自动控制理论_09欠阻尼二阶系统的动态过程分析

1、第第3 3章章 时域分析法时域分析法* *欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于暂态分量组成。稳态分量值等于1 1，暂态分量为，暂态分量为衰减过程，振荡频率为衰减过程，振荡频率为d d。 稳定性（稳定性（ ）21nteA暂态分量的振幅为：21dn振荡角频率为：结论：结论：越大，越大，d d越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越小，越小，d d 越大，越大，振荡越严重，平稳性

2、越差。振荡越严重，平稳性越差。当当 0 0时，为零阻尼响应，具有频率为时，为零阻尼响应，具有频率为n n的不衰减的不衰减（等幅）振荡。（等幅）振荡。 准确性准确性从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。)sin(111)(2tethdtn 快速性快速性从图中看出，对于5误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量 i 0 i t0)(tciA* *特征根的性质对系统稳定性的影响特征根的性质对系统稳定性的影响 当当s si i为实根时，即为实根时，即s si i i i，时时：0 i tsitieAlim0

3、时时：0 i tsitieAlimiA时时：0 i tsitieAlim 当当s si i为共轭复根时为共轭复根时 如果特征方程中有一个零根，它对应于一个常数项，系如果特征方程中有一个零根，它对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为周期振荡，称为临界平衡状态临界平衡状态（或（或临界稳定状态临界稳定状态）。）。 从控制工程的角度认为从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。属于不稳定。 对于

4、一阶系统，对于一阶系统， 只要只要 都都大于零，系统是稳定的。大于零，系统是稳定的。, 00110aasasa10,aa 对于二阶系统，对于二阶系统，0202112, 1212024, 0aaaaasasasa只有只有 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）210,aaa 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。了以下描述的代数稳定性判据。 注意：注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无与系统本身的

5、结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。关。三三. .稳定性判据稳定性判据 1.1.赫尔维茨（赫尔维茨（Hurwitz)Hurwitz)判据判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的系统稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数均为正，且赫尔维茨行列式各项系数均为正，且赫尔维茨行列式k k（k k1,2,3,1,2,3,，n n）全部大于）全部大于0 0。赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据系统特征方程的一般形式为：系统特征方程的一般形式为：0)(1110 nnnnasasasasD各阶赫尔维茨行列式为：各阶赫尔维茨行列式为

6、：00aD 11aD 20312aaaaD 3142053130aaaaaaaaD nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaD0000042203231224201253100a 例1：系统的特征方程为：系统的特征方程为：010532234 ssss试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。解解：第一步：由特征方程得到各项系数第一步：由特征方程得到各项系数 0a 1a 2a 3a 4a第二步：计算各阶赫尔维茨行列式第二步：计算各阶赫尔维茨行列式200 aD111 aD20312aaaaD 3251 75231 0 结论：结论： 系统不稳定。系统不稳定。1010010

7、532)(234 sssssD2.2.林纳德奇帕特（林纳德奇帕特（Lienard-Chipard)Lienard-Chipard)判据判据系统稳定的充分必要条件为：系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的各项系数大于零，即系统特征方程的各项系数大于零，即), 2, 1, 0(0niai .奇数或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即奇数或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即0 偶偶D0 奇奇D或或必要条件必要条件例例2 2 单位负反馈系统的开环传递函数为：单位负反馈系统的开环传递函数为：)125. 0)(11 . 0()( sssKsG试求开环增益的稳定域。试求开环增益的稳定域。解：解：第一步：求系统的闭环特征方程第一步：求系统的闭环特征方程0)125. 0)(11 . 0()( KssssD035. 0025. 023 Ksss第二步：列出特征方程的各项系数。第二步：列出特征方程的各项系数。025. 00 a35. 01 a12 aKa 3第三步：系统稳定的充分必要条件。第三步：系统稳定的充分必要条件。, 0)1( ia0 K要要求求0)2(2D20312aaaaD 即：1025. 035. 0K 0025. 035. 0 K解得：解得：的稳定域为：的稳定域为：140 K由此例可见，由此例可见，K K越大，