简单几何体的表面积与体积

1、知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积 思考思考1:1:面积是相对于平面图形而言的，面积是相对于平面图形而言的，体积是相对于空间几何体而言的体积是相对于空间几何体而言的. .你知道你知道面积和体积的含义吗？面积和体积的含义吗？面积面积:平面图形所占平面的大小平面图形所占平面的大小 体积体积:几何体所占空间的大小几何体所占空间的大小 思考思考2:2:所谓所谓表面积表面积，是指几何体表面的，是指几何体表面的面积面积. .怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？怎样计算直棱柱积？怎样计算直棱柱、 正棱锥正棱锥、 正棱正棱台的侧面积台的侧面

2、积？各个侧面和底面的面积之和各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积或展开图的面积.思考思考3:3:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面面积？面积？思考思考4:4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些圆柱的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆柱的底面半径为特征？如果圆柱的底面半径为r r，母线长，母线长为为l，那么圆柱的表面积公式是什么？，那么圆柱的表面积公式是什么？2()Sr rl思考思考5:5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些圆锥的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆锥的底面半径为特征？如果圆锥的底面半径为r r，母线长

3、，母线长为为l，那么圆锥的表面积公式是什么？，那么圆锥的表面积公式是什么？()Sr rl思考思考6:6:圆台的侧面展开图的形状有哪些圆台的侧面展开图的形状有哪些特征？如果圆台的上、下底面半径分别特征？如果圆台的上、下底面半径分别为为rr、r r，母线长为，母线长为l，那么圆台的表面，那么圆台的表面积公式是什么？积公式是什么？rr22()Srrr lrl思考思考7:7:在圆台的表面积公式中，若在圆台的表面积公式中，若r=rr=r，r=0r=0，则公式分别变形为什么？，则公式分别变形为什么？22()Srrr lrl()Sr rl2()Sr rlr=rr=rr=0r=0知识探究（二）知识探究（二）柱

4、体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积 思考思考1:1:你还记得正方体、长方体和圆柱你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？它们可以统一为一个什的体积公式吗？它们可以统一为一个什么公式？么公式？思考思考2:2:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想柱体的体积公式是什么？想柱体的体积公式是什么？VSh高高h h底面积底面积S S 思考思考3:3:关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理： （1 1）相同的几何体的体积相等；相同的几何体的体积相等； （2 2）一个）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3 3）等底面积等高的

5、两个同类几何体的）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；体积相等； （4 4）体积相等的两个几何体叫做）体积相等的两个几何体叫做等积体等积体. . 将一个三棱柱按如图所示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？ 1 12 23 31 12 23 3思考思考4:4:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？想锥体的体积公式是什么？ 13VSh高高h h底面积底面积S S 思考思考5:5:根据棱台和圆台的定义，如何

6、计根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？算台体的体积？ 设台体的上、下底面面积分别为设台体的上、下底面面积分别为SS、S S，高为，高为h h，那么台体的体积公式是什么？，那么台体的体积公式是什么？高高h h下底面下底面积积S S 上底面上底面积积S S 1()3VSS SS h思考思考6:6:在台体的体积公式中，若在台体的体积公式中，若S=SS=S，S=0S=0，则公式分别变形为什么？，则公式分别变形为什么？S=SS=SS=0S=01()3VSS SS h13VShVSh知识探究（三）知识探究（三）:球的体积表面积球的体积表面积思考思考1:1:从球的结构特征分析，球的大小从球的结构特征分

7、析，球的大小由哪个量所确定？由哪个量所确定？思考思考2:2:底面半径和高都为底面半径和高都为R R的圆柱和圆锥的圆柱和圆锥的体积分别是什么？的体积分别是什么？3VR柱313VR锥思考思考3:3:如图，对一个半径为如图，对一个半径为R R的半球，其的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？关系？思考思考4:4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？猜想半球的体积是什么？323VR球思考思考5:5:由上述猜想可知，半径为由上述猜想可知，半径为R R的球的的球的体积体积 ，这是一个正确的结论，你，这是一个正确的结论，你

8、能提出一些证明思路吗？能提出一些证明思路吗？343VR思考思考6:6:半径为半径为r r的圆面积公式是什么？它的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？是怎样得出来的？2rS圆a1a2a3ana4思考思考7:7:把球面任意分割成把球面任意分割成n n个个“小球面小球面片片”，它们的面积之和等于什么？，它们的面积之和等于什么？o思考思考4:4:你能由此推导出半径为你能由此推导出半径为R R的球的的球的表面积公式吗？表面积公式吗？24SR思考思考5:5:经过球心的截面圆面积是什么？经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？它与球的表面积有什么关系？ 球的表面积等于球的大圆面积的球的表面积等

9、于球的大圆面积的4 4倍倍几何体的表面积几何体的表面积例1已知三棱锥的顶点在底面上的射影是底面正已知三棱锥的顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，三棱锥的侧棱长为三角形的中心，三棱锥的侧棱长为10 cm，侧面，侧面积为积为144 cm2，求棱锥的底面边长和高，求棱锥的底面边长和高解：如图所示，三棱锥如图所示，三棱锥S-ABC，SA=10.设高设高SO=h，底面边长为，底面边长为AB=a，连接连接AO并延长交并延长交BC于于D点，连接点，连接SD，几何体的体积几何体的体积例2如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA18，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1

10、C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？解：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形例例3 3如图所示，三棱台如图所示，三棱台ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中，ABAABA1 1B B1 11212，则三棱锥，则三棱锥A A1 1ABCABC，B BA A1 1B B1 1C C，C CA A1 1B B1 1C C1 1的体积之比为的体积之比为( () )A A111111B B112112C C124 D124 D144144图图8 82 23 3设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.【答案答案】C 例例4 4 已知已

11、知A A、B B、C C为球面上三点，为球面上三点，AC=BC=6AC=BC=6，AB=4AB=4，球心，球心O O与与ABCABC的外心的外心M M的距离等于球半径的一半，求这个球的的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积表面积和体积. .ABCOM3 6,54 ,27 62RSV几何体的折叠与展开几何体的折叠与展开例4（1)将无盖正方体纸盒展开，如图所示，则直线AB、CD在原正方体中的位置关系是()A平行 B相交且垂直C异面直线 D相交成60【解析解析】折起后如右图所示，由于点B、D重合，所以AB、CD相交又AB=BC=CAABC=60AB、CD相交成60，故应选D.解：由题意知BC

12、=3 cm，AB=4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段BC的长度即为铁丝的最短长度2)有一根长为有一根长为3 cm.底面半径为底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？例5有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的最大容积V1；(2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积V2V1.【解析解析】(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x，V1(42x)2x4(x34x24x)(0 x2)，V1 4(3x28x 4) 12(x 23)(x 2) ，当 0 x0 ，当23x2 时， V1V1.故第二种方案符合要求组合体问题组合体问题例6如图所示，BCEF，DCBC于C，CDEF于D，点