垂径定理的应用

1、24.1 圆的有关性质 垂径定理的应用学习目标1、通过对典型习题的学习，进一步理解垂径定理及 其推论，并能应用垂径定理解决相关数学问题.2、让学生体会分类讨论思想、方程思想、数形结合 思想在解题中的应用.3、通过练习，形成解题的建模思想。1、垂径定理的内容是什么？结合图形如何叙述？垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. CD是O的直径，AB是弦， 且CDAB,垂足为M . AM=BM , AD =BD , AC=BC 2、垂径定理的推论内容是什么？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.为什么要强调“弦不是直径”？OMNAB平分弦的直径垂直于弦3、如图所示，在O中，直

2、径MN弦AB，垂足为C，则下列结论中错误的是()A.AC=CBB. =C. = D. OC=CN4、半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是 。D1、如图所示，等腰AOB中OA=OB，O与边AB交于C,D两点，求证：AC=BD.【思路点拨】 证明圆中与弦有关的线段相等时，可综合运用垂径定理和等腰三角形的性质，证明圆中与弦有关的线段相等.证明：过点O作OEAB于E,由垂径定理得CE=DE,又OA=OB,AE=BE,AE-CE=BE-DE,即AC=BD.E求证：AC=BD.3、如图所示,某窗户是由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻璃，请帮工程师求

3、出 所在圆O的半径r.AB解：由题意知解：由题意知OA=OE=r,OA=OE=r,又又OEAB,OEAB,AF= AB= AF= AB= 3= (m).3= (m).在在RtRtOAFOAF中中,OF,OF2 2+AF+AF2 2=OA=OA2 2,FO=(r-1)m,FO=(r-1)m即即(r-1)(r-1)2 2+ =r+ =r2 2, ,解得解得r= m.r= m.即圆即圆O O的半径为的半径为 m.m.23( )2138138121232【思路点拨】【思路点拨】 1、应用垂径定理计算的关键是寻找弦的一半、半径和圆心到弦的垂线段为边的直角三角形，利用勾股定理求解.2、已知弦长和弓形的高求

4、半径，通常列方程解答。跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,求半径r.3、O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，则OP长的取值范围为 。.讨论：使OP长为整数值的点P有多少个？1、半径为3cm的圆中,圆心到一条弦的距离是1cm，则这条弦长是 。2、如图,O半径长2cm，弦AB= cm，则AOB等于 .ABOC323、如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为()A.4 mB.5 mC.6 mD.8 m4、如图，AB是O的直径，作半径OA的垂直平分线，交O于C,D两点，垂足为H，连接BC、BD.(1)求证：BC=BD.(2)已知CD=6，求O的半

5、径长.课本90页第10、12、13题1、如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CDAB,垂足为P，且BPAP=15，则CD的长为 。2、O的直径CD=10，AB是O的弦，ABCD,垂足为M，且AB=6，则AC的长为 。有两种情况：3、如图,已知AB是O的弦,P是AB上一点,若AB=10,PB=4,OP=5,求O的半径的长.ABCDOOABCD两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的同侧4.O的直径是10cm，两条弦AB=8cm，CD=5cm，且ABCD，求AB、CD之间的距离。EEFF5 已知P为O内一点，且OP3cm，如果O的半径是5cm，那么过P点的最短的弦等于_ E D C B A P O过点P且弦长为整数的弦有多少条？6、如图,底面半径为5cm的圆柱形油