让教师查看学生对刚刚学过的知识的掌握情况.五课堂练习1.下面的命题是真命题吗？如果不是，请举出一个反

12、例.1正多边形的对称轴是经过正多边形的顶点和中心的直线；(2) 边数为偶数的正多边形，既是轴对称图形又是中心对称图形;(3) 既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形；(4) 有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形.2完成下表中正多边形的计算，并把计算结果填入表内:边数n内角a中心角a半径Rn边长an边心距rn周长Pn面积Sn32品4612师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题.参考答案1 解：(1)假命题；反例：过正方形对边中点的直线也是正方形的对称轴.(2) 真命题.(3) 假命题；反例：等边三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形.(4) 假命题；反例：直角三角形既有外

13、接圆也有内切圆，但不是正三角形.2解：边数n内角a中心角a半径Rn边长an边心距rn周长Pn面积Sn360 °120 °22翻16/33応490 °90 °逅21846120 °60 °22126“设计意图：通过本环节的学习，让学生稳固所学知识.(六) 课堂小结1.正多边形的概念各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.2正多边形的性质(1) 正多边形都是轴对称图形，一个正 n边形有n条对称轴；(2) 正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到 各边的距离也相等；(3) 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切

14、圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点.3. 与正多边形有关的概念1正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心；2正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径；3正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距；4正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的每个 中心角都等于36匕.n师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容.设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容.四、课堂检测设计1. P是正六边形 ABCDEF的外接圆上的一点，那么/ APB的度数为.A. 60 °B. 120 °C. 30 °D . 30。或 150 &