总复习(s域和z域分析)

1、六、连续时间信号与系统的s域分析1.熟练掌握单边熟练掌握单边Laplace变换及其基本性质和变换及其基本性质和Laplace反变换。反变换。2.掌握用单边掌握用单边Laplace求解连续系统响应的零输入响应求解连续系统响应的零输入响应和零状态响应。和零状态响应。3.重点掌握系统的传输函数，及系统函数与系统特性重点掌握系统的传输函数，及系统函数与系统特性（频响特性、因果性、稳定性）的关系。（频响特性、因果性、稳定性）的关系。拉普拉斯正变换拉普拉斯正变换0 ( )( )ed stF sf ttssFtfstde )(j21)(jj拉普拉逆斯变换拉普拉逆斯变换( (一一) )单边拉普拉斯变换的定义：

2、单边拉普拉斯变换的定义：物理意义：物理意义：( ) ( ),2 jF sf ts可可分分解解为为一一系系列列复复频频率率为为 幅幅度度为为的的函函数数的的积积分分和和。单边拉普拉斯变换存在的条件单边拉普拉斯变换存在的条件充要条件为： 凡有始有终，能量有限的信号，即有界的非周期凡有始有终，能量有限的信号，即有界的非周期信号的拉普拉斯变换一定存在。信号的拉普拉斯变换一定存在。( (二二) )常用信号的拉普拉斯变换常用信号的拉普拉斯变换1 )(LtnLnst )()(stuL1 )(1e( ) Latu tsa1! )(nLnsntut22 )()sin(stutL22 )()cos(sstutL2

3、2 )()sin(eastutLat22 )()cos(easastutLat21 )(eastutLat( (三三) )拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换与傅氏变换的关系j1(j )( )()NnnsnFF sK ( (四四) )、拉普拉斯变换的性质、拉普拉斯变换的性质1.线性（叠加）特性线性（叠加）特性2.时域微分特性时域微分特性3.时域积分特性时域积分特性4.s域微分特性域微分特性5.s域积分特性域积分特性6.延时延时( (时域平移时域平移) )7.s域平移域平移8.尺度变换尺度变换9.初值定理初值定理10.终值定理终值定理11.时域卷积定理时域卷积定理12.s域卷积定理域卷积定理( (时

4、域相乘定理时域相乘定理) )( (五五) )拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换ssFtfstde )(j21)(jj计算拉普拉斯逆变换的方法：(一)部分分式展开法。(二)利用复变函数中的留数定理。( (六六) )用拉氏变换法分析电路，用拉氏变换法分析电路，s域的域的元件模型元件模型(1)(1)s域的元件模型域的元件模型R,L,C元件的时域关系为：元件的时域关系为：各式进行拉氏变换得：各式进行拉氏变换得：1.用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路0( )( )d ( )( )d1( )( )d(0 )RRLLtCCCvtR i ti tv tLtvtivC( )( )( )( )(0 )11( )(

5、 )(0 )RRLLLCCCVsRIsV ssLIsLiVsIsvsCs( )( )( )( )(0 )11( )( )(0 )RRLLLCCCVsRIsV ssLIsLiVsIsvsCsR,L,C串联形式的s域模型用于回路分析回路分析对电流解出得：对电流解出得：1( )( )11( )( )(0 )( )( )(0 )RRLLLCCCIsVsRIsV sisLsIssCVsCv( )RIs ( ) RVsRsL1(0)Lis( )LIs ( ) LVs1sC( )CIs(0)CCV ( ) CVsR,L,C并联形式的s域模型用于结点分析结点分析( )( )( )( )(0 )11( )( )

6、(0 )RRLLLCCCVsRIsV ssLIsLiVsIsvsCs(七七)系统函数系统函数H(s)与系统特性与系统特性LT ( )( )( )LT ( )( )r tR sH se tE s( )ILT( )h tH sjj( )( )( ) ( )( )( )1 ( )( )ed2 jstr te th tR sE s H sr tR ss11s e( )tu t11s e ( )tu t1s( )u t(八)零极点与系统的时域特性j1(1j)(1j)ss sin( )e( )ttu t1(j)(j)sssin( ) ( )t u t1(1j)(1j)ss sin( )e ( )ttu t

7、(九)零极点与系统的频响特性 频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。000( )sin()ssmrtE Ht000000,jHH 在频率为的正弦激励信号作用下，系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号，但幅度乘以系数，相位移动和由系统函数在处的取值决定。00j00j( )(j)esH sHH系统稳定时，令系统稳定时，令H(s)中中 s =j ，则得系统频响特性，则得系统频响特性j(j )( )sHH sj ()(j )(j )HHe 1N2N211M112121212(j )( )()()N NHM M j(十十)全通函数与最小相移函数全通函数与最小相移函数的的零、极点零、

8、极点分布分布1.全通函数全通函数定义定义 如 果 一 个 系 统 函 数 的 极 点位 于 左 半 平 面 ， 零 点 位 于 右 半平 面 ， 而 且 零 点 与 极全 通 函点 对 于 j轴 互 为 镜 像 ， 这 种 系 统 函 数 称为,全 通系 统此 系 统 称 为或数全 通 网 络 。定义：定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的转移零点仅位于左半平面或虚轴上的转移函数。函数。2.2.最小相移网络最小相移网络(十一十一) 线性系统的稳定性线性系统的稳定性一一. .定义定义如果一个系统对于任何有界的输入如果一个系统对于任何有界的输入, ,其响其响应也是有界的应也是有界的, ,既若既若, ,

9、则有则有: :其中其中Me, , Mr为有限的正实数为有限的正实数. .那么那么, ,我们称该系统是稳定的我们称该系统是稳定的. .( )ee tM( )rr tM( ) dh ttM稳定线性系统完全等效条件七、离散时间信号与系统的z域分析1熟练掌握单边熟练掌握单边z变换及其变换及其z变换的性质和变换的性质和z反变换。反变换。2掌握用单边掌握用单边z z变换求解离散系统的零输入响应和零状变换求解离散系统的零输入响应和零状态响应。态响应。3重点掌握系统的传输函数，及系统函数与系统特性重点掌握系统的传输函数，及系统函数与系统特性（频响特性、因果性、稳定性）的关系。（频响特性、因果性、稳定性）的关系

10、。(一一) z变换定义、典型序列的变换定义、典型序列的z变换变换0( )( ):nnX zx n z单( )( ):nnX zx n z双* *. . 典型序列的典型序列的z变换变换(1)ZT ( )1nZT ()mnmzZT ()mnmz(2) ZT ( )(1)1zu nzz2(3) ZT( )(1)znu nz11(4) ZT( )()1nza u nzaazza0020sinZTsin() ( )2 cos1zn u nzz0000jjjj(5) ZTe( ) ZTe( )eennzzu nu nzz0020(cos)ZTcos() ( )2 cos1z zn u nzz(二)几类序列

11、的收敛域：(1)(1)有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列2112( )( )nnn nX zx n znnn12000nznzz 除时，和时外，所有 值都收敛120,0,0nnz 时120,0,0nnz 时120,0,0nnz 时jIm zRe zjIm zRe z(2)右边序列：只在右边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列区间内，有非零的有限值的序列1nn11( )( )nn nX zx n znn 圆外为圆外为收敛域收敛域11110,0,xxnzzRnzRz 收敛域包含即收敛域不包含即(3)左边序列：只在左边序列：只在 区间内，有非

12、零的有限值的序列区间内，有非零的有限值的序列2nn22( )( )nnnX zx n znn jIm zRe z圆内为收敛域，圆内为收敛域，若若n20则不包则不包 括括z=0点点jIm zRe z(4)双边序列：在双边序列：在 区间内，有非零的有限区间内，有非零的有限值的序列值的序列n 圆圆外外收敛收敛( )( )nnX zx n zn 10( )( )( )nnnnX zx n zx n z圆圆内内收敛收敛21xxRR21xxRR有环状收敛域有环状收敛域没有收敛域没有收敛域(三三)逆逆z变换变换表示，根据留数定理内的极点用在围线如果knzczzX1)(11 1( )( )dRes( ),2

13、jnnkckx nX z zzX z zz 的留数在极点被积函数knzzzzX1)(是单极点kzkzznkknzzXzzzzzX11)()(,)(Res阶极点是Nzk11111dRes( ),()( )1 !dkNnNnkkNz zX z zzzzX z zNz（）1.围线积分法围线积分法( (留数法）留数法）留数辅助定理： )( 表示，即设被积函数用zF1)()(nzzXzF211211),(Res),(ResNkkNkkzzFzzF条件：F(z)的分母阶次应比分子阶次高两阶以上112212( ),kkF zzNczcNzcNzNNN在 平面上有 个极点 在收敛域内的封闭曲线 将平面上的极点

14、分成两部分： 内极点，设有个，用表示； 外极点，有个，用表示，2.部分分式展开法部分分式展开法01( )NmmmA zX zAzz设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式NmmmzzAzAzzX10)( (四四) z变换的基本性质变换的基本性质1.线性线性2.序列的移位序列的移位3. 序列指数加权序列指数加权( (z域尺度变换域尺度变换) )4. 序列线性加权序列线性加权( (z域微分域微分) )5. 初值定理初值定理7. 时域卷积定理时域卷积定理8. 序列相乘序列相乘( (z域卷积定理域卷积定理) )6. 终值定理终值定理(五五) z变换与拉普拉斯的关系变换与拉普拉斯的关系( (一一) )从从

15、s平面到平面到z平面的映射平面的映射s12eln sTzszTTs2See2TrTjj eszr(j)jeeeTTTzs平面到平面到z平面有如下映射关系：平面有如下映射关系：(1)(0,j )sszzz平面上的虚轴映射到 平面是单位圆,其右半平面映射到 平面是单位圆的圆外，而左半平面映射到 平面是单位圆的圆内。s(2)(0,)()j(1, 3,)2sszzkkz 平面上的实轴映射到 平面是正实轴,平行于实轴的直线为常数 映射到 平面是始于原点的辐射线，通过而平行于实轴的直线映射到 平面是负实轴。jss(3)eszzs由于是以为周期的周期函数，因此在 平面上沿虚轴移动对应于 平面上沿单位圆周期性

16、旋转，每平移，则沿单位圆转一圈。所以映射不是单值的。j12j2j1jIm zRe zojIm zRe zjIm zRe zo1100( )( )( )( )NMklrmkrklkrmra zY zy l zb zX zx m z (六六) 利利用用z变换解差分方程变换解差分方程00()()NMkrkra y nkb x nr x(n-r),y(n-k)均为右移序列均为右移序列 两边取单边两边取单边z变换变换初始状态初始状态若因果信号若因果信号此项为零此项为零若若x(n)010( )( )0Nklkklka zY zy l z100( )( )NklkklkNkkka zy l zY za z(

17、 )IZT ( )y nY z零输入响应若起始状态若起始状态y(l)0，(1)Nl 100( )( )( )NMkrmkrkrmra z Y zb zX zx m z如果如果x(n)为因果序列，则为因果序列，则00( )( )NMkrkrkra z Y zb zX z00( )( )MrrrNkkkb zY zX za z00( )MrrrNkkkb zH za z( )( )( )Y zX z H z( )IZT( )( )y nX z H z零状态响应(七七) 离散系统的系统函数离散系统的系统函数一、定义：一、定义：(1)(1)系统零状态响应的系统零状态响应的z变换与输入的变换与输入的z变

18、换之比变换之比1010(1)( )( )( )(1)MrrNkkz zY zH zGX zp z(2)系统单位样值响应系统单位样值响应h(n)的的z变换变换0( )( )nnH zh n z10100101(1)( )IZT( )IZT(1) IZT ( )()( )MrrNkkNkkkNnkkkz zh nH zGp zA zAzpAnApu n(1)由极点分布决定系统单位样值响应由极点分布决定系统单位样值响应一般一般pk为复数为复数它在它在z平面的平面的分布位置决定分布位置决定了了h(n)特性特性jIm zRe z1极点分布对极点分布对h(n)的影响的影响(2)(2)由极点分布决定系统稳定

19、性和因果性由极点分布决定系统稳定性和因果性( )H z对于稳定系统的收敛域应包含单位圆在内。( )H z对于因果系统的收敛域应包含 点在内。因果稳定系统：因果稳定系统：1aza 全部极点落于单位圆内。(八八)系统的频率响应的几何确定系统的频率响应的几何确定jjj ()11j11()(e)( )(e) e()(e)MMrrrrNNkkkkzzzH zHzpp jjjjeeeekrrrkkzApBj11(e)MrrNkkAHB11( )MNrkrk 系统的频率响应的几何确定法系统的频率响应的几何确定法1p2p1z2z1122jIm zRe zj11(e)MrrNkkAHBjjj ()(e)(e)

20、eHH 11( )MNrkrk je1由几何法可以看出：由几何法可以看出：（1 1）z=0=0处的零极点对幅频特性处的零极点对幅频特性 没有影响，没有影响，只对相位有影响只对相位有影响j(e)H（2 2）当）当 旋转到某个极点旋转到某个极点 附近时，例如在同一附近时，例如在同一半径上时，半径上时， 较短，则较短，则 在该点应当出现一个峰在该点应当出现一个峰值，值， 越短，越短， 附近越尖锐。若附近越尖锐。若 落在单位圆上，落在单位圆上，则则 ，则，则 处的峰值趋于无穷大。处的峰值趋于无穷大。jeipiBj(e)HiBipip0iB ip（3 3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反）对于零点则

21、其作用与极点的作用正好相反。当当 旋转到某个零点旋转到某个零点 附近时，例如在同一半径上时，附近时，例如在同一半径上时， 较短，则较短，则 在该点应当出现一个谷值，在该点应当出现一个谷值， 越越短，短， 附近越尖锐。若附近越尖锐。若 落在单位圆上，则落在单位圆上，则 ，则则 处的谷值趋于处的谷值趋于0 0。jeiziAj(e)H0iA iziAiziz典型例题：13序列 的单边 变换 等于_。 （A） （B） （C） （D） ( )2(1)nx nu nz( )X z121zz121z121z 21zz11( )10.8X zz0.8z ( )x n已知，则其时域序列的表达式为_。 ( 0.8)( )nu