2020年(新课改)数学高考总复习小测：两条直线的位置关系

1、课时跟踪检测(四十七)两条直线的位置关系一、题点全面练1 若直线 11： y= k( (x 4) )与直线 12关于点( (2,1) )对称，则直线 12过定点( () )A (0,4)B (0,2)C ( 2,4)D . (4, 2)解析： 选 B 由题知直线 1i过定点(4,0)， 则由条件可知， 直线 12所过定点关于( (2,1)对称 的点为(4,0)，故可知直线 12所过定点为(0,2),故选 B.2.若点 P 在直线 3x + y 5= 0 上，且 P 到直线 x y 1 = 0 的距离为.2,则点 P 的坐 标为( () )A.(1,2)C . (1,2)或(2, 1)B.(2,

2、1)D . (2,1)或( (一 1,2)=埜，解得 x= 1 或 x= 2，故 P(1, 2)或(2, 1).3.已知直线3n1 的倾斜角为3,直线 11经过点 A(3,2)和 B(a, 1)，且直线 1 与 11平行,则实数 a 的值为( ()A. 0B.1C. 6D . 0 或 6解析：选 C由直线 1 的倾斜角为3 3/得 1 的斜率为一 1,4因为直线 1 与 11平行，所以 11的斜率为一 1.又直线 11经过点 A(3,2)和 B(a, 1),4. (2018 北京东城区期末) )如果平面直角坐标系内的两点A(a 1, a+ 1), B(a, a)关于直线 1 对称，那么直线 I

3、 的方程为( () )A. x y+ 1 = 0B.x+ y+ 1 = 0C. x y 1 = 0D. x+ y 1 = 0解析：选 A 因为直线 AB 的斜率为a a+一- = 1,所以直线 1 的斜率为 1.设直线 I 的a 1 a方程为 y= x+ b,由题意知直线 I 过点1 1,2a2a+1 1，所以2 =1 1+ b,解得 b= 1, 所以直线 1 的方程为 y= x + 1,即 x y+ 1= 0.故选 A.5.已知点 P( 2,0)和直线 1： (1 + 3?)x+ (1 + 2 矽一(2 + 5入=0(入R),则点 P 到直线 1 的距离 d 的最大值为( () )解析：选

4、C设 P(x,5 3x),则 d =|x 一 5 + 3x 一1|，化简得 |4x 6| = 2，即 4x 6所以 11的斜率为，故=1,解得 a = 6.A. 2 3B. 10C.14D. 2 15解析：选 B 由(1 + 3 ?)x+ (1 + 2Ry (2+ 5?)= 0，得(x + y 2) + 入3x+ 2y 5) = 0,此方程是过直线 x + y 2= 0 和 3x + 2y 5 = 0 交点的直线|x+ y 2 = 0，系方程.解方程组可知两直线的交点为Q(1,1)，故直|3x+ 2y 5= 0,线 I 恒过定点 Q(1,1)，如图所示，可知d=|PH|w|PQ= 10,即 d

5、 的最大值为 10.n6.已知直线h：ax+ y 1 = 0,直线 l2： x y 3= 0，若直线 l1的倾斜角为二，贝 V a =4_ ；若 Il2,贝Ua=_;若 l1II l2，则两平行直线间的距离为 _解析：若直线 l1的倾斜角为n,则一 a= k = tann= 1，故 a= 1;若丄则 ax1+ 1x(441)= 0,故 a = 1 ;若 l115，则 a= 1, h : x y+ 1 = 0,两平行直线间的距离d=厂=2 2.答案：112 27.将一张坐标纸折叠一次，使得点 (0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m, n)重合，则 m + n=.解析：由题意可知，纸的

6、折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y= 2x 3,答案：3458.以点 A(4,1) , B(1,5), C( 3,2), D(0, 2)为顶点的四边形5 一 1解析：因为 kAB=_1 4.=2 21 1 3.= 2 5 3加=0 4 = 4k kBC= 3 1= 4.则 kAB= kDC, kAD kBC，所以四边形 ABCD 为平行四边形.又 kADkAB= 1，即 AD 丄 AB,故四边形 ABCD 为矩形.它也是点(7,3)与点(m, n)连线的中垂线，于是故 m+ n =345. .=2X3,解得3m=；,531n n= NABCD 的面积为2(2)=一 43

7、03. .故 S四边形ABCD|AB| |AD|=142+512x042+ 21225.答案：25A. 2 3B. 109.正方形的中心为点C( 1,0)，一条边所在的直线方程是x+ 3y 5 = 0，求其他三边所在直线的方程.解：点 C 到直线 x+ 3y 5 = 0 的距离 d= 1二土 绰0 0.pl + 95 5设与 x + 3y 5 = 0 平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0(mM 5),则点 C 到直线 x+ 3y+ m= 0 的距离| 1 + m| _1 + 9 一=丁，解得 m= 5(舍去) )或 m = 7,所以与 x+ 3y 5 = 0 平行的边所在直线的方程是x+

8、 3y+ 7= 0.设与 x + 3y 5 = 0 垂直的边所在直线的方程是3x y+ n= 0,则点 C 到直线 3x y+ n = 0 的距离d=|1=刃1010解得 n= 3 或 n= 9,寸 9+ 15 5所以与 x+ 3y 5 = 0 垂直的两边所在直线的方程分别是3x y 3 = 0 和 3x y+ 9 = 0.10.已知点 P(2, 1).(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 I 的方程;(2) 求过点 P 且与原点的距离最大的直线I 的方程，并求出最大距离；(3) 是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说 明理由.解：( (1)

9、过点 P 的直线 I 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2, 1)，显然，过点 P(2, 1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时I 的斜率不存在，其方程为x= 2.若斜率存在，设 I 的方程为 y+ 1 = k(x 2),即 kx y 2k 1 = 0.此时直线 I 的方程为 3x 4y 10= 0.综上可得直线 I 的方程为 x= 2 或 3x 4y 10= 0.(2)作图可得过点 P 与原点 0 的距离最大的直线是过点P 且与 PO$a垂直的直线，如图./ft由 I 丄 OP，得 klkop= 1,o12/-17J/由已知得I 2k 1| =2；k2+1 1解得1=5因为 kop=

10、 2,1所以 k 尸一严=2.kop由直线方程的点斜式得y+ 1 = 2(x 2),即 2x y 5= 0.(3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过5 的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线.、专项培优练(一 )易错专练一一不丢怨枉分1. (2019 青岛模拟) )直线 x + a2y+ 6= 0 和(a 2)x + 3ay+ 2a = 0 无公共点，则 a 的值为( )A. 3 或一 1C. 0 或一 1解析：选 C 两直线无公共点，即两直线平行当a= 0 时，这两条直线分别为 x + 61a 2=0 和 x= 0，无公共点；当 a丰0 时，由一-2=，解得 a

11、= 3 或 a= 1.若 a = 3,这两a 3a条直线分别为 x+ 9y+ 6= 0, x + 9y+ 6 = 0,两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若 a= 1,这两条直线分别为 x+ y+ 6= 0 和 3x+ 3y+ 2 = 0,两直线平行，无公共点.综 上，a=0 或 a= 1.2.已知 A(1,2), B(3,1)两点到直线 I 的距离分别是 2, 5 .2，则满足条件的直线l共有()()A. 1 条B.2 条C . 3 条D . 4 条解析：选 C 当 A, B 两点位于直线 I 的同一侧时，一定存在这样的直线 I,且有两条.又|AB|= . 3 12+ 1 22=

12、5，而点 A 到直线 l 与点 B 到直线 l 的距离之和为 2 5 2 =5，所以当 A, B 两点位于直线 I 的两侧时，存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有 3 条.故选 C.3.l1, l2是分别经过 A(1,1),B(0, 1)两点的两条平行直线，当 l1, l2间的距离最大时，直线 l1的方程是_ .解析：当两条平行直线与 A, B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为所以直线 2x最大距离为I 5|5B.0 或31=5A(1,1), B(0, 1)，所以 kAB=1 1=2，所以当 l1,l1的斜率为1 1k= ，此时，直线 li的方程是 y 1 = Q(

13、 (x 1), 即卩 x + 2y 3= 0.答案：x+ 2y 3= 04.若直线 l 过点 P( 1,2)且到点 A(2,3)和点 B( 4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为解析：当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y 2 = k(x + 1)，即 kx y+ k + 2= 0.由题意知|2k|2k3 3；k k+2|2|=| |4k4k -5+k k+2|2|,尿+1寸 k2+11即|3k 1|= | 3k 3|,. k = 3.1直线 l 的方程为 y 2= 3( (x+ 1), 即卩 x+ 3y 5= 0.当直线 I 的斜率不存在时，直线I 的方程为 x= 1,也符合题意

14、.答案：x+ 3y 5= 0 或 x = 15.在平面直角坐标系中，已知点P( 2,2),直线 l： a(x 1) + b(y+ 2) = 0(a, b R 且不同时为零) )，若点 P 到直线 I 的距离为 d,则 d 的取值范围是 _.解析：易知直线 I 经过定点(1, 2),则点 P 到直线 I 的最大距离为一 2 12+ 2+ 22=5,最小距离为 0,所以 d 的取值范围是0,5.答案：0,5(二 )交汇专练融会巧迁移6.与导数交汇若点 P 是曲线 y= x2 ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y= x 2 的最小距离为( ()ApB.1C. 2D. 2解析： 选 C 因为点

15、P 是曲线 y= x2 ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线 y=x 2 平行时，点 P 到直线 y= x 2 的距离最小因为直线y= x 2 的斜率等于 1,曲线 y=x2 In x 的导数 y = 2x g,令 y = 1,可得 x = 1 或 x = *舍去) )，所以在曲线 y= x2 In x 上与直线 y= x 2 平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点 P 到直线 y= x 2 的最小距离为，2,故选 C.7.与不等式交汇如图，已知直线 I1l l2，点 A 是l l1,l l2之间的定点，点 A 到11, 12之间的距离分别为 3 和 2,点 B 是 l2上的

16、一动点，作 AC 丄 AB, 且 AC 与 l1交于点匚匚则厶 ABC 的面积的最小值为 _.解析：以 A 为坐标原点，平行于 l1的直线为 x 轴，建立如图所示的平 面直角坐标系，设 B(a, 2), C(b,3)./ AC 丄 AB , ab 6= 0, ab= 6, b=6 6. aRt ABC 的面积 S= 2 . a2+ 4 b2+ 9 =2孑+3636+ 9=1 1,72+9a9a2+ 学 2 ； 72+ 72= 6(当且仅当 a2= 4 时取等号) ).答案：68.与物理知识交汇如图，已知 A( 2,0), B(2,0), C(0,2), E( 1,0),F(1,0), 束光线从 F 点出发射到