第11届华杯赛初赛试题详细解答

1、 第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）（时间2006年3月18日10：0011：00）注意：1、因为是平时练习，所以每个题中间留有空格，以便写详细的解题过程， 考试的时候也是要有过程的，只是过程写在草稿纸上！ 2、对华杯赛初赛历届考过的所有题型一定要熟悉，相关公式、结论一定 要背诵！ 一、选择题 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内（每小题6分）.1. 如图1所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，图1得到小正方形ABCD. 取AB的中点M和BC的中点N，剪掉得五边形AMNCD. 则将折迭的五边形A

2、MNCD纸片展开铺平后的图形是（ ）.【考点与分析】答案选D.几何图形折叠、翻转、展开图，这题最保守的做法是，按照题意操作得到图形，考试的时候也可以撕草稿纸来操作！这题可以用还原法-倒推！由第3个图，及对称性得解。22008006共有（ ）个质因子. (A) 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7【考点与分析】答案选C.数论计数：计算质因数个数，注意本题是求质因数的个数，不是因素的个数。关键是分解质因素，这种大数如果用短除法就弱爆了。先分析2008006这个数，很明显，奇数位数字和=6+2=8=偶数位数字和，因此2008006能同时被7、11、13整除，而71113=1001，因此200800

3、6=711132006=7111321003，难道1003是质数吗？1003附近是322=1024，分解1003也就是要找能够整除1003的小于32的质数，结果找到17,1003=1759，因此2008006=2711131759，有6个质因子。另一种解法可以用位值原理，2008006=2006000+2006=20061001，接下来的解法相同。【延伸】101、103、107、109是质数；1009是质数；1003、1007都是合数，1001=71113 1003=1759 1007=1953 ；关于年份2016（注意到明年是2016年，华杯赛很喜欢考年份） 那么2016有 个质因子，质因子

4、都是几？，2018006有 个质因子，质因子都是几？3. 奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”. 聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（ ）.（A）星期一 （B）星期二 （C）星期六 （D）星期日【考点与分析】答案选A。推理题。一年有多少天？闰年366天、平年365天，闰年的年份是4的倍数，注意明年2016是闰年有366天，2016年2月份有29天（注意这个出题点）。对于本题，2006年是平年，只有365天，52周是527=364天，那为什么会有53个星期日呢？说明2006年的元旦和最后一天都是星期日嘛。因此2007年的元旦是周一。【延伸】若今天是星期六，则从今天起10200

5、6天后的那一天是星期 。（填1-7的数字）。图24. 如图2，长方形ABCD中ABBC = 54. 位于A点的第一只蚂蚁按的方向，位于C点的第二只蚂蚁按的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ）边上. （A） AB （B） BC （C） CD （D） DA【考点与分析】答案选D.行程问题、赋值法。对于选择题和填空题的“无头题”，可以结合题意给出一定的数值，以方便计算。不妨假设AB=5米、BC=4米，两只蚂蚁在B点相遇（相遇就是同时到达B点），应该设两只蚂蚁速度是多少才合适呢？显然设为5米/秒、4米/秒，刚好1秒后相遇，那么可以利用下表解决

6、哦： 第一次相遇 第二次相遇合走18米 合走36米用时1秒 用时？很明显，第二次相遇用时2秒，这时候两只蚂蚁各自走的路程为：10米、8米。很显然，第二次相遇地点在DA边上。【延伸】第3次、第4次第10次相遇地点在哪？第2006次相遇地点在哪？图35.图3中ABCD是个直角梯形（）. 以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米. 连接BE交AD于P，再连接PC. 则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米.（A）6.36 （B）3.18 （C）2.12 （D）1.59【考点与分析】答案选B.几何面积，等积变形，注意到题目的隐含条件，长方形或正方形、梯形所给的平行线。而且这个题目，只有一

7、个已知条件是面积6.36平方厘米，那么最后的结果肯定与6.36有关？是几分之几呢？能不能猜出来？当然考试还是要算的 ，所以又， ，一半模型出来了，所以选B.【延伸】请认真体会，上面两个利用平行线等积变形的写法。6.五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮, 排成一排表演节目. 如果贝贝和妮妮不相邻, 共有（ ）种不同的排法.(A) 48 (B) 72 (C) 96 (D) 120【考点与分析】答案选B.排列与组合。捆绑排除法或者插空法。这题跟5人排在一起照相，甲乙不能相邻。是等价的，所以是个很常规的题型。捆绑排除法：，是5个人的全排列，减去贝贝和妮妮相邻的就可以了，5个位置，贝

8、贝和妮妮相邻的位置有4种情况（AB、BC、CD、DE），然后贝贝和妮妮还可以交换位置，所以2，排好两个有特殊要求的，剩下3个全排列，因此是插空法：没有特殊要求的先排，有特殊要求的作为“空”插进去。3个人全排列，有4个空，留给2个有特殊要求的人，因此，二、A组填空题（每小题8分） 第 十 一 届 华 杯 赛 2 0 0 67. 在算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立.则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于 .【考点与分析】答案填35.数字谜、数字和。2006年华杯初赛，关于年份

9、2006这是第二个题了，再次说明华杯出题者喜欢出年份的数字。这题有两种解法，第一种，超级无敌大枚举，必须掌握；第二种，利用余数的性质，比较难理解。方法一：关于数字谜问题，首先要看首位、末位。显然“第”=1，不然2006中的0出不来，有0说明进位了。“届”+“赛”可以等于6或者16，分两种情况讨论：（1） “届”+“赛”=6： （1,5） （2,4） “一”+“杯”=10：(1,9） （2,8） （3,7） （4,6） “十”+“华”=9：（1,8） （2,7） （3,6） （4,5） “第”=1 “第”=1，“届”、“赛”必须是（2,4）中的一个，那么“一”、“杯”只能是（3,7）中一个；“十

10、”、“华”只能是（3,6）中一个，都有3矛盾；说明“届”+“赛”只能是16了。（2） “届”+“赛”=16：（7,9）-只有这个可能 “一”+“杯”=9：（1,8） （2,7） （3,6） （4,5） “十”+“华”=9：（1,8） （2,7） （3,6） （4,5） “第”=1 “第”=1，“届”、“赛”必须是（7,9）中的一个，“一”、“杯”是（3,6）（4,5）中一个，“十”、“华”也是（3,6）（4,5）中一个并不矛盾，虽然不知道它们的具体取值，7个数字的数字和为：1+7+9+3+6+4+5=35方法二：余数法。A+B=C，则方程两边的数分别除以9的余数要相等，除以9的余数又相当于数字

11、和除以9的余数，2006除以9余8，因此，“第 十 一 届”+“华 杯 赛”的和除以9的余数也是8，即则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和除以9余8，而“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字相当于从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中舍弃两个数字，那么舍弃哪两个呢？而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，小于45除以9余8的数有哪些呢？44、35、26，44是舍弃1得来的，但是要求舍弃2个数字，排除；35是舍弃和为10的两个数字，没有矛盾；26是舍弃和为19的两个数字，做不到。所以答案就是35.8. 全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，

12、28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有 人.【考点与分析】答案填23.容斥原理。必须充分理解韦恩图中每部分的含义。本题“每人恰有三角板或直尺中的一种”，说明两者都没有的是0，两者都有的也是0，那么韦恩图怎么画？50-28=22,22-14=8,31-8=23.图49. 图4是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内. 当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米. 则这个玻璃杯的容积为 立方厘米. （取） （提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）【考点与分析】

13、答案填228.08.圆柱体体积（容积）、勾股定理。这题出得相当好，主要是要理解题意，我们都有用吸管喝饮料的经历，吸管竖着插，露出的吸管最多，在玻璃杯里面的部分不就是，圆柱体的高了吗？高12-4=8cm，图4中的位置，吸管露出最少，相当于AC边，斜边吧？AC=12-2=10cm题目还提示你：勾6、股8、弦10，那么AB=6，相当于圆柱体底面圆的直径，那么半径r=3套用圆柱体公式：（cm3）图510. 有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉。如果从图5-(1)的初始状态开始依照上述规定

14、操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有个. 【考点与分析】答案填4.操作最值问题。这题是操作问题，操作题一定要动手操作。问最大值，从极端思维考虑，显然答案是5、4、3、2、1中一个，先看5个黑子的情况，倒推法，那前一步考虑这5个黑子是怎么得来的，出矛盾。图5给出的那个刚好第3个图往下推，可以得4个黑子，因此答案就是4.三、B组填空题（每题两个空，每个空4分）11. 李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥. 若每亩施6千克，则缺少化肥300千克；若每亩施5千克，则余下化肥200千克. 那么李大爷共承包了麦田 亩，这批化肥有 千克.【考点与分析】500,2700. 应用题-盈亏问题。

15、盈亏问题不管多么复杂都可以用方程或者方程组解决。设李大爷共承包了麦田亩，这批化肥有千克. 解得，=500，=2700验证，得结论。12. 将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：a =135791113151719219799101103.则数a共有 位，数a除以9的余数是 .【考点与分析】101，4。计数、余数（数字和）1、3、5、7、9占了5位，11、13、15、97、99占了245=90位，再加上101、103占的6位，5+90+6=101，所以a共有101位。一个数a除以9的余数相当于a的各位数字和除以9的余数，本题a的数字和可以这么求：11、13、15、17、19、21、2

16、3、25、27、2991、93、95、97、99，可以把十位数字的在一起求和，个位数字的在一起求和，因此a的数字和为：(1+3+5+7+9)+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)5+(1+3+5+7+9)59+(1+0+1+1+0+3)=25+455+2559+6（注意：没必要计算出来，用弃9法）除以9的余数，用弃9法，已经是9的倍数的直接弃除，如果考虑除以7的余数，弃除的是7的倍数，这点要理解。455是9的倍数，因为45是9的倍数，弃除，显然2559+是9的倍数，弃除。因此只要求25+6=31除以9的余数，显然是4.13. 自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌:红桃、红方、黑桃、黑梅.每种

17、牌都有1点、2点、13点牌各一张）. 洗好后背面朝上放好. 一次至少抽取_张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同. 如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取_张牌.【考点与分析】27,37。最不利原则。华杯赛特别喜欢考扑克牌，扑克牌除掉大小王，有52张，52=134，有四种花色、两种颜色的扑克牌，注意花色跟颜色的区别。花色是指红桃、红方、黑桃、黑梅，4种；颜色只有红色和黑色 2种。本题利用最不利原则，当取26张牌，比如取13张红桃、13张红方，这时候“倒霉蛋”取了26张牌，再取1张，“倒霉蛋“就翻身了26+1=27。3张牌的点数不相邻（不计颜色），最

18、不利的一种情况时，取（1、2、4、5、7、8、10、11、13），不取（3、6、9、12），“倒霉蛋”要取49=36张，36+1=37“倒霉蛋”就翻身了，所以答案37.14.图6中有 个正方形，有 个三角形.图6答案：99,155解：第1问，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；面积为1的正方形的个数：36；面积为2的正方形的个数：4；面积为4的正方形的个数：25；面积为9的正方形的个数：16；面积为16的正方形的个数：9；面积为25的正方形的个数4；面积为36的正方形的个数：1。所以，共有36+4+25+16+9+4+1=95（个）正方形。第2问。方法1：以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：只有1个基本图形单位的三角形共72个；由2个基本图形单位组成的三角形共37个；由4个基本图形单位组成的三角形共30个；由8个基本图形单位组成的三角形共4个；由9个基本图形单位组成的三角形共10个；由16个基本图形单位组成的三角形共2个；所以图中共有三角形72+37+30+4+10+2=155（个）。方法2：依三角形的斜边的长度数三角形。（1）斜边和水平线成45度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为1：长度为3的斜边共有：5条；长度为4的斜边共有：1条。因为