基本不等式及其应用

1、高考复习基本不等式及其应用 要点梳理1.算术平均数与几何平均数 对于正数a,b，我们把 称为a,b的算术平均 数， 称为a,b的几何平均数.2.基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： . （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数 其 几何平均数.2baab2baaba0,b0a=b不小于3.几个重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR).4.利用基本不等式求最值 设x,y都是正数. （1）如果积xy是定值P，那么当 时，和x+y有 最小值 . （2）如果和x+y是定值S，那么当 时积xy有最 大值 . 即“一正、二定、三相等”,这三 个条件缺

2、一不可.R).,()2()3().,()2(2babaabbabaab同号2x=yP2x=y241S基础自测1.已知ab0，a,bR，则下列式子中总能成立的 是 . 解析 中不能保证 为正，中 未必为负，显然错误. 2; 2; 2; 2baabbaabbaabbaabba、abba、ab 2.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 . 解析 x+3y-2=0,x+3y=2. 又3x+27y+1=3x+33y+1 当且仅当3x=33y, 即x=3y=1,x=1,y= 时取等号.7. 71321321332233 yxyx313.已知 的最小值为 . 解析 即x=10，y=6时，xy有最小

3、值60.4.设x,y为正数，则 的最小值为 . 解析 5+22=9当且仅当y=2x时取得最小值9.xyyxyx则),0, 0( 13560,2135.60,152,152351yxxyxyxyyx当且仅当)41)(yxyx9)0, 0(45)41)(yxyxxyyxyx【例1】（1）已知a0,b0,a+b=1,求证： (2)已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1, 求证： 证明 （1）a0,b0,a+b=1, 所以原不等式成立. （2）x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1, . 411ba. 8) 11)(11)(11(zyx. 411. 422211babaabbaabbb

4、aababa.2111xyxyxxxzz将三式相乘，得. 11, 11. 111，0.211.211yxxyxyxyxyyxzzzzzz同理又. 8) 11)(11)(11(zyx跟踪练习1 （1）已知x0,y0,z0. 求证： (2)求证：a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c). 证明 （1）x0,y0,z0, （当且仅当x=y=z时等号成立） . 8)()(zzzzyxyyxxxy, 02. 02, 02zzzzzzzxyyxyxyyxxyxxy. 88)()(zzzzzzzxyxyxyyxyyxxxy（2）a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42

5、c2a2,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,c2a2+a2b22a2bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).【例2】 （1）已知x0,y0，且 求x+y 的最小值； （2）已知x ,求函数 的最 大值； （3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最 小值. （1）注

6、意条件中“1”的代换，也可用三 角代换. （2）因为4x-50,y0, , 191yx3)45145(54124, 045,45)2(.16,12, 4, 191,9.16106109)91)(xxxxyxxyxyxyxyxxyyxxyyxyxyx取得最小值时又上式等号成立时当且仅当即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y取得最大值1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy, 又2x+8y-xy=0,x=12,y=6,当x=12,y=6时，x+y取最小值18.,45145, 132xx当且仅当, 182xy，yxyxxyyxxyyxxyyxxyyxyxyx时取等号即当且仅当2,4,

7、1842210)4(2102810)28)(跟踪练习2 （2010徐州模拟）解下列问题： （1）已知a0,b0，且4a+b=1，求ab的最大值； （2）已知x2,求 的最小值. 解（1）a0,b0,4a+b=1, 1=4a+b2 当且仅当4a=b= 即 时，等号成立. 24xx,44abab ,2121,81ba. 624.,4,242, 6224)2(2224224, 02, 2)2(.161.161,41的最小值为所以等号成立时即当且仅当的最大值为xxxxxxxxxxxxxababab【例3】 （1）已知x0,y0,lg x+lg y=1，求 的最小值. （2）设x-1，求函数 的最值.

8、由lg x+lg y=1可得xy=10为定值. 可化为 的形式再用基本不等式. （1）解 方法一 由已知条件lg x+lg y=1, 可得xy=10. 则 当且仅当2y=5x，即x=2,y=5时等号成立.yx521)2)(5(xxxy分析bxxaxf)(. 2)52(. 21025252minyxxyxyxyyx方法二 ., 1,141. 954514) 1(, 01, 1. 514) 1(14) 1(5) 1(11071)2)(5()2(.5, 2,22. 2)52(, 22252,10, 1lglg22min无最大值有最小值故即当且仅当时等号成立即当且仅当可得由，yxxxxxyxxxxxx

9、xxxxxxxyyxxxyxxxyxxyyx跟踪练习3 函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图 象恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中 mn0，则 的最小值为 . 解析 A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上， -2m-n+1=0, 即2m+n=1,mn0,m0,n0.nm218. 821.21,41,4. 842424224221的最小值为故时等号成立即当且仅当nmnmnmmnnmmnnmmnnnmmnmnm【例4】（14分）某养殖厂需定期购买饲料，已知 该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格 为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克 每天0.03元，购买

10、饲料每次支付运费300元. （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每 天支付的总费用最少？ （2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料 不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原 价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条 件？请说明理由.解题示范解 （1）设该厂应隔x(xN+)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.03=6(元),x天饲料的保管与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+6=3x2-3x(元). 2分从而有y1= (3x2-3x+300)+2001.8= +3x+357417. 4分当且仅当 =3x，即x=10时，y1有最小

11、值.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 6分x1x300 x300（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2= (3x2-3x+300)+2001.80.85= +3x+303(x25). 10分y2=- +3,当x25时，y20，即函数y2在25,+）上是增函数，当x=25时，y2取得最小值为390.而390 0 ) ， 已 知 羊 皮 手 套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套 仍需再投入16万元.（年销售收入=年生产成本 的150%+年广告费的50%）. （1）试

12、将羊皮手套的利润L（万元）表示为年广 告费x(万元)的函数； （2）当年广告费投入为多少万元时，此公司的 年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销 售收入-年广告费）.xS13解 （1）由题意知，羊皮手套的年成本为（16S+3）万元，年销售收入为（16S+3）150%+x50%，年利润L=（16S+3）150%+x50%-（16S+3）-x，即L= （16S+3-x），得 因此，当年广告费投入4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为21.5万元.21, 5 .214,82. 5 .21822251)82(25121651)2().0(2165122有最大值时即当且仅当由，Lxxxxxxxxx

13、xLxxxxL思想方法 感悟提高高考动态展望从近几年的高考试题看，基本不等式的应用一直是高考命题的热点，在填空题、解答题中都有可能出现，一是运用基本不等式证明不等式；二是利用基本不等式求函数的最值（或值域）.今后高考命题仍会考查基本不等式的应用，且以考查求函数的最值为主要命题方向.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.2baab方法规律总结1.a2+b22ab成立的条件是a,bR，而 成立，则要求a0且b0.使用时，要明确定理 成立的前提条件.2.在运用重要不等式时

14、，要特别注意“拆、拼、 凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正” （即条件中要求字母为正数）、“定”（不等式 的另一边必须为一定值）、“等”（等号取得 的条件）的条件.3.注意掌握重要不等式的逆用，变化形式的特点.4.不等式知识在数列、向量、解析几何、三角函 数都有所体现，主要有解（证）不等式，求最 值问题.abba2定时检测一、填空题1.（2009山西阳泉期末）函数y=log2x+logx(2x) （x1）的值域是 . 解析 y=log2x+logx(2x)=1+(log2x+logx2), 如果x1，则log2x+logx22， 如果0 x1，则log2x+logx2-2， 函数的值域为（-

15、,-13,+).（-,-13,+)2.（2009大连一模）已知0 x1，则x(3-3x)取 得最大值时x的值为 . 解析 0 x0,y0,x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则 的最小值是 . 解析 由x、a、b、y成等差数列知a+b=x+y 由x、c、d、y成等比数列知cd=xy 把代入 得 的最小值为4.cdba2)( 4cdba2)( cdba2)( . 422)()(2222yxxyxyxyyxxyyxcdba4.（2010南通模拟）设 则函数 的最小值为 . 解析),2, 0(xxxy2sin1sin223. 3”“33tan, 3tan21tan232tan21t

16、an23, 0tan),2, 0(.tan21tan23cossin2cossinsin22sin1sin22222故最小值为成立时当且仅当，xxxxxxxxxxxxxxxxy5.（2010江苏南通一模）某汽车运 输公司购买了一批豪华大客车，投 放市场客运.据市场分析，每辆客 车营运的总利润y(单位：10万元)与 营运年数x(xN+)为二次函数关系， 如图，则每辆客车营运 年，其营运年平均 利润最大. 解析 求得函数式为y=-(x-6)2+11, 则营运的年 平均利润5. 5,25, 225212)25(1211)6(2xxxxxxxxy解得此时6.（2008徐州调研）若实数a,b满足ab-4

17、a- b+1=0 (a1),则（a+1）(b+2)的最小值为 . 解析 ab-4a-b+1=0, a1,b0. ab=4a+b-1, (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 =6a+ 2+1 当且仅当(a-1)2=1,即a=2时成立. 最小值为27.27.114aab114aa,27156621516) 1(6, 01.1516) 1(6116861123) 1(46aaaaaaaaaa原式7.（2009长春模拟）在满足面积与周长的数值 相等的所有直角三角形中，面积的最小值是 . 解析 设直角三角形的两直角边分别为a,b，则 斜边为).223(4) 12(421,)22(4,

18、2122,22,21,22222222abSababababababbabaabbababa又由题意得)223(48.（2010南京调研）已知a0,b0，a、b的等差 中项是 的最小值是 . 解析 由条件a+b=1，又a+b , ab (当a=b= 时取等号). 则有,1,1,21bbaa54121. 5411111abbabaab29.（2009常州模拟）已知关于x的不等式 在x(a,+)上恒成立，则实数 a的最小值为 . 解析 xa,722axx23.2323, 7424222)(2222)(222的最小值为即aaaaaaxaxaaxaxaxx二、解答题10.（2010盐城模拟）函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0. （1）求f(0); (2)求f(x); (3)当0 xax-5恒成立，求a的 取值范围. 解 （1）令x=1,y=0，得f(1+0)-f(0) =(1+20+1)1=2， f(0)=f(1)-2=-2. (2)令y=0, f(x