随机信号-3_随机信号通过线性系统

1、随机信号分析随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统通信工程学院通信工程学院张南张南西安电子科技大学西安电子科技大学 3.1 3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论 3.2 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 3.3 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 3.4 3.4 3dB3dB带宽、等效噪声带宽和白噪声通过理想线性系统分析带宽、等效噪声带宽和白噪声通过理想线性系统分析 3.5 3.5 希尔伯特变换与解析过程希尔伯特变换与解析过程 3.6 3.6 窄带随机过程的表示方法窄带随机过程的表示方法 3.7 3.7 窄带随机过程包

2、络与相位的特性窄带随机过程包络与相位的特性 3.8 3.8 正弦信号与窄带正弦信号与窄带SPSP之和的包络和相位的特性之和的包络和相位的特性2系统可分为：系统可分为： （1 1）线性系统：线性放大器、线性滤波器）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2 2）非线性系统：限幅器、平方律检波器）非线性系统：限幅器、平方律检波器对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输出信号的统计特性求出系统输出信号的统计特性3 连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号； 离散时间系统：系统的

3、输入和输出都是离散时间信号。离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。连续与离散系统：连续与离散系统：线性时不变系统：线性时不变系统：（1）线性性：线性性：1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t称作算子称作算子L00() ()y ttL x tt（2 2）时不变：）时不变：本章规定所研究系统是单输入单输出（响应）的、连本章规定所研究系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。4L.x(t)y(t) = Lx(t)稳定系统稳定系统：对于任意有界输入，响应也是有界的：对

4、于任意有界输入，响应也是有界的连续时不变线性系统的分析方法连续时不变线性系统的分析方法1. 1. 时域分析时域分析2 2频域分析频域分析3. 3. 物理可实现的稳定系统物理可实现的稳定系统)()()()()()()(thtxdthxdhtxtydtethHtj)()( )( )( )Y sH s X sjs 如果当如果当 时时， 那么该系统称为因果系统。那么该系统称为因果系统。所有实际所有实际的物的物理可实现系统都是因果的。物理可实现的稳定系统的传递函数理可实现系统都是因果的。物理可实现的稳定系统的传递函数 的所有极点都位于的所有极点都位于 平面左半面平面左半面( (不包含虚轴不包含虚轴) )

5、。0t0)(th)(sHs dtetxXtj XHY5离散时不变线性系统的分析方法离散时不变线性系统的分析方法1. 时域分析时域分析2频域分析频域分析3. 物理可实现的稳定系统物理可实现的稳定系统)()()()()()()(nhnxknhkxkhknxnykk()( )jj nnH eh n ejez 如果当如果当时，时，那么该系统称为因果系统。，那么该系统称为因果系统。0)(nh0n物理可实现稳定系统的极点都位于物理可实现稳定系统的极点都位于z平面的单位圆内。平面的单位圆内。 jjjeHeXeY jj nX ex n e zHzXzY6随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的

6、分析在给定系统的条件下，输出信号的某个在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性统计特性只取决于输只取决于输入信号的入信号的相应的相应的统计特性统计特性。根据输入随机信号的根据输入随机信号的、相关函数相关函数和和功率谱密度功率谱密度，再加上，再加上已知线性系统已知线性系统单位冲激响应单位冲激响应或或传递函数传递函数，就可以求出输出随，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关函数和功率谱密度机信号相应的均值、相关函数和功率谱密度 。分析方法：分析方法：卷积积分法、频域法。卷积积分法、频域法。7 输入为随机信号输入为随机信号X(t)的某个的某个的的， 则则为：为：( , )x t0)()()(dtx

7、hty系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应一个确定性一个确定性函数函数一个确定性函数一个确定性函数0Y( )( )()( )( )thX tdh tX tX ( ) t若对于随机信号若对于随机信号，任意一个样本函数均成立。，任意一个样本函数均成立。那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程1）输出表达式）输出表达式8时域分析法时域分析法 2）输出的均值）输出的均值Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX td0( ) X()hEtdX0( )()hmtd证明证明X( )* ( )mth tX( ) tYX0( )mmhd若若为平稳SP，则YX( )( )*

8、 ( )mtmth t3）系统输入与输出之间的互相关函数）系统输入与输出之间的互相关函数由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t9时域分析法时域分析法 YX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t证明：证明：XY1212120( , )X( )Y( )X( )( )X()Rt tEttEth utu

9、 du120( ) X( )()h u Et X tu duX120( )( ,)h u Rt tu duX122( , )* ( )Rt th t同理可得同理可得YX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th tXY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tXY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru du X( )()Rh若输入为平稳随机过程若输入为平稳随机过程10时域分析法时域分析法 已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数 Y1212( ,)Y( )Y( )Rt tEtt

10、12X12( )( )( ,)h th tRt t 4）系统输出的自相关函数）系统输出的自相关函数证明：证明：Y1212( , ) ( ) ( )Rt tE Y t Y t1200( )X()( )X()Eh utu duh vtv dv1200( ) ( ) X()X()h u h v Etutv dudv X1200( ) ( )(,)h u h v Rtu tv dudv 12X12( )( )( , )h th tR t t11时域分析法时域分析法 Y121XY12( ,)( )( ,)Rt th tRt t2YX12()( ,)h tRt tYXX00( )( ) ( )()( )(

11、 )()Rh u h v Ruv dudvRhh XYYX( )()( )( )RhRh 2121),(tYtYEttRY dvduvtutRvhuhX 0210, 0210,dudvvtutRvhuhX dvduvtutRuhvhX0210, 021,dututRuhXY 021,dvvttRvhYX 211,*ttRthXY 212,*ttRthYX 2121,*ttRththX12时域分析法时域分析法 系统输出的n阶矩的一般表达式为 5）系统输出的高阶距）系统输出的高阶距13时域分析法时域分析法 前提：系统输出响应在前提：系统输出响应在t=0已处于稳态。已处于稳态。结论结论1：若输入若输

12、入 是宽平稳的，则系统输出是宽平稳的，则系统输出 也是宽平稳也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。的，且输入与输出联合宽平稳。X( ) tY( ) t结论结论2：若输入若输入 是严平稳的，则输出是严平稳的，则输出 也是严平稳的。也是严平稳的。 X( ) tY( ) t结论结论3：若输入若输入 是宽遍历性的，则输出是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历性也是宽遍历性的，且联合遍历。的，且联合遍历。 Y( ) tX( ) t系统输出的平稳性和遍历性系统输出的平稳性和遍历性 14时域分析法时域分析法 结论结论1 1：若输入是若输入是 宽平稳的，则系统输出宽平稳的，则系统输出 也是宽平也是宽平稳的，且输入与

13、输出联合宽平稳。稳的，且输入与输出联合宽平稳。X( ) tY( ) t证明：证明：若输入若输入 为宽平稳随机过程，则有：为宽平稳随机过程，则有： X( ) tYX0( )mmhdXY( )RXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhYX( )RYX12( , )Rt tX0( )()h u Ru du X( )()RhY12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR XX( )mtm 常数X12X( ,)( )Rt tR12tt 2X(0)( )RE Xt 15时域分析法时域分析法 22X00Y

14、 ( )( )( ) ( )()EtE Yth u h v Ruv dudv X00( )( )()h uh vRuvdudv X00(0)( )( )Rh uh vdudv X00(0)( )( )Rh v dvh udu而输出的均方值为而输出的均方值为0)(dtth如果系统是稳定的，即如果系统是稳定的，即2( )E Yt 因此因此16时域分析法时域分析法 结论2：若输入 是严平稳的，则输出 也是严平稳的。 X( ) tY( ) t因为0Y( )( )()thX td 对于时不变系统，若时移常数T，有0Y()( )()tThX tTd输出 和 分别是输入 和 与 的卷积，即可以表示成级数和的

15、形式。由于随机信号 是严平稳的，所以 与 具有相同的n维概率密度函数，这样 与 也应该具有相同的n维概率密度函数，即严平稳。Y()tTY( ) tX()tTX( ) t)(thX()tTX( ) tY()tTY( ) tX( ) t证明：17时域分析法时域分析法 结论结论3 3：若输入若输入 是宽遍历性的，则输出是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历也是宽遍历性的，且联合遍历。性的，且联合遍历。 X( ) tY( ) tXX( ) tmXX( )()( )t X tR由 的宽遍历的定义得 X( ) t1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TTTlimh u X tu du d

16、tT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duT则输出 的时间平均Y( ) tX0( )m h u duYm证明：证明：18时域分析法时域分析法 1Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1X( ) ()X( )Y()2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTTlimX tut dt h u d

17、uTX0() ( )Ru h u duXY( )R 19时域分析法时域分析法 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例3.1 如图如图3.1所示的低通所示的低通 电路，已知输入信号电路，已知输入信号是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为，假设，假设是相关函数为是相关函数为的白噪声，求：的白噪声，求：求输出均值；求输出均值；输出的自相关函数；输出的自相关函数；输出平均功率；输出平均功率；输入与输出间互相关函数：输入与输出间互相关函数：20时域分析法时域分析法 解：解：该电路的单位冲激响应为该电路的单位冲激响应为)()(tUbethbt其中：其中：RCb1Y

18、XXX00|bubummbedum em 输出的均值为输出的均值为 输出自相关函数输出自相关函数YX00( )( ) ( )()Rh u h v Ruv dudv 000)(2)()(dvduvuNvhuh00)()(2duuhuhN21时域分析法时域分析法 即：即：()0Y0( )()()2bubuNRbebedu分别按分别按 与与 求解。当求解。当 时，由时，由 的因果性得的因果性得 000)(th220Y0( )2bbuN bReedubebN40由于自相关函数的偶对称性，则当由于自相关函数的偶对称性，则当 时，有时，有 0显然，显然，有有0Y( )4bN bRe（3-2-19）0Y(

19、)4bN bRe22时域分析法时域分析法 注意到注意到b b是时间常数的倒数，它与电路的半功率带宽是时间常数的倒数，它与电路的半功率带宽 有关有关f221bRCf（Hz） 因此输出平均功率又可写为因此输出平均功率又可写为显然显然，该电路输出平均功率与电路的带宽成正比。该电路输出平均功率与电路的带宽成正比。 fNtYE202 输出的平均功率为输出的平均功率为 2004YNbE Y tR23时域分析法时域分析法 输入输出互相关函数为：输入输出互相关函数为：0XY0( )() ( )2NRu h u du 000)(20hN同理同理0YX0( )() ( )2NRu h u du 0)(2000hN

20、24时域分析法时域分析法 例例3.2 应用举例：设某线性系统输入为相关函数应用举例：设某线性系统输入为相关函数0X( )( )2NR 的白噪声，如果测得系统输入和输出的互相关函数，的白噪声，如果测得系统输入和输出的互相关函数，求这个线性系统的单位冲激响应。求这个线性系统的单位冲激响应。25时域分析法时域分析法 26解：解：由式由式（3-2-7）, ,有有0 x00( )()() ( )2Nh u Ru duu h u du )(20hN XYR XYRNh02 XYTTTRdttYtXTtYtX21lim工程中，工程中，取取 ，即将输入输出相乘并，即将输入输出相乘并取时间平均，即可得到互相关函

21、数的估值。取时间平均，即可得到互相关函数的估值。 dttytxTtytxT01所以：所以： 通常情况下，理想白噪声通过线性系统时互相关联合遍历，即通常情况下，理想白噪声通过线性系统时互相关联合遍历，即 由此可估计线性系统的冲激响应。由此可估计线性系统的冲激响应。 时域分析法时域分析法 270204dudveebeNbvbuvu例例3.33.3 设设 的自相关函数为的自相关函数为 ，为各自的半功率带宽，为各自的半功率带宽， 0 x( )4NRe )()(tUbethbt,2f2bfb, b tX求求 。 YR解：解： dudvvhuhvuRRXY 00当当 时，分时，分 与与 两部分积分两部分积

22、分 ： 0vu vu dudveedveeebNRbvuvuubvvubuY00204bebebbN)(422200时域分析法时域分析法 因为因为 ，所以，所以 YYRR bYebebNbR22024 因为因为 则则 ， ，即，即b222b0e bYebNR40比较式比较式（3-2-19）和式和式 (3.-2-23) 可见，在输入信号的带宽远可见，在输入信号的带宽远大于系统带宽的情况下，分析系统输出的统计特性，可以大于系统带宽的情况下，分析系统输出的统计特性，可以合理合理地利用白噪声来近似输入随机信号。地利用白噪声来近似输入随机信号。(3.-2-23)28时域分析法时域分析法 00( )( )

23、(0)YXXXmmhdm Hm H1、系统输出的均值、系统输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSH用用 表示，有：表示，有： jsYX( )( )( )()SsSs H s HsYX( )( )( )()RRhh 由由，两边取付氏变换得：，两边取付氏变换得： 29频域分析法频域分析法 XYX( )( )( )SSHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s显然有显然有或或3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度

24、4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 dteetfdtetfsFtjtst)()()(js因此，因此，对于随机信号，通常情况下其拉普拉斯变换存在。对于随机信号，通常情况下其拉普拉斯变换存在。 当当 不可积时，不可积时，)(tftetf)(可积。可积。30频域分析法频域分析法 例例3.43.4 采用频域分析法重做例采用频域分析法重做例3 .13 .1。由于由于 ，则有，则有 20NRX 低通低通RC电路的传输函数为电路的传输函数为 20NSXjbbH)(电路的功率传输函数为电路的功率传输函数为2222)(bbH解：解：31频域分析法频域分析法 （1 1）系统输出的自相关函数为系统输

25、出的自相关函数为 222022bbNSHSXY jbbNHSSXXY20 jbbNHSSXYX20于是于是 deSRjYY21debbNj)(2212220bebN4032频域分析法频域分析法 （2 2）输出平均功率为输出平均功率为 4002bNRtYEY（3 3）互相关函数为互相关函数为 deSRjXYXY21dejbbNj)(2210bebN200同理同理 bYXebNR20033频域分析法频域分析法 例例3.53.5有一系统如图所示有一系统如图所示. 0S( )Z t求求(1)系统的传输函数；（系统的传输函数；（2）当输入功率谱密度为）当输入功率谱密度为功率谱密度；功率谱密度； 的白噪声

26、时，输出的白噪声时，输出（3）输出的平均功率。）输出的平均功率。（提示：积分（提示：积分 ）220sin|2axax(1)设积分器的冲激响应为设积分器的冲激响应为h1(t)，则因为，则因为解：解：1( )( )()( ),Z tX tX tTh t则有1( )( )( )( )sTZ sX sX s eH s系统的传递函数：系统的传递函数：1( )1( )(1)( )( )sTsTZ seH seH sX ss因为因为00( )()()tYdY tdY td所以：所以：1( )( )h tU t11( )Hj这时这时1( )(1)j THej34频域分析法频域分析法 又又 110( )()Z

27、tY th thY td220sin|2axdxax(2)2220202220022S 1S (1cos)sin( )( )|( )|S (22cos)4Ssin2j TZXeTTSSHTT2002sin4S12( )222ZTS TQSdd(3)注意：注意：35频域分析法频域分析法 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、系统的输出表达式、系统的输出表达式 2、系统输出的均值、系统输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析36时域分析法时域分析

28、法 0Y( )( )X()knh knk系统的输出等于输入信号与单位冲激响应的卷积和。系统的输出等于输入信号与单位冲激响应的卷积和。 可以证明可以证明，在假定系统是稳定的、输入有界的条件下，在假定系统是稳定的、输入有界的条件下上式在均方收敛的意义下是存在的。上式在均方收敛的意义下是存在的。 2、输出的均值、输出的均值Y00( ) ( )( ) ()( )()XkkmnE Y nh k E X nkh k mnkYX0( )kmmh k若输入若输入为平稳为平稳 过程，过程， 则则 nX XXmnm37 1、系统的输出表达式、系统的输出表达式3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的

29、互相关函数 XY( ,)( ) ()Rn nmE X n Y nm0( )( )()kE X nh k X nmk0( ) ( )()kh k E X n X nmkX0( )( ,)kh k Rn nmkX0( ,)( )(,)YXkRn nmh k Rnk nmXYXX0( )( )()( )*( )kRmh k Rmkh mRmYXXX0( )( )()()*( )kRmh k RmkhmRm同理同理若输入若输入 为平稳过程为平稳过程 nX38时域分析法时域分析法 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数Y( ,) ( ) ()Rn nmE Y n Y nm00( )()( )()

30、kjEh k X nkh j X nmj00( ) ( )()()kjh k h j E X nk X nmjX00( ) ( )(,)kjh k h j Rnk nmj YX00( ) ( )()kjRmh k h j RmkjXXY( )* ( )* ()( )* ()Rmh mhmRmhmYX( )* ( )Rmh m若输入若输入 为平稳过程，则为平稳过程，则 nX2X00( )( ) ( )()kjE Ynh k h j Rkj 输出的均方值或平均功率为输出的均方值或平均功率为:39时域分析法时域分析法 频域分析法频域分析法 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 若输入随机信号是宽平

31、稳的，则输出也是宽平稳的，且有若输入随机信号是宽平稳的，则输出也是宽平稳的，且有YX10( )(1)kzXkmmh k zHmXYX( )( )( )SzH z Sz1YXX( )()( )SzH zSz1YX( )( )()( )SzH z H zSz1XYYX()( )( )( )H zSzH z SzjzeX( )()( )jXYSH eSX( )()( )jYXSH eSYX2X( )()()( )()( )jjjSH eH eSH eS40系统输出的自相关函数为系统输出的自相关函数为 dzzzSjmRmlYY121 deSeHmRjmXjY221 2、输出平均功率的计算、输出平均功率

32、的计算 dzzzSzHzHjnYEXl11221 dSeHnYEXj2221式中式中 代表平面上的单位圆。代表平面上的单位圆。l系统输出的平均功率：系统输出的平均功率： 41频域分析法频域分析法 例例3.63.6 设一线性滤波器的传递函数为设一线性滤波器的传递函数为 ，其中，其中若输入信号若输入信号 是自相关函数是自相关函数 的平稳白噪声，试求的平稳白噪声，试求输出输出 的平均功率的平均功率。 2221( ),1aH za z2xx( )( )R mm )(nX)(nY解：解：输入随机信号的功率谱为输入随机信号的功率谱为则输出信号的功率谱密度为：则输出信号的功率谱密度为： 2XXzS 2222

33、2221111zaazaazSXY)1)()1 (22222222zaazzaX)()()()1 (2222jazjazjazjazzaX42频域分析法频域分析法 1a 输出平均功率输出平均功率( (留数法求解留数法求解) ) dzzjazjazjazjazzajnYElX12222121ajzXajzjazjazjazjazza)()()()()1 (222ajzXajzjazjazjazjazza)()()()()1 (222)1 ()1 ()1 (2)1 ()1 (2)1 (222222222aaaaaaXXX43频域分析法频域分析法 3.43.4节节 白噪声通过理想线性系统分析白噪声通

34、过理想线性系统分析白化滤波器和色噪声产生白化滤波器和色噪声产生44问题问题1 1：白噪声通过线性系统后，输出（带内）是否还是白：白噪声通过线性系统后，输出（带内）是否还是白噪声？原因是什么？噪声？原因是什么？问题问题2 2：线性系统输出（带内）的平均功率如何简便计算？：线性系统输出（带内）的平均功率如何简便计算？问题问题3 3：线性系统输出（带内）的随机过程的概率分布如何？：线性系统输出（带内）的随机过程的概率分布如何？4546白噪声通过理想线性系统分析白噪声通过理想线性系统分析20Y( )( )2NSH或物理谱密度为或物理谱密度为2Y0( )( )GHN0输出自相关函数为输出自相关函数为 d

35、eHNRjY204duuhuhN00)()(2)(H)(sH 20NSX设连续线性系统的传递函数为设连续线性系统的传递函数为或或，其输入白噪声，其输入白噪声，那么系统输出的功率谱密度为，那么系统输出的功率谱密度为 功率谱密度为功率谱密度为输出平均功率为输出平均功率为 2220000( )22NNE YtHdh u du 注意注意：上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出：上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性 决定，决定，不一定为常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，不一定为常数。这是因为无

36、线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。 )(H47白噪声通过理想线性系统分析白噪声通过理想线性系统分析3dB3dB带宽带宽图图 3dB带宽带宽定义：定义：3dB带宽也叫半功率带宽：功率下降一半时或幅度为带宽也叫半功率带宽：功率下降一半时或幅度为最大值的最大值的0.707时正频率（差）时正频率（差） 。对于低通系统为。对于低通系统为 ，对于，对于带通系统为带通系统为 如下图所示。如下图所示。21048等效噪声带宽等效噪声带宽 当系统比较复杂时，计算系统输出信号的统计特性是困难的。当系统比较复杂时，计算系统输出信

37、号的统计特性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应为矩形的理想系理想系统等效代替实际系统统等效代替实际系统，在等效时要用到个非常重要的概念，在等效时要用到个非常重要的概念等效噪声带宽等效噪声带宽，它被定义为理想系统的带宽。，它被定义为理想系统的带宽。（1）理想系统与实际系统在同一白噪声激励下）理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两个系两个系统的输出平均功率相等；统的输出平均功率相等；（2）理想系统的增益等于实际系统的最大增益。）理想系统的增益等于实际系统的最大增益。1.1.等效的原则等效的原则 49任意低通系统幅频特性任意低通系统幅

38、频特性理想系统幅频特性理想系统幅频特性50等效噪声带宽等效噪声带宽 51功率谱密度为功率谱密度为白噪声激励白噪声激励 计算实际系统的等效噪声带宽计算实际系统的等效噪声带宽e H(0)0K020N实际系统输出端总平均功率为实际系统输出端总平均功率为 22002NE YtHd 理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为 22200022eeNN KE YtK d ( )H( )Hmax( )H等效噪声带宽等效噪声带宽 52则实际系统的等效噪声带宽为则实际系统的等效噪声带宽为 220max1eHdH对于一般的低通滤波器，对于一般的低通滤波器，的最大值

39、出现在的最大值出现在0)( H处，即处，即)0()(maxHH 对于中心频率为对于中心频率为0 的带通系统的带通系统(如单调谐回路如单调谐回路) )( H的最大值出现在的最大值出现在处，即处，即0 )()(0maxHH等效噪声带宽等效噪声带宽 53实际系统的等效噪声带宽用拉普拉斯变换可以表示为 2max12jejH s Hs dsj H 20max2eNPH 22002NE YtHd 系统输出平均功率可表示为系统输出平均功率可表示为 等效噪声带宽等效噪声带宽 例例3.7 求图求图3.1所示所示RC电路的等效噪声带宽和电路的等效噪声带宽和3dB带宽。带宽。解：解：RC电路的传递函数电路的传递函数

40、,)(jbbHRCb1于是于是 1)0()(max HH2222)(bbH则则 dbbdHHe0222202max)()(1bbbarctg2042bfee（Hz） 又由又由 ，得，得 ,)(222bbH1)(maxH,22222bbb所以所以3dB带宽带宽 2bf （Hz） 54等效噪声带宽等效噪声带宽 例例3.8 系统传递函数如下图所示，求等效噪声带宽。系统传递函数如下图所示，求等效噪声带宽。图图 系统传递函数系统传递函数解：解： 2)(maxH32)2(41)()(1202202maxddHHe312eef（Hz） 55等效噪声带宽等效噪声带宽 当系统输入为白噪声时，仅使用参数当系统输入

41、为白噪声时，仅使用参数 和和 就可以就可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应，会使问题的分析大为描述非常复杂的线性系统及其噪声响应，会使问题的分析大为简化，而不引入太大的误差。简化，而不引入太大的误差。 e max)( H小结：小结：56等效噪声带宽等效噪声带宽 A022输出的功率谱输出的功率谱 输出的自相关函数输出的自相关函数 输出平均功率输出平均功率 输出相关系数输出相关系数 输出相关时间输出相关时间 白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 0)(AH/2其它设白噪声的功率谱设白噪声的功率谱0( )/2XSN白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统5758 2si

42、n220AN22sin420AN2201( )( )( )20YXN ASHS/2 其它1( )( )2jYYRSed2/20/24jN Aed白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 220( )4N AE Ytsin( )( )2( )(0)(0)2YYYYYKRrKR59白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 该式表明：输出随机信号的相关时间该式表明：输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。这就是说，系与系统的带宽成反比。这就是说，系统带宽越宽，相关时间越小，输出随统带宽越宽，相关时间越小，输出随机信号随时间变化机信号随时间变化(起伏起伏)越剧烈；反之，越剧烈

43、；反之，系统带宽越窄，则相关时间越大，输系统带宽越窄，则相关时间越大，输出随机信号随时间变化就越缓慢。出随机信号随时间变化就越缓慢。 0Y00sin12( )22rddf02)sin(dxxax0a60白噪声通过理想低通线性系统白噪声通过理想低通线性系统 A000系统的中心频率远大于系统的带宽，系统的中心频率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。则称这样的系统为窄带系统。0 0)(AH其它2/0( )H61白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 62若输入白噪声的功率谱若输入白噪声的功率谱则输出的功率谱为则输出的功率谱为0( )2XNS2201( )( )( )20YXN

44、ASHS其它2/0白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 （1）输出相关函数为）输出相关函数为1( )( )2jYYRSed00002/2/20/2/2()4jjA Neded2000sin(/2)cos( )cos2/2A Na 式中式中2/)2/sin(2)(02NAa 0cos相比，相比，是是是是 的慢变化部分的慢变化部分,是是的快变化部分。的快变化部分。 )( a只包含只包含的成分。当满足的成分。当满足时，时，)( a与与0 0cos的快变化函数。可见的快变化函数。可见2/)2/sin(2)(02NAa)( a YR是是 YR的的包络。包络。输出自相关函数输出自相关函数)

45、( YR等于等于)( a与与 0cos的乘积，其中的乘积，其中 0cos YR是是 的慢变化函数，而的慢变化函数，而)( a63白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 白噪声通过理想带通线性系统的输出相关函数包络与白噪声白噪声通过理想带通线性系统的输出相关函数包络与白噪声通过理想低通线性系统的输出的相关函数相似通过理想低通线性系统的输出的相关函数相似输出相关函数波形输出相关函数波形 理想带通系统输出的相关函数波形理想带通系统输出的相关函数波形64白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 （2）带通系统输出的平均功率为带通系统输出的平均功率为 带通系统的相关时间是由相关

46、系数的慢变部分定义的，带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的，因此因此带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致带通系统的相关时间与低通系统的相关时间一致(积分时只积分时只用相关系数的包络积分用相关系数的包络积分)fd2122sin00220( )2N AE Yt（3）输出的相关系数为输出的相关系数为0sin( )( )2( )cos(0)(0)2YYYYYKRrKR 65白噪声通过理想带通线性系统白噪声通过理想带通线性系统 白噪声通过理想高斯线性系统白噪声通过理想高斯线性系统 高斯带通系统的频率响应为：高斯带通系统的频率响应为：设输入白噪声的功率谱设输入白噪声的功率谱2)(0NSX系

47、统输出功率谱为系统输出功率谱为 220022()()( )expexp22HA高斯带通系统的频率响应22222000022()()( )( )( )expexp2222YXNNSHSAA22200022()()expexp2NA66（1 1）输出相关函数输出相关函数 0( )cosa 2222222eeFt高斯系统的输出相关函数22200022()()1( )expexp22jYNRAed002222()()0022expexp44jjN AN Aeded 22002cosexp2jN Aed 2 22400cos2A Ne 67白噪声通过理想高斯线性系统白噪声通过理想高斯线性系统 （2）输出

48、随机过程的平均功率为输出随机过程的平均功率为 20(0)4RA N（3）相关系数相关系数 2 204( )jYree （4）等效噪声带宽等效噪声带宽 2022()0200( )()eHdedH （5）相关时间相关时间 de0402268白噪声通过理想高斯线性系统白噪声通过理想高斯线性系统 线性系统输出端随机信号的概率分布线性系统输出端随机信号的概率分布难难输入随机信号为高斯过程输入随机信号为高斯过程 系统输入为非高斯过程，其带宽远大于线性系统的通频带的情况系统输入为非高斯过程，其带宽远大于线性系统的通频带的情况 线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布 69 如果输入如果输入 是高斯序列，

49、在是高斯序列，在k时刻，时刻， 是一个高斯变是一个高斯变量，那么上式是量，那么上式是k维高斯变量的线性组合维高斯变量的线性组合(k趋于无穷大趋于无穷大)。 由高由高斯变量的性质可知，斯变量的性质可知，k维高斯变量的线性组合仍为高斯分布，维高斯变量的线性组合仍为高斯分布，因此输出因此输出 也是高斯分布。这个结论很容易推广到连续系统。也是高斯分布。这个结论很容易推广到连续系统。 kX kX nY(1)线性系统线性系统输入输入为高斯过程，则该系统为高斯过程，则该系统输出输出仍为高斯过程仍为高斯过程 0nkkY nh k X nkh nk X k70线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布 (2)

50、若输入为若输入为非高斯过程非高斯过程，其，其等效噪声带宽远大于系统带宽等效噪声带宽远大于系统带宽，则系统输出则系统输出近似高斯过程近似高斯过程。基本思想基本思想： 条件条件：（1 1）随机变量必须相互独立；）随机变量必须相互独立；（2 2）独立随机变量求和的数目要足够多。）独立随机变量求和的数目要足够多。是随机变量之和。是随机变量之和。 nY根据中心极限定理，根据中心极限定理，随机变量之和的分布接近于高斯分布。随机变量之和的分布接近于高斯分布。因此，因此， 接近于高斯分布。接近于高斯分布。 nY71线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布 1、随机变量相互独立、随机变量相互独立 2、随机变

51、量足够多、随机变量足够多 0( )( )()()( )nkkY nh k X nkh nk X k 功率谱带宽与功率谱带宽与0成反比，则成反比，则对于宽带输入有：对于宽带输入有：若采样间隔若采样间隔 T满足：满足：0T( )X k(1)X k (2)X k()X km则输入随机过程的采样则输入随机过程的采样、之间是互相独立。之间是互相独立。 系统冲激相应的时域持续时间与带宽成反比。系统冲激相应的时域持续时间与带宽成反比。那么对于那么对于 窄带系统，窄带系统，)(knh的持续时间的持续时间足够长，即有足够数量的足够长，即有足够数量的于是由中心极限定理，输出于是由中心极限定理，输出( )Y n接近

52、高斯分布。接近高斯分布。 72非零非零)(knh线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布 例例 3.9对理想低通线性系统：对理想低通线性系统：0, ( )0, ABH其他通过该系统的输出自相关函数。如果输出信号采样，以什么样的频率采通过该系统的输出自相关函数。如果输出信号采样，以什么样的频率采样时，采样样本是相互独立的。样时，采样样本是相互独立的。，求理想高斯白噪声，求理想高斯白噪声解解：输入白噪声为：输入白噪声为( )X t，其功率谱密度为其功率谱密度为0( )/2XSN，则低通系，则低通系统的输出功率谱密度为统的输出功率谱密度为：2200( )( )( )/2YXSHSA NB0022

53、20000001( )sin()()2222BjYBA NN AN A BRedBSaB当当0B时，即时，即01/ B时，在两个采样点时，在两个采样点, t t上，上，( )X t和和()X t仍是高斯信号，而高斯信号不相关等价于独立，故对输出信号以仍是高斯信号，而高斯信号不相关等价于独立，故对输出信号以是互不相关的。由于高斯信号通过线性系统后的信号是互不相关的。由于高斯信号通过线性系统后的信号01sfB进行采样时，采样样本相互独立。进行采样时，采样样本相互独立。73线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布 例例 3.10解解：随机变量：随机变量s s是高斯过程是高斯过程( )X t平稳随

54、机过程平稳随机过程是正态的，具有零均值及相关函数是正态的，具有零均值及相关函数| |( )XRe求随机变量求随机变量10( )sX t dt的概率密度函数。的概率密度函数。( )X t的线性变换，因此的线性变换，因此s s也服从高斯分布。也服从高斯分布。10 ( )0E sEX t dt1111220000( )( )( )( )sE sEX u duX v dvEX u X v dudv 1111| |100( )2uuXuuRdudedude 其概率密度函数为其概率密度函数为2111( )exp()44ssf see74线性系统输出的概率分布线性系统输出的概率分布 1、系统对输入信号具有频

55、率选择性。、系统对输入信号具有频率选择性。输出功率谱由输入功率输出功率谱由输入功率谱和系统功率传递函数共同决定。谱和系统功率传递函数共同决定。2、3dB带宽为半功率带宽，取正频率部分。带宽为半功率带宽，取正频率部分。3、等效噪声带宽的等效原则：、等效噪声带宽的等效原则： 功率相等，增益取实际系统最大增益。功率相等，增益取实际系统最大增益。4、线性系统输出的概率分布：、线性系统输出的概率分布： （1）线性系统输入为高斯过程，则输出也是高斯过程。）线性系统输入为高斯过程，则输出也是高斯过程。（2）若输入为非高斯过程，其等效噪声带宽远大于系统）若输入为非高斯过程，其等效噪声带宽远大于系统带宽，则系统

56、输出近似高斯过程。带宽，则系统输出近似高斯过程。75随机信号通过线性系统总结随机信号通过线性系统总结76色噪声产生和白化滤波器色噪声产生和白化滤波器1YX( )( )()( )SzH z H zSz2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSHYX( )( )( )()SsSs H s Hs当输入单位功率谱密度的白噪声时，有：当输入单位功率谱密度的白噪声时，有： 2Y( )( )()( )SHHH1Y( )( )()SzH z H zY( )( )()SsH s Hs以上表明：白噪声激励下的线性系统，其输出为色噪声。以上表明：白噪声激励下的线性系统，其输出为色噪声。色噪声产生色噪声产生

57、77色噪声的产生色噪声的产生的极点全在的极点全在s s平面的左半面、零点全在左半面或虚轴上。平面的左半面、零点全在左半面或虚轴上。( )YSs这里：这里：)(sSY )(sSY )()(sSsHY )()(zSzHY 做法做法：对有理谱色噪声因式分解，分解出：对有理谱色噪声因式分解，分解出两项，令两项，令或或一个单位白噪声通过这样的系统后输出为有理谱的色噪声。一个单位白噪声通过这样的系统后输出为有理谱的色噪声。的零、极点在的零、极点在z z平面的单位园内。平面的单位园内。( )YSz色噪声产生和白化滤波器色噪声产生和白化滤波器78例例3.11：设计一稳定线性系统，使其在单位谱的噪声激励下其输出

58、谱为设计一稳定线性系统，使其在单位谱的噪声激励下其输出谱为24216( )54YS)( YS24216( )54YsSsss解：解：的复频域表达式是的复频域表达式是( )YSs将将进行谱分解有：进行谱分解有：(4)(4)( )(2)(1)(2)(1)YssSsssss14s 21s 位于位于s平面左半平面的零点为平面左半平面的零点为，极点为，极点为32s (4)( )( )(1)(2)YsH sSsss色噪声产生和白化滤波器色噪声产生和白化滤波器白化滤波器白化滤波器1YX( )( )()( )SzH z H zSzYX( )( )( )()SsSs H s Hs输出功率谱密度为输出功率谱密度为

59、1，则，则 X11( )( )()SzH z H zX1( )( )()SsH s Hs若输入可分解为：若输入可分解为：79色噪声产生和白化滤波器色噪声产生和白化滤波器X( )( )( )XXSsSs SsX( )( )( )XXSzSz Sz的极点全在的极点全在s s平面的左半面、零点全在左半面或虚轴上。平面的左半面、零点全在左半面或虚轴上。( )XSs的零、极点在的零、极点在z z平面的单位园内。则可求得白化滤波器平面的单位园内。则可求得白化滤波器( )YSz1( )( )XH sSs1( )( )XH zSz2022-4-880例例3.12 设计一物理可实现白化滤波器，使其输出为单位功率

60、谱密度，输入设计一物理可实现白化滤波器，使其输出为单位功率谱密度，输入功率谱密度为功率谱密度为1.160.8cos( )1.49 1.4cosXS1.160.8cos1.160.4()( )1.491.4cos1.490.7()jjXjjeeSee解：解：由于由于对应的对应的Z变化为：变化为：1111111.160.4()1 0.4()0.16(0.4)(0.4)( )1.490.7()1 0.7()0.49(0.7)(0.7)XzzzzzzSzzzzzzz0.7z 0.4z 可见，位于单位圆内的零点为可见，位于单位圆内的零点为，极点为，极点为(0.7)( )(0.4)zH zz可得物理可实现