第12章期权定价的数值方法

1、1二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟有限差分方法有限差分方法2二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法345p1p?pud风险中性世界中，假设股票价格上升的概率 ，那么从而股票的上升概率股票的上升概率为所以当前时刻期权的价格为期末价格的现值当前时刻期权的价格为期末价格的现值，即6Sf,Su,Sdp1pdfufp(1)rTSeSupSdprTedpud1rTudfepfp fT单单步步二二叉叉树树()(1)TE SSupSdp期末的平均价格7p1ud在风险中性世界里：在风险中性世界里： 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；

2、未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。l 所以，参数所以，参数 p p 、 u u 、 d d 首先必须满足首先必须满足u在小时间段上股票具有无风险利率收益，其等于此时间在小时间段上股票具有无风险利率收益，其等于此时间段期末股票价格的平均值，即未来股票价格的期望。段期末股票价格的平均值，即未来股票价格的期望。81r tSepSup SdSf,Su,Sd1udp1pdfuft922222222()() ()11ttttttVar SE SE SpS up S dSpup dl其次，在股票价格服从几何布朗运动的假设下，有其次，在股票价格服从几何布朗运动

3、的假设下，有ms=+dSS dtS dzmseD=D+DSStStej:,其中 0,1或或 所以，所以，在短时间上股票的方差为在短时间上股票的方差为 ，而22St2222222211StpS up S dSpup d 从而从而10所以，参数所以，参数 p p 、 u u 、 d d 必须同时满足必须同时满足1r tSepSup Sd1ud2222222211StpS up S dSpup d 由以上条件可得：由以上条件可得：,r tttedpuedeudl在风险中性世界里：在风险中性世界里： 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； 未来现金流可以用其期

4、望值按无风险利率贴现。未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。所以，所以，当前时刻期权价格当前时刻期权价格为为l 问题：问题：11Sf,Su,Sdp1pdfuft1r tudfepfp f ,r tttedpuduede?udff由于设定的是涨跌倍数，所以节点会自然重合，又由于设定的是涨跌倍数，所以节点会自然重合，又因为因为 ，二叉树，二叉树图中心线上的标的资产图中心线上的标的资产价格价格与与中心中心值相等值相等。在在 时刻，证券价格有时刻，证券价格有i + 1 i + 1 种可能，一般表达种可能，一般表达式为式为 如果假设如果假设p = 0.5 p = 0.5 ，虽然，虽然节点仍会重合，但

5、二叉树节点仍会重合，但二叉树图中心线上的标的资产价格不再和中心值相等。其图中心线上的标的资产价格不再和中心值相等。其优点是概率始终不变。优点是概率始终不变。121/udi t,0,1,2,其中jijSu dji13jijSu d倒推定价法倒推定价法：从树型结构图的末端：从树型结构图的末端 T T 时刻开始时刻开始往回倒推，为期权定价。往回倒推，为期权定价。欧式期权欧式期权：将：将 T T 时刻期权价值的预期值在时刻期权价值的预期值在 t t 时间长度内以无风险利率时间长度内以无风险利率 r r 贴现求出每一节点贴现求出每一节点上的期权价值。上的期权价值。美式期权美式期权：在树型结构的每一个节点

6、上，比较在：在树型结构的每一个节点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有本时刻提前执行期权和继续再持有 t t 时间到下时间到下一个时刻再执行期权的价值，选择较大者作为本一个时刻再执行期权的价值，选择较大者作为本节点的期权价值。节点的期权价值。14假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价为假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价为 50 50 元元, ,波动率为每年波动率为每年 40% 40% ，无风险连续复利年利，无风险连续复利年利率为率为 10% 10% ，该股票，该股票 5 5 个月期的美式看跌期权协议个月期的美式看跌期权协议价格为价格为 50 50 元，求该期权的价值。元，求该期权的

7、价值。为了为了构造二叉树构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于段一个月（等于 0.0833 0.0833 年）。可以算出年）。可以算出151.1224,0.89090.5076, 10.4924ttr tuedeedppud16jijSu dmax(50,0)TTfS1,11,max1jijijr tijijXSu dfepfp f 以美式看跌期权为例把期权有效期划分为把期权有效期划分为 N N 个长度为个长度为 t t 的小区间，的小区间， 和和 分别为节点分别为节点 (i, j) (i, j) 处的标的资产价处的标的资产价格与期权价值。格与期权

8、价值。如果美式看跌期权没有被提前行权，而是在到期如果美式看跌期权没有被提前行权，而是在到期日日T T时才行权，那么时才行权，那么 17ijfmax,0 ,0,1,2,jNjNjfXSu djiji-ju dS18ji- jSu d( , )i j(1, )ij(1,1)ij(, )N j(,1)N jjN- jSu dp1pijf1,ijf1,1ijf1ji- jSud11ji- jSudN jfmax,0jNjNjfXSu du 假设在风险中性世界中，从节点（假设在风险中性世界中，从节点（i i，j j）移动）移动 到（到（i+1,j+1i+1,j+1）的概率为）的概率为p,p,移动到（移动

9、到（i+1,ji+1,j）的概）的概 率为率为 1-p 1-p。u 如果在如果在(i,j)(i,j)不提前行权，则不提前行权，则 u如果在如果在(i,j)(i,j)点行权，则期权的价值为点行权，则期权的价值为 u 所以在（所以在（i,ji,j）点期权的价值为）点期权的价值为 191,11,max,1jijr tijijijfXSu depfp f 1,11,1r tijijijfepfp f jijXSu d20max,0jNjNjfXSu d1,11,max,1jijr tijijijfXSu depfp f ,jijt i tSSu d 综上所述，以美式看跌期权为例，二叉树定价的一综上所述

10、，以美式看跌期权为例，二叉树定价的一般过程：般过程： 构造二叉树构造二叉树 倒推法计算各节点处期权的价值倒推法计算各节点处期权的价值 计算到期时期权的价值计算到期时期权的价值在风险中性条件下，标的资产价格的增长率应该在风险中性条件下，标的资产价格的增长率应该为为 ，因此式（，因此式（ 12.1 12.1 ）变为：）变为：相应有相应有式（式（ 12.5 12.5 ）和（）和（ 12.6 12.6 ）仍然成立：）仍然成立：21rq1r qtepup dr qtedpudttuede可通过调整在各个节点上的证券价格，算出期权可通过调整在各个节点上的证券价格，算出期权价格；价格；如果时刻如果时刻 i

11、it t 在除权日之前在除权日之前，则节点处证券价，则节点处证券价格仍为：格仍为：如果时刻如果时刻 i it t 在除权日之后在除权日之后，则节点处证券价，则节点处证券价格相应调整为：格相应调整为：220,1.jijSu dji10,1.jijSu dji若在期权有效期内有多个已知红利率，则若在期权有效期内有多个已知红利率，则 i it t 时刻节点的相应的证券价格为：时刻节点的相应的证券价格为：（ 为为 0 0 时刻到时刻到 i it t 时刻之间所有除权日的时刻之间所有除权日的总红利支付率）总红利支付率）231jijiSu di24在已知红利额的情况下在已知红利额的情况下, , 为了使得二

12、叉树的节点为了使得二叉树的节点重合减少计算量重合减少计算量, , 我们可以将证券价格分为两个我们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。期内所有未来红利的现值。25假设在期权有效期内只有一次红利，除息日假设在期权有效期内只有一次红利，除息日 在在 k kt t到到 (k + 1)(k + 1)t t 之间，则在之间，则在 i it t 时刻不确时刻不确定部分的价值为：定部分的价值为： 当当 时时 当当 时时其中，其中， D D 表示红利。表示红利。26Si tS i tri tSi tS i tDe i

13、t i t 因此，我们需要先构造不含红利的价格树图，之因此，我们需要先构造不含红利的价格树图，之后再加上未来红利的现值。在后再加上未来红利的现值。在 时刻：时刻： 当当 时，这个树上每个节点对应的证券价时，这个树上每个节点对应的证券价格为：格为： 当当 时，这个树上每个节点对应的证券价时，这个树上每个节点对应的证券价格为：格为：其中其中, , 为零时刻为零时刻 的值。相应地使用的的值。相应地使用的 是是 的波动率。的波动率。27ti*00,1.jijS u dji*00,1.ri tjijS u dDeji 0SSSi t i t p = 0.5 p = 0.5 的二叉树图的二叉树图三叉树图三

14、叉树图控制方差技术控制方差技术适应性网状模型适应性网状模型28在确定参数在确定参数 u u ， p p ， d d 时时不再假设不再假设 ，而令而令 p = 0.5 p = 0.5 ，可得：，可得：该方法优点在于无论该方法优点在于无论 t t 和和 如何变化，概率如何变化，概率总是不变的。总是不变的。291ud2222r qttr qttuede 每一个时间间隔每一个时间间隔 t t 内证券价格有三种运动的可内证券价格有三种运动的可能能： 从开始的从开始的 S S 上升到原先的上升到原先的 u u 倍，即到达倍，即到达 Su Su ； 保持不变，仍为保持不变，仍为 S S ； 下降到原先的下降

15、到原先的 d d 倍，即倍，即 Sd Sd 。3031相关参数：相关参数：3222221122611226dutprqtprq 23mp 31,tuedu基本原理基本原理：期权：期权 A A 和期权和期权 B B 的性质相似，我们的性质相似，我们可以得到期权可以得到期权 B B 的解析定价公式，而只能得到的解析定价公式，而只能得到期权期权 A A 的数值方法解，这时就可以利用期权的数值方法解，这时就可以利用期权 B B 解析法与数值法定价的误差来纠正期权解析法与数值法定价的误差来纠正期权 A A 的数的数值法的定价误差。值法的定价误差。 用用 代表期权代表期权 B B 的真实价值（解析解），的

16、真实价值（解析解）， 表示关于期权表示关于期权 A A 的较优估计值，的较优估计值， 和和 表表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值。样的有限差分过程得到的估计值。33BfAfAfBf假设假设则期权则期权 A A 的更优估计值为的更优估计值为34BABAffffABABffff在使用三叉树图为美式期权定价时，在接近到期在使用三叉树图为美式期权定价时，在接近到期的执行价格附近，的执行价格附近，用高密度的树图来取代原先低用高密度的树图来取代原先低密度的树图。密度的树图。在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一在树图中那些

17、提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长个时间步长 t t 进一步细分，如分为进一步细分，如分为 ，每，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程。个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程。354t二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法3637()()-=轾-犏臌m ax,0r TtTceESX例如欧式看涨期权：例如欧式看涨期权：38模拟多条标的资产的价格路径，模拟多条标的资产的价格路径，计算相应的期权的回报，计算相应的期权的回报，重复重复1,21,2步得到多个样本结果，并计算平均值，步得到多个样本结果，并计算平均值，最后将期权回报的平均值以无风险利率贴现既最后将期权回报的平均值以无风险利率贴现既

18、得该期权的当前估值。得该期权的当前估值。 随机路径的产生随机路径的产生 随机样本的产生和模拟运算次数的确定随机样本的产生和模拟运算次数的确定在风险中性世界中，服从几何布朗运动且有连续在风险中性世界中，服从几何布朗运动且有连续收益率为收益率为q q的标的资产遵循如下随机过程的标的资产遵循如下随机过程或或39dSrq SdtSdz 2ln2dS trqdtdz 为了模拟路径为了模拟路径我们把期权的有效期分为我们把期权的有效期分为 N N 个长度为个长度为 t t 的时的时间段，则上式的近似方程为：间段，则上式的近似方程为：或或 或或40dSrq SdtSdz 2lnln(12.10)2S ttS

19、trqtt 2exp(12.11)2S ttS trqtt ()(12.9)S ttS trq S ttS tt 其中其中 S(t) S(t) 代表代表 t t 时刻时刻 S S 的价值的价值, , 是从标是从标准正态分布中抽取的一个随机样本，即可计算准正态分布中抽取的一个随机样本，即可计算 的值，进而计算后面的节点处的股票价的值，进而计算后面的节点处的股票价 格样本格样本 ，从而得到一条股票价格路径，从而得到一条股票价格路径 通过通过 N N 个正态分布的随机抽样就可以组建一条个正态分布的随机抽样就可以组建一条资产价格的蒙特卡罗模拟样本路径，并得到相应资产价格的蒙特卡罗模拟样本路径，并得到相

20、应的回报值。的回报值。重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，贴现后就得到了期权的期望值和估计的平均值，贴现后就得到了期权的期望值和估计的标准差。标准差。41S ttS ti t 用用 ln S ln S 比比 S S 准确。准确。用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回报只与期权到期时刻的股票价格有关，可以让报只与期权到期时刻的股票价格有关，可以让 t t + + t = T t = T 并直接利用公式并直接利用公式 ln S ln S 的随机过程来的随机过程来求求 T T 时刻的股票价格。时刻的

21、股票价格。42 2lnln(12.10)2S ttS trqtt 2exp(12.11)2S ttS trqtt ()(12.9)S ttS trq S ttS tt 假设无红利的股票价格服从式（假设无红利的股票价格服从式（ 12.9 12.9 ），年预期），年预期收益率收益率 r = 14% r = 14% ，收益波动率为，收益波动率为 = 20% = 20% ，时，时间步长为间步长为 t = 0.01 t = 0.01 年，则根据式（年，则根据式（ 12.9 12.9 ）有）有假设股票价格的初始值为假设股票价格的初始值为 20 20 ， 的第一个样本的第一个样本值为值为 0.52 0.52

22、 ，则第一个步长结束后，则第一个步长结束后，第二步开始时的股票价格上升为第二步开始时的股票价格上升为 20.236 20.236 ，这次抽，这次抽到的到的 为为 1.44 1.44 ，因此，因此430.14 0.010.2 0.01SSS0.0014 200.02 20 0.520.236S0.0014 20.2360.02 20.236 1.440.611S下表给出了案例下表给出了案例 12.2 12.2 中模拟的路径：中模拟的路径：44 是服从标准正态分布的一个随机数。是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中其中

23、是相互独立的是相互独立的 0 0 到到 1 1 均匀分均匀分布的随机数布的随机数在在 Excel Excel 中，中， NORM.S.INV(RAND() NORM.S.INV(RAND() 可以生成可以生成标准正态分布的随机样本标准正态分布的随机样本451216iiR112iRi 如果对估计值要求如果对估计值要求 95% 95% 的置信度，则期权价值的置信度，则期权价值应满足应满足其中，其中， M M 为进行运算的次数，为进行运算的次数， 为均值，为均值， 为为标准差。标准差。461.961.96fMM95%1.96fPM主要优点：主要优点： 应用简单，无需深刻理解定价模型应用简单，无需深刻

24、理解定价模型 适用情形广泛适用情形广泛 欧式衍生产品欧式衍生产品 回报路径依赖回报路径依赖 回报取决于多个标的资产回报取决于多个标的资产主要缺点：主要缺点： 难以处理提前执行的情形，如美式期权难以处理提前执行的情形，如美式期权 为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算47二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法48用离散算子逼近用离散算子逼近 各项，将衍生证券各项，将衍生证券所满足的偏微分方程所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程，用迭代法求解，转化为一系列近似的差分方程，用迭代法求解，得到期权价值。得到期权价值。在坐标图上，有限差分方法

25、体现为格（在坐标图上，有限差分方法体现为格（ Grids Grids ）4922ffftsS、 和222212fffrSSrftSS把从初始零时刻到到期日时刻之间的时间分为有限 等间隔的小时间段，得到 N + 1 个时点。把资产价格的变化从 0 到最大值也分成 M 个等间隔的小价格段 ，得到 M + 1 个资产价格。如果划分合理，初始的资产价格会落在零时刻的一个格点上。这样就构造了一个共有 (M + 1)(N + 1) 个格点的图，时间、资产价格和期权价值都仅仅在相应的格点处离散计算。点 (i, j) 对应 it 时刻和资产价格 jS ，f(i, j) 则表示 (i, j) 处的期权价值。50

26、TNtmaxSMS51 的近似的近似 对于坐标方格内部的点对于坐标方格内部的点 (i, j) (i, j) ，期权价值对，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示：资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示：5222ffftsS、 和fS,1,1,1,1,2i ji ji ji ji ji jffffffSSS和 的近似的近似 对于对于(i,j)(i,j)点处的点处的 ，我们则采取前向差分，我们则采取前向差分近似以使近似以使 时刻的值和时刻的值和 时刻的值相时刻的值相关联：关联： 5322ffftsS、和ftfti t(1)it1,iji jffftt 的近似的近似这个二阶差分也是中心差分

27、，其误差为这个二阶差分也是中心差分，其误差为5422ffftsS、 和22fS,1,12,1,1,222i ji ji ji ji ji ji jfffffffSSfSSS2OS把以上三个近似代入把以上三个近似代入 B-S-M B-S-M 偏微分方程，整理得到偏微分方程，整理得到其中其中55,1,11,ji jji jji jija fb fc ff2222221122111220,1.1,0,1.1jjjarq j tjtbjtr tcrq j tjtiNjM 可以看出可以看出 , ,这说明同一时刻相这说明同一时刻相邻三个格点的期权价值加权值的终值等于下一个邻三个格点的期权价值加权值的终值等

28、于下一个时刻中间格点的期权价值。时刻中间格点的期权价值。隐性有限差分方法可以理解为从格点图内部向外隐性有限差分方法可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如图所示：推知外部格点的期权价值。如图所示：561jjjabcr t T T 时刻看跌期权的价值为时刻看跌期权的价值为其中其中 当股票价格为零时，下方边界当股票价格为零时，下方边界 S = 0 S = 0 上所有格上所有格点的期权价值：点的期权价值：当股票价格趋于无穷时当股票价格趋于无穷时57,max,0N jTfXS0,1.TSj SjM ,00,1.ifXiN,00,1.i MfiN联立联立 M M 1 1 个方程个方程和和解出

29、每个解出每个 的期权价值。的期权价值。最后可以计算出最后可以计算出 ，当，当 等于初始资产价格等于初始资产价格时，该格点对应的时，该格点对应的 f f 就是我们要求的期权价值。就是我们要求的期权价值。581,11,1,1,1,.1jNjjNjjNjN ja fb fc ffjM1,01,00NNMjfXjMf时 ，时 ，1,Njf0, jfj S假设假设 (i, j) (i, j) 点的点的 与与 (i + 1, j) (i + 1, j) 的对的对应值相等，即应值相等，即591,11,121,11,11,2222ijijijijijfffSSffffSS22ffSS和相应的差分方程修改为相应

30、的差分方程修改为其中其中60,1,11,1,1i jjijjijjijfa fb fc f222222111122111111122jjjarq j tjtr tbjtr tcrq j tjtr t 可以看出可以看出 ，这说明某一时刻某，这说明某一时刻某格点的期权价值等于下一时刻相邻三个格点的期格点的期权价值等于下一时刻相邻三个格点的期权价值风险中性期望值的现值。权价值风险中性期望值的现值。显性有限差分法可以理解为从格点图外部推知内显性有限差分法可以理解为从格点图外部推知内部格点期权价值的方法。部格点期权价值的方法。6111jjjabcr t 62相同之处相同之处：都用离散的模型模拟资产价格的连续运：都用离散的模型模拟资产价格的连续运动。动。不同之处不同之处: : 树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形；有限差树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形；有限差分方法中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的分方法中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。变化，以反映改变了的扩散情形。 有限差分方法比树图方法灵活有限差分方法比树图方法灵活显性有限差分方法与三叉树图相当类似，但显性差显性有限差分方法与