2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第七章第二节直线、平面的平行关系

1、C3D4限时规范训练( (限时练 夯基练 提能练)A 级 基础夯实练1.给出三个命题：1若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；2若两条直线与一个平面垂直，则这两条直线互相平行；3若两条直线与一个平面平行，则这两条直线互相平行.其中正确的命题的个数是 ()A 0 B1C 2 D 3解析：选 B.若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条 直线与平面的法向量夹角相等，这些直线构成以法向量为轴的某个对 顶圆锥.故错误；两条直线与平面垂直，则这两条直线与平面的法 向量平行，则根据公理 4,两直线平行，故正确；两条直线与一个 平面平行，这两条直线可能异面、平行或相交故 错误2.下列命

2、题中成立的个数是 ()1直线 I 平行于平面a内的无数条直线，则 I/a；2若直线 I 在平面a外，则 I /a；3若直线 I / b,直线 b?a,则 I /a；4若直线 I/ b,直线 b?a,那么直线 I 就平行于平面a内的无 数条直线A 1B2解析：选 A 直线 I 平行于平面a内的无数条直线，包括 I?a和I/ a,故不成立；直线 I 在平面a外，包括 I 与a相交和 l/a,故2不成立；直线 I / b,直线 b?a,包括 I?a和 I/a,故不成立； 直线 I/b,直线 b?a,那么 I 平行于a内与直线 b 平行的所有直线，所以直线 I 就平行于平面a内的无数条直线，故只有 成

3、立.3.有如下三个命题：1分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；2垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；3过平面a的一条斜线有一个平面与平面a垂直.其中正确命题的个数为 ()A 0B1C 2D 3解析：选 C.分别在两个平面中的两条直线不一定是异面直线，故 错误2此命题是直线与平面垂直的性质定理，故 正确.3可过斜线与平面a的交点作一条垂直于平面a的直线，则斜线 与垂线所确定的平面即与平面a垂直，这样的平面有且只有一个.故3正确.所以 正确.4设 m, n 是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ()A .若 m/ an/ a,贝Um/nB.若 allp,m? a ,

4、 n?B,贝ym II nC .若aA p=m, n?a,贝卩 n 丄pD .若 m 丄a,mIn, n?p,则a丄p解析：选 D.若 ml a,nI a,则直线 m , n 可以是平行、相交、异面 所以 A 不正确.若aI pm?an?p贝直线 m n 可能是 平行或异面 所以 B 不正确. C 选项显然不正确.5. (2018 枣庄模拟) )设 a , b 为两条不同的直线，a,p为两个不同的平面.贝下列四个命题中 正确的是 ()A. 若 a , b 与a所成的角相等，则 albB. 若 ala,b/p alp,贝yalbC. 若 a?a ,b?p ,alb,贝U alpD .若 a 丄a

5、,b 丄p, ap ,贝卩 a 丄 b解析：选 D.对于选项 A , a , b 不一定平行，也可能相交；对于 选项 B,只需找个平面Y使Yalp,且 a? 丫,b? 丫即可满足题设,但 a b 不一定平行；对于选项 C 由直三棱柱模型可排除 C.6. 给出下列四个命题：1平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；2若平面a内的一条直线 a 与平面p内的一条直线 b 相交，则a与p相交；3若一条直线和两条平行线都相交 贝这三条直线共面；4若三条直线交于同一点 贝这三条直线共面.其中真命题的序号是 _.解析：正确，因为直线在平面外，即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点 正确，

6、 a，b 有交点，则两平 面有公共点，则两平面相交. 正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上， 所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面.错误，这三条直线可以交于同一点， 但不在同一平面内答案： 7._ （ 2018 青岛模拟）将一个真命题中的“平面”换成“直 线”“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命 题”给出下列四个命题：垂直于同一平面的两直线平行； 垂直 于同一平面的两平面平行； 平行于同一直线的两直线平行； 平行 于同一平面的两直线平行其中是“可换命题”的是 _（填命题的序号 ）解析：由线面垂直的性质定理可知是真命题， 且垂直于同一

7、直 线的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是“可换命题”;由公理 4 可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命 题，故是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、 相交或异面，故 是假命题，故不是“可换命题”.答案： 8如图，平面a/平面B/平面Y两条直线 a, b 分别与平面a B, 丫相交于点 A, B , C 禾口点 D, E, F.已知 AB= 2 cm, DE = 4 cm, EF = 3cm,贝 S AC 的长为_ cm.解析：因为平面a/平面B/平面Y两条直线 a, b 分别与平面a,B,丫相交于

8、点 A, B, C 和点 D, E, F,连接 AD, BE, CF（图略）.所以 AD / BE / CF,因为 AB= 2 cm, DE = 4 cm, EF = 3 cm,243所以 BC=3 解得 BC = 2 cm,所以 AC=AB+ BC= 2+2 = 2（cm）.答案：79如图，在三棱锥 S-ABC 中，平面 SAB 丄平面 SBC, AB 丄 BC,AS= AB,过点 A 作 AF 丄 SB,垂足为 F,点 E, G 分别是棱 SA, SC的中点.所以ABBC=DEEF,求证：（1）平面 EFG /平面 ABC.（2）BC 丄 SA.证明：( (1)因为 AS= AB, AF

9、丄 SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.又因为 E 是 SA 的中点，所以 EF / AB.因为 EF?平面 ABC, AB?平面 ABC,所以 EF /平面 ABC.同理 EG /平面 ABC.又因为 EFAEG = E,所以平面 EFG /平面 ABC.(2)因为平面 SAB 丄平面 SBC,且交线为 SB,又因为 AF?平面SAB, AF 丄 SB,所以 AF 丄平面 SBC,因为 BC?平面 SBC,所以 AF 丄 BC.又因为 AB 丄 BC, AF AAB= A, AF?平面 SAB, AB?平面 SAB, 所以 BC 丄平面 SAB.又因为 SA?平面 SAB,所以 B

10、C 丄 SA.10如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 是菱形， / DAB = 60,PD 丄平面 ABCD, PD = AD = 1,点 E, F 分别为 AB 和 PC 的 中点，连接 EF , BF.(1) 求证：直线 EF /平面 PAD.(2) 求三棱锥 F-PEB 的体积.解：如图，作 FM / CD 交 PD 于点 M，连接 AM.1因为点 F 为 PC 中点，所以 FM = 2CD.1因为点 E 为 AB 的中点，所以 AE = 2AB= FM.又 AE / FM，所以四边形 AEFM 为平行四边形，又 EF ?平面PAD, AM?平面 PAD所以 EF /

11、AM.所以直线 EF /平面 PAD.1(2)连接 EC.已知/ DAB= 60,AE = Q, AD = 1,由余弦定理，得 DE 丄 AB,A E R又 AB/ DC,贝 S DE 丄 DC,设 F 到平面 BEC 的距离为 h.1因为点 F 为 PC 的中点，所以 h= QPD.从而有 VF-PBE= VP-BEF= Vp-BEC VF-BEC1 1 1=3SZBECPD h)= 3S佗ECQPD48.B 级能力提升练11.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，E 为 AD 的中点，F 为PC 上一点，当 PA/ 平面 EBF 时,九2解析：选 D.如图，连接

12、 AC 交 BE 于 G,连接FG，因为 PA/平面 EBF , PA?平面 PAC,平面又 AD / BC, E 为 AD 的中点，所以 BC = 所以 FCC = *12.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-AiBiCiDi中，点 EF 分别是棱 BC, CC1的中点，P 是侧面 BCC1B1内一点，若A1P/平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是（）B. TPD. 2,3解析：选 B.取 B1C1的中点 M , BB1的中点 N，连接 A1M , A1N,MN，可以证明平面 AMN /平面 AEF，所以点 P 位于线段 MN 上,d 2 y5(1 2 1 2气气2B.PACA

13、平面 BEFFG,所以 PA/ FG ,所以PFFC_ AG=GC.A. 1,因为 AiM = A1N1 + 2=2， MN2 丿 + 2=2，所以当点 P 位于 M, N 处时，AiP 的长度最长，当 P 位于 MN 的中点 0时， AiP 的长度最短， 此时 AiO =寸惨 j 乎/=所以 AiO AiP AiM， 即3J2AiPW，所以线段 AiP 长度的取值范围是选 B.D Q cAt M &i3如图，ABCD- AiBiCiDi是棱长为 a 的正方体，M, N 分别是a棱 AiBi, BiCi的中点，P 是棱 AD 上一点，AP=3,过 P, M , N 的平面交上底面于 P

14、Q, Q 在 CD 上，贝 S PQ=(A.C.解析：选 A 因为 ABCD-AiBiCiDi是棱长为 a 的正方体，所以平 面ABCD /平面 AiBiCiDi，又 P 是棱 AD 上一点，过 P, M , N 的平 面交上底面于 PQ, Q 在 CD 上，所以 MN / PQ,又 M , N 分别是棱AiBi, BiCi的中点，AP = 3 所以 CQ=3 所以 DP = DQ =号，所以PQ= DP2+ DQ2=232a.解析:如图，取 CD 的中点 E.连接 AE, BE，由于 M , N 分别是 ACD,伯 CD 的重心，所以AE, BE 分别过 M，N，贝卩 EM : MA = 1

15、 : 2, EN : BN = 1 : 2,所以 MN / AB因为 AB?平面 ABD, MN?平面 ABD, AB?平面ABC, MN?平面 ABC，所以 MN / 平面 ABD, MN /平面 ABC.答案：平面 ABD 与平面 ABC15如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，E, F , G, H 分别是棱CC1, C1D1, DQ, DC 的中点，N 是 BC 的 中点，点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动，贝 S M 只 需满足条件时,就有 MN /平面 B1BDD1（注：填 上你认为正确的一个条件即可）.解析：连接 HN , FH , FN，贝 S FH / DD

16、1, HN /BD，二平面 FHN/ 平面 B1BDD1,当 M FH 时，MN ?平面 FHN ,此时 MN /平面B1BDD仆答案：点 M 在线段 FH 上（包含端点）14在四面体 ABCD 中,则四面体的四个面中与 MNM , N 分别是 ACD, BCD 的重心,平行的是_ .3 F G16如图，平面五边形 ABCDE 中，AB/ CE,且 AE = 2,/ AEC5=60, CD = ED = 7, cosZ EDC = 7.将厶 CDE 沿 CE 折起，使点D 到 P 的位置，且 AP= 3,得到四棱锥 P-ABCE (1) 求证：API平面 ABCE;(2) 记平面 PAB 与平

17、面 PCE 相交于直线 I,求证：AB/I.5解：( (1)在厶 CDE 中，TCD = ED = . 7, cos/EDC = 7,由余弦定 理得 CE = 2连接 AC,vAE = 2,ZAEC = 60,AC = 2.又 AP= 3, 在、PAE 中， PA2+ AE2= PE2, 即卩 APIAE.同理 APIAC.而 AC? 平面 ABCE,AE?平面 ABCE, ACAAE = A，故 AP 丄平面 ABCE.(2)vAB/ CE，且 CE ?平面 PCE, AB?平面 PCE, AB /平面 PCE.又平面 PABA平面 PCE = I,AAB/I.C 级素养加强练17.(201

18、8 山西太原质检) )如图，四边形 ABCD 中，AB 丄 AD, AD /BC, AD = 6, BC= 2AB= 4, E, F 分别在 BC, AD 上, EF / AB, 现将四边形 ABEF 沿 EF 折起，使 BE 丄 EC.(1)若 BE= 1,在折叠后的线段 AD 上是否存在一点 P,使得 CP/平面 ABEF ?若存在，求出 pD 的值；若不存在，说明理由;(2)求三棱锥 A-CDF的体积的最大值， 并求出此时点 F至 U平面 ACD的距离.解：线段 AD 上存在一点 P,使得 CP/平面 ABEF ,“AP 3此时 PD = 2.理由如下：当AP=3时AP=3当 PD 2 时，AD 5，过点 P 作 PM / FD 交 AF 于点 M，连接 EM ,小亠 MP AP 3 则有 FD=AD=5,故 MP = 3,由题意可得 EC = 3,又 MP / FD / EC,MP 綊 EC,故四边形 MPCE 为平行四边形，由题意可得 FD = 5,CP/ME ,又TCP?平面 ABEF , ME ?平面 ABEF ,CP/平面 ABEF 成立.(2)设 BE=x(0vx4),AF = x, FD = 6 x,由题意可得 EC 丄 EF，又 BE 丄 EC, BE AEF = E,EB 丄平面ECDF ,VAF /BE,AF 丄平面 ECDF 11 12故