五年级下数学思维训练教材

1、第一讲 立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研 究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能 力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开 图例题选讲例 1:图 1 所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面 上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体， 图中的点 F、点 G 分别与哪个点重合？【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号 1、2、3、4、5、6,如果将 I 作为底面, 那么 4 就是后面，5 为右面，6 为前面，2 则是左面，3 就是上面，（

2、如图 2）。从图中不难看出点 F与点 N,重合，点 G 与点 S 重合。还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目 了然了，同学们不妨试试吧例 2: 一只小虫从图 I 所示的长方体上的 A 点出发， 沿长 方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面， 最后到达 P 点。请你为它设计一条最短的爬行路线。【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形（如图 2）。又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接 AP,则线段 AP 为小虫爬行的最短路线2.如图所示的是一个棱长 3 厘米的正方体木块，一只蚂蚁从 A 点沿表面爬向

3、B 点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条？3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为I 厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米？4.一块长方形的铁皮，长 28 厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为 4 厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是 960 立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数， 使其对面两数之和为7，则 A、B、c处填的数各是多少？6.如图所示的 10 个展开图中，哪些可以做成完整的正方体？(1)33605

4、251o ，即石最大，127 最小2171一【分析与解答】根据题意，将题目转化成如下移式 - 40 ，而 4o 4i ，所以 40 410练习与思考1.把下面各组中的分数按从大到小的 顺序排列:3015201227、13、17、113.比较下列两个分数的大小：6 知 8也和 18501 1自然数。我们可以采用通分子的方法，把上式转化为343434 1 ，（）中可以填人的最大整数是多少？最小整数是多少？4.比较444443444445和555554555556的大小。5.写出三个大于 6 而小于 5 的最简真分数。258206在分数 5、11、17、41 中，最大的是哪一个分数？最小的是哪一个分

5、数？7.把下列分数按从小到大的顺序排列:842112281489、23、13、31、158. 比较下列两个分数的大小：6 工 104342（1万和也（2）莎和讶9. 在下列方框中填上适当的自然数，使不等式成立。6109 5 -11910 要使24773型要使 31 A 409成立，那么 A 代表什么自然数?5911.如果 9 1，那么中应填的整数有那些?12.分子是 3,比二小,但与 丄 最接近的分数是哪一个?6565t一 21819 15234713.比较 654321 和 456789的大小。14 设 A=29与 B=29303162 626160 比较 A 和 B 的大小。第十二讲分数求

6、和的解题技巧在数学竞赛中，常常遇到一些分数求和的问题。当然，这些求和的问题并不是只用一般 通分的方法就能解决的。这一讲我们来研究一些特殊的分数求和的解题技巧。例题选讲例 1:先观察下列各式的特点，找出规律再解答下列各题。11+ + -8 16【分析与解答】仔细观察这两组算式，不难发现从第二个分数开始，每个分数都是前一个分数的一半，如果加上与它相同的分数就得到前面的分数了。因此我们可以借一个分数先加，1 1 1最后再减去。如第(1)小题借 16 逐次往左递加就得到 2 个 2，最后第(1)题结果就是 2X211516 = 16 同学们想一想，第题该如何解答例 2:从计算了前五道算式的结果中找出规

7、律，填写出第六道算式的结果。1 2 2 + - =1 = 3 321+2+3+ 4 + 5 =21 = 566 6 6 6 2 212 313+ _ + =1 =4 4 4 2 212 3 4 5 667+7+7+7+7+7 =3=212344+ _ + + =2=_5 5 5 521234567+ 一 + + + + + = ?8888888【分析与解答】上面六道算式是求分母为 3、4、5、& 7、8 的所有真分数的和。观察计算结1果，不难发现分母增加 1,结果就递增，如果每题结果都用 2 做分母，于是我就可以看出, 分母是几的所有真分数的和都可以写成以 2 为分母，分子是比分母少

8、1 的分数。因此第六道算(1)12 24 48式的结果为 7。练习与思考1 计算下列各题:iX3X24+2X6X48+3X9X72iX2X4+2X4X8+3X6Xi2(1) + + + - + +)2 4 8 i6 32 64(2) ii6322计算:i+ioo+1+ioo ioo991003计算:i i+25i2+4256i i+2564+5i22i i i i4(一+一+(2 23 32Q2Q2 2 2 2+ +一2o2o3 32o2o)i8i8 i8i8(T9(T9+2o2o)1919+ +2020i iiiiiiii -(4 i)-(i-i6 八-(i6 -一32)-(32-64)5.7计算:2004200