高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

1、第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换?（1）设F是线性空间中的一个固定向量,（）0r（闻=6+吃¥匿eP,解：当F=0时，仃=&显然是的线性变换；当时，有o（街+2）=;£+备+电，仃（9）2/+勺+.，则0（%+封=6跖4讥&）,即此时不是的线性变换。(n)解：当6=0时，丁（函=£ 二 °显然是的线性变换;丁（肉+闻工电0+如次即此时f不是，的线性变换。（2）在史中,（I）贝岛加硝=5通+扇苞丫解：G不是野的线性变换。因对于戊=。0。）炉，有ga）:4Q。，2项二口0。所以W将升以明解：是K的线性变

2、换。设则有=2（石+川卜（禹+加（&+为）+（0+ 为必为+M ）r=电+乂内切再乜）=m+mI=没餐一%,用+七¥，2±可)=上(2可-%伊勒+后2再在口区中,(I)夕炉您);曲1),解：。是网工的线性变换：设哪。溜建可例.，则方(/(力+80=/>+1)+式工+1)=蹴01+4劭，日密曰炉云+。“引劭，世邑尸。(n)葭雄)二/(鬲)，其中可是E中的固定数；解：仃是尸网的线性变换：设可切通口送电I则§Gw+gto)=加+唳)=咆附+M砌,cr(V)M项3Mkgf)肚EF。(4)把复数域C看作复数域上的线性空间，其中f盟的共轲复数；解：2不是线性变换

3、。因为取自，&=1时，有骑加3=1,kcr二版:i即贝加),觥<(5)在MG与中，设P与。是其中的两个固定的矩阵，仃二时,XeM(F)O解：。是M0)的线性变换。对路,勺£此(?)，侬F,有贝阳=F妫Q=k(PXQ=E；O习题7.1.2在然中，取直角坐标系°刑，以“表示空间绕会轴由。轴向优方向旋转900的变换，以、表示空间绕7,轴由彷轴向°工方向旋转900的变换）以&表示空间绕轴独翅跑Oy方向旋转900的变换。证明R：=R；=E=£（表示恒等变换）并说明（44）*=比岑是否成立。JV力d曾证明：在史中任取一个向量以=8凡z）,则根据

4、44改以的定义可o,所以4 *1所以o习题7.1.3在网x中,飞了（功=切，证明01-8二£ 。证明：在国工中任取一多项式/&）,有9T-动/（£）=（crr）/（x）-（TJ）f®:=应仅）-«动=/口）+炉（工）-wa）=/a）。所以习题7.1.4设瓢T是上的线性变换。若07-8=£，证明证明：用数学归纳法证明。当上二2时，有打一炉二战一炉二cr（TCr+E）-加=-初cr+cr=第+c=j+ct=2a命题成立。假设等式对此成立，即兴-拿/二鼠产。下面证明等式对上+1也成立。因有产ly二汀（/）-二m上广1+田）-加”二七5+如-T

5、a）5从而对任意自然数都成立。h/+sJ二&+1/,即等式对上+1也成立,习题7.1.5证明（1）若是疝的再逆线性变换,则的逆变换唯一;是，上的可逆线性变换，则or也是可逆线性变换，且-1=rjo证明：（1）设IB都是0的逆变换，则有Ur1二 qc 二 e进而即。的逆变换唯（2）因。，工都是上的可逆线性变换，则有（广1尸画=丁1（小顼二r有定义知a,戌0，（，/窗）线性无关。由定义知比是可逆线性变换,有唯一性得习题7.1.6设。是上的线性变换，向量,j d I团都不是零向量，但"二"。证明a ,，""线性无关。a(a) (f(a)a(a) a2

6、(a)证明：设 厂一/5+轲+，/3)=/ = 0可得4* 0A =：) 故.；同理有:瓒）+/上产）产(0) = 0 .产=0即得；依次类推可得4d（=o,进而得习题7.1.7设。是上的线性变换，证明。是可逆线性变换的充要条件为仃既是单射线性变换又是满射线性变换，即仃是一一变换。证明：（二）已知。是可逆线性变换，即存在/。若«4）二贝马），则两端用仃胃作用即得4二%,因此。是单射线性变换。若任取aeV,则存在b（助H,使得wr）=&,即是满射线性变换。g已知既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。现定义新的变换：料，定有妙/，且有吨"夕，规定K和a,有喇劭=58

7、）=£,同时有向就同二期，即有重=泪二£。由定义知。是可逆线性变换。习题7.1.8设0是P上的线性变换，证明（1）。是单射线性变换的充要条件为蚣叩=【0卜；（2）o是单射线性变换的充要条件为d把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。证明：（1）仁已知u是单射线性变换，对Vaehra则有若（白）已知ker?XOJI 、1r * L门即:，则有外周一领）=0（2 ） 已知U是单射线性变换。设/y /y , /y，*线性无关,现证则泪救也线性无关。令W+W）+-+W=o理有砥咐刎+T忸）=0，而。是单射,有艇+3+T姐川已知出%，4线性无关，所以国二与二二七=。,故,吼。（的），

8、M4也线性无关。3已知。把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。若一区 a则有 定一并JUJUA则说明向量胃厂的线性无关，而叫为一%户。表示。把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。而由与一%二。可得q二%,即u是单射线性变换。习题7.1.9设G呢）是郎,丹中全体可逆线性变换所成的子集，证明关于线性变换的乘法构成一个群。（超范围略）习题7.1.10设%5是/上的线性变换，且嫁=卬成二，证明（1）若（可+。）吨也，则晒=。；（2）若码吗%则（用+日-，勾'二吁+通-现。证明：（1）因为七/旦=5,同+3=w。所以从而晒+晒=Q或哂二-卬 1。又因为（2）因为片二%可二，即产所

9、以习题7.1.11设厂与亚分别是数域F上的M维与道维线性空间,是厂的一个有序基,对于用中任意个向量证明存在唯一的线性映射伊:，即，使奴©=月,M。证明：先证明存在性。对任意的aeV,a有唯一的线性表达式a二土.陶小L我们定义:显然有迪卜4,n”。现验证中为7到距的一个线性映射。（1）对任意的向量遇+丁汹，因为叶阳伍+九%+也+%）%+（%+.%以由定义得优二耳国二山+；：2+超：2-+人+片工=（咽+M格对+州+加+盛）二施）+虱队（2）对任意的LeF,因为切=（椅）q+（加汹T曲Jq,由定义得胴=依%+（国向+俎）祗=电4+喷+咽）=W）所以中为1到甲的一个线性映射。再证唯一性：若

10、另有厂到用的一个线性映射产，也使得羽=4i-,”则对任意向量广1,一定有阐F阐）+和闯+玷包）=球+嘲,叶城=雨由d在7中的任意性，可得中N习题7.1.12设与甲分别是数域F上的力维与施维线性空间，犷是线性映射。证明&T管是厂的子空间，口/5是甲的子空间。又若dim厂有限，证明4皿品巾+揄炖0=dim'。这时称dimkei呼为伊的零度，称而3犷）为骨的秩。证明：（1）先证kerp与电分别为，与汗的子空间，对喙/小，,展k印，有同如+/加=帧a）+双切如+/0=C所以品«.於蚓”故阳中为/的子空间；同理，对祗*E,乐淮），则%使网M）=a,弟=胃，所以te+i=旃

11、69;）+.必产）=咻a+/协e区冷所以双1门为犷的子空间.再证dimker"d血郎卜dirM因血有限，不妨设如二月，dimker中二/，在场中中取一个基%用广；4,再把它扩充为/的一个基4曲1%4亦网,则代氟J血G）是像空间仪丹的一个基.事实上，对加©肥,存在稼£/，使得S二城比）。设二肥+栖+*+%4儿+”+44,则有&=尚）=（+访西+i+44+1141+i十%©=+碰也计+稗姨）+-!）+1阚）=及福十叶茅他）即刈中的任意向量都可由黄山融）线性表示。现证向量组所以向量整理有又因勺线性表示，进而有属/血4）线性无关）即属J战乜）为如0的一个

12、基）故7.1.12中所定义的线性映射的加法习题7.1.13证明U期净关于定义与数量乘法构成E上的一个线性空间证明：现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法歹+F与数量乘法上行都是从厂到肥的线性映射。故为了到的线性映射。同理，对四产”，,有/1XJ»jM：、I?JBJ3TL?/J侬力Re)二kg伽=lkcs(a)-1/i*"fa->rw.jf酒，广中/w-J-丫-r故芯*为到"的线性映射。另外线性映射的加法夕+W与数量乘法”朝显然满足:*54可由向量组线性无关，所以必有片=Q（法尸+LM,因此/+(犷+p)=(/+s+p；事实上，对w/eF.（1）结合律

13、:（2）交换律：。+W=W+（P;存在零线性映射心对耳”二亿仍，有中+6=9；（4）对Wpe/。管，有负线性映射-夕w即7）,使得中+（7?）=6；（5）3九（6）物片蜘弧a+g=k”悔；（8）悔+6=蛇+上收。其中眼七E，寸隼京耻或黔所以£（左的关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成F上的一个线性空间。习题7.1.14证明：（而1平阳=侬仍（由哂。证明：设歹为4维线性空间，解为用维线性空间，即如二为，.，以旌花取定，的一组基备饱乩和/的一组基乩屈ao令中为阻到MJF）的如下映射：旗1）二月其中a为u在基的%/14与基A禽满I!下的矩阵。这样定义的射。的同构映事实

14、上，（1）蒙哥）二4,南）=4,且4=4，则有7%闯诙*居Q./J4。由于可二4,对每一个Q都有曲）G=12，故有午马,即伊是单射。斤仇&yH闸则存在唯一的线性映射。使得W”"并且川=&犷心”低盘AM由此可见，夕是满射。（3）对啊£“区,甲）,俄Jee,有南”4,胸=4,其中AdeMJf）即有瞅叫q）=仇胤,凡吊，以%，=优耳,廊4,所以（柄+应）（q&,闻二©）（%的G=%即闯+应（胤的，闯二跳44戊）4+贻忠廊4=K忠,4）（M+M）,故有岫+二如耳,所以卓是即就到此城伊）的同构映射。进而有血必匕的二dim/"）二愀=（dim

15、F）（dirnf!O。习题7.2习题7.2.1求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵:（1）此的线性变换（tX）-AXA4片）=AT，其中为固定矩阵。求"1,乌在/，%禺1，”这个基下的矩阵；（2）设waAn/a+D-fa）是线性空间用乩的线性变换，求在基 fffj'下的矩阵;/产/ cosii &二/ sin 尻 Jj = xcosiip0=1自二工必二;HxT)(xr+D/=2（3）6个函数:的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间。求微分变换在基（储1下的矩阵。解：（1）由,1,内的定义直接可得：(abwO阈be/=a1+l?bSn+acE2i+bcE=

16、以遇+dfd/+e密(aAY0OYa行式hIIbad)世4+/+a码+铝/=B竭+bdEu+c型+d2s第所以q在耳上%£i，%这个基下的矩阵为所以内在场,%禺14这个基下的矩阵为Gobo'o4。&。0d0、0cU%O由成了COA婚+D-/%直接可得:如加砒二1-1二。(A)=o(i)=x+1-1=1=为，、一1,21以1.4.£12!?)?>M)-6式1-1)G-加+。)二a4O所以丁在基下的矩阵为:<01020、001>:<:0fc'口"X!口.。Q*110000.J(3)由微分运算性质直接可得：-xebx)所以

17、微分变换在基U,L】下的矩阵为:sb1。00-ba窥1Q00Q0方1Q0。-8口010000ab-L00Q0-iaI习题7.2.2设，讷尸区是V的一个基，已知稀%，线性无关。证明：(1)存在唯一的线性变换T,使&)=，T2/；(2) (1)中的f在基丹曲?，4下的矩阵为£火;(3) (1)中的T在基与%行下的矩阵为砂。证明：(1)因为乐乐网线性无关，所以知%自也是7的一个基。故对的一个基及打个向量4，及以,定存在唯一的线性变换T,使*E2乩(2)由已知条件有(即即网"例悬，”德M-阑=&/禺)8其中？岛"，4与4%"遇都是/的基，所以4可

18、逆，且有他，叫，”二(%的闻幺;进而有(同4、£=(乌,即)0'£。再由(1)得耳&%,二(&冉闻=(a即2rls所以工在基乌乌广当下的矩阵为4阳73以T在基46'片下的矩阵为朋"习题7.2.3在？中，定义线性变换为其中111(1)求。在基号下的矩阵;flAA(2)求。在基曲你也下的矩阵解：(1)由定义知所以有(2)类似有下的则有故。在基琳加办下的矩阵为:习题7.2.4在内中，线性变换汀在基gl明加二/T 防总扁?即0在基下的矩阵为：B1 二仇加逅）矩阵是卜1 2 1J。求。在基-1 UII jf习题7.2.5设数域F上3维线性空间

19、，矩阵为“11仪12。13：知口嚣与331032与二（1、会灯在具备刈湍下的拓隆.的线性变换8在基1的,电下的求ff在基%川修下的矩阵;22)(3)求在基?，马患下的矩阵解：（1）由已知可得I=+典*4+”有%二的%+出3%+310%)=&)&儡+尻倜二+&外g+4今勒4，U122A,整"堂Hi-刀'上"L>仇4）二。】15+的肉+?备=%/+%周+的5117所以丁在基叫（2）由已知可得a匐叫曲+。哈+即国=的曲+上贴玛+物生,q+土+k%1a：="&+电遇+ -%超+/强O如，所以在基下的矩阵为:(3)由已知可得0喝

20、+%)二*J+贝%)二(。11+年J禺+(药I+。?)佐+(%1+&J%=（肉1+血+%）+（盯+ / 一 的肉!/V+(匈1+口心)周im >tdr Jil!，仇用）=用刈+%应+的用（5+&）+（。a乌）一遇+出电+幅%二命他+w）+（出广的）+。礴。所以丁在基q+%下的矩阵为：仪口+白13®124$:%十%一鸟均知1%4b一%的1+陶知阳J。习题7.2.6在打维线性空间V中，设有线性变换。与向量蕾使炉”工0,但d（0=O。证明：在V中存在一个基，使在该基下的矩阵为0oo0：10，0001丁00»，呵.Ai100.1oj/o证明：由习题7.1.6知

21、：4维线性空间厂的向量组C,仇口），（0：,，厂（3线性无关，且有力个向量，即构成/的一组基，而线性变换。作用此基有:cr（a）=改口）显贝诩=/色?.产）=/（。）仇产（劭二丁二。O故。在基a,“附，.），"j'下的矩阵为:仅Qf0。、I0*,000100nfl：b）o10）。及匕分尸上4维线性空间厂的全体线性变换组成习题7.2.7设是数域的数域FdimZF），并找出必匕E）中的一个基。上的线性空间，试求求证：任.,力丹M网，物为郎M到此（F）的映射：取的一绢某.其中_,、,/瓯用。由引理7.2.6及定理7.2.7知户为同构映射，即如E队。所以它们的维数相同，而蒯取而力，故

22、皿此»=月二现取。心郎，使得力网叫工即H稣”即赠”4广12厂吃已知4,八力洲是及的的-组基，故q,为呢的-组基。习题7.2.8证明：与R维线性空间V的全体线性变换都可交换的线性变换是数乘变换。证明：在某组确定的基下，数域F上的4维线性空间厂的线性变换与数域F上的总阶方阵间建立了一个双射，因为与一切片阶方阵可交换熄的方阵为数量矩阵，所以与一切线性变换可交换的线性变换必是数乘变换。射习题7.2.9设打是“维线性空间的一个线性变换，如果0在/的任意一个基下的矩阵都相同，则是数乘变换。证明：设在基师以叫下的矩阵为M哧，只要证明力为数量矩阵即可。设?为任意可逆矩阵，令（4乐':耻,则瓦

23、耳，片也是的一组基，且0在这组基下的矩阵为,依题意有朋=也。特别地，当取时，计算可得0 1 0 0 0 1河I I 4 层 看JL jj | .=s 由0 0 0再取 U Q。0o1oj,由典二胡可得“二与二二% ,即A为数量矩阵，所以 。是数乘变换。习题7.2.10证明:相似，其中 证明：用基./H时是W"/的一个排歹【。依次表示这两个矩阵，取一个4维线性空间/及其一组amb&,存在的线性变换,使得由此可得因为力与5是仃在不同基下的矩阵，所以上与B相似习题7.2.11如果/可逆，证明闺与84相似。证明：因为幺'(糊工二(kH)朋二班，所以就与E4相似。习题7.2.1

24、2如果乂与8相似，C与D相似，试判断下列叙述是否正确?如果不正确，请举反例，否则给出证明。伯o(BQ?(1)句与。口相似；(2)0c与附相似；(3)幺+C与b+力相似。答：(1)正确。证明：由于幺与5相似，。与。相似，因此存在可,C(2)不正确。反例：设,使故法f-i01与B相似；再取V°W,则。与。显然相似。但2a,（-a一占'计算得2GP；Q；,即得a=h=c=所以与30不相似。（3）不正确。反例：取AS,cm同（2）,flo'f-ioWo.A+C=+*-k"5+D、D2）l0Oj版2j,两矩阵秩不同。显然，乂+C与B+D不相似习题7.3习题7.3.1设

25、了是数域f上线性空间，6是的特征值，则对任意多项式切可闱，了（的属于A的特征向量也是力的属于/（4）证明：设弓羊0为。的属于4的特征向量，即1,Mwhra1imH_h_414tl.4Mdfo0、。，故1。dj不可逆。有（201f-1fl0、一1=1Uc。v1。o的线性变换。如果&是7&是/"）的特征值，且£T的特征向量。琬）二强，则对任意自然数加，有四同一阳事实上，当用工1时，显然成立C成立。现证刖时也成立，即年尸）（昨忧*雨）=成七%故由数学归纳法得加二财4设/Q”/x+q?+,+%除/=+W+&=。0（彳。）+&（%）+"*=国

26、港+/看1+曲同。,假设然T时，有珈巧（的a=ka。）式对任意自然数用均成立。%,则有1汀号白清）3）十+*飙醐+/图劭卜国借）+%W）h+&）阂即/(=/(%)%习题7.3.2对复数域上线性空间V上的下述线性变换&,求出它的特征值与特征向量，判断0是否可以对角化，在汀可对角化时，求出过度矩阵F,并计算PAP o已知丁在，的一个基下的矩阵为解：(1)设6在基下的矩阵为矩阵幺的特征多项式为所以打的特征值为7,-2先求仃的属于特征值1的特征向量。解齐次线性方程组。£一司4二0,求得基础解系为QJ),所以CT的属于特征值7的全部特征向量为上值+助巾樽；再求的属于特征值-2的

27、特征向量。解齐次线性方程组(一坛工道二口，求得基础解系为(4-寸，所以的属于特征值-2的全部特征向量为0可以对角化。取 的两个线性无关的特征向量（2）设在基片用下的矩阵为乩且当4二。时，有=。，于是矩阵工的特征多项式为|花-月卜 =矛,r2，所以的特征值为（求j的属于特征值。的特征向量。解齐次线性方程组I。队电厂“求得基础解系。，（0,1），因M的属于特征值0为的两个线性无关的特征向量为，所以。以中任意非零向量为其特征向量当”0时，矩阵乂的特征多项式为,所以订的特征值为风-公。先求。的属于特征值求加的特征向量。解齐次线性方程组追一达/=。得基础解系为（TJ）;所以£T的属于特征值ai

28、的全部特征向量为再求J的属于特征值-3（7祖一汆二°,求得基础解系为的特征向量。解齐次线性方程组，所以7的属于特征值一&i的全部特征向量为可以对角化。取 U的两个线性无关的特征向量%训十句即=为”，其中小班的过渡矩阵。且有/为由基尔】到基i t fai Q ： 1J I 0 - aij33）设。在基邑5与下的矩阵为火，矩阵乂的特征多项式为热-441+10=艰-2)(4-1尸所以fl的特征值为112先求o的属于特征值1.的特征向量。解齐次线性方程组(£-4)=0,求得基础解系为0,-220)，所以仃的属于特征值1的全部特征向量为1(&-2马-工啕依0)；再求0

29、的属于特征值2的特征向量。解齐次线性方程组(2£-用丫=0,求得基础解系为(Q0J),所以。的属于特征值2的全部特征向量为治&的。由于找不到6的三个线性无关的特征向量，故不可对角化(4)设在基邑乐F遇下的矩阵为人矩阵乂的特征多项式为4 1 1 1 1-1114-1所以U的特征值为222厂尢水 的属于特征值，.用乃二。求得基础解系为的特征向量。解齐次线性方程组, (LLQ® QQL0)r 。乩0,1)/所以的属于特征值2的全部特征向量为再求的属于特征值-2的特征向量。解齐次线性方程组=0,求得基础解系为(LTTR,所以灯的属于特征值的全部特征向量为可以对角化。取仃的四

30、个线性无关的特征向量小二片+弓，为二4+与，%=6+",册二£遥遇-Q,即口111、100-1（九%,%乩）=3月母切门1nJUIU-1,001-t<1111、100-1P010-1其中1001-U为由基瓦瓦瓦4到基跖加的过渡矩阵。且勺111、100010-1I。01-1,习题7.3.3证明：”是矩阵曲特征值的充要条件是矩阵为4%3证明：设非零向量Y为矩阵力的属于特征值7的特征向量，则有忒二忒，整理得您-再”0,因公0,所以齐次线性方程组侬1-耀二°有非零解，故系数行列式I犯一昨0。反之亦然。/1421A=0-34习题7.3.4设I。43人求/。解：矩阵工的

31、特征多项式为且_1-4-2|宓卜0又+3-4wa-1)(元一25)0T”3：所以讨的特征值为4=L%=$4=4对4=L解齐次线性方程组p (横-万!Q口. 一.I10基础解系跖=(lo，M ；对4 : -1,解齐次线性方程组得基础解系对=(212/；(4-对&二5,解齐次线性方程组1 2 10 1 -2得基础解系国二令10 21(TlAP)5 = PASP =而有p 2 1 Vi4二0 1 -2Io 2： 1 J, 、dF ?t.2 1Y11 -221 丁习题7.3.5设是4维线性空间厂的一个基，线性变换在这个基下的矩阵为7公 一 4-1 - 32 &2231153A=_”3U

32、io*TL(i)求o在一个基444温下的矩阵，其中4三4+2,+%+%,弁二2医+3的+%,向=3f3孑(2)因为线性变换I的特征多项式为注 qBr0V令1。0 D ,则线性变换在基月7患患肉id1- l!t"(3 2力1八一帕 3 11 -7J V(2)求。的特征值与特征向量;(3)求一可逆阵.?，使我为对角阵。<120230C4工角,信4)=(%/7/,)it1I11解：(1)由条件有Q°12002300下的矩阵为20,3001104O'1|哈力|二|械叫0-60：A005-4i3=激"加11)一24+O所以线性变换。的特征值为先求0的属于特征值

33、.0的特征向量。解齐次线性方程组(-以，求得基础解系为(WI，(期妒'，所以C的属于特征值o的线性无关的特征向量为4=4叫+摘+q+q&=触24+阿+碣。全部特征向量为3+2却倚+阳+同心+义+幼国十姐(其中站不全为勒；1再求ff的属于特征值2的特征向量。解齐次线性方程组%-驱二02,求得基础解系为1(-8,6X2/ 5所以j的属于特征值2的线性无关的特征向量为%二T胃+6,4+.+2月=-8(q+22+国+即+6(2珞+3%+矽+碣+24=44+2%_碣-6。全部特征向量为转用+%舄f也尸6姐(t*0).最后求的属于特征值1的特征向量。解齐次线性方程组0-脏=0,求得基础解系

34、为卜7f郅y,所以a的属于特征值1的线性无关的特征向量为5=-7#+54+34+5月=1(4+瑞+/+4)+5(2q+3%+3恁+5q二阿+的+q-2qO全部特征向量为3灿+灿+灿24«叫A.,111一力，所以所求的可逆矩（3）因为u og00?。000。0-0G61J习题7.3.6（1）设是线性变换。的两个不同特征值，4M是分别属于&4的特征向量。证明:5+的不是0的特征向量;（2）证明：如果线性变换 是数乘变换。取中每个非零向量作为它的特征向量，则证明：（1）因为仇仃0）=4,所以仇用+%）二仇©+成即二榜+为出。假设必+通是线性变换口的属于特征值1的特征向量，即优%十%）="佗+的），且有网佐珥+%?，整理可得-4）国+（4-0由于线性变换口的属于不同特征值的特征向量线性