习题与参考答拓扑案

1、精选优质文档-倾情为你奉上五简答题（每题4分）1、设是一个拓扑空间，是的子集，且.试说明.答案：对于任意,设是的任何一个邻域，则有,由于，从而，因此，故.2、设都是拓扑空间., 都是连续映射，试说明也是连续映射.答案：设是的任意一个开集，由于是一个连续映射，从而是的一个开集，由是连续映射，故是的一开集，因此 是的开集，所以是连续映射.3、设是一个拓扑空间，.试说明：若是一个闭集，则的补集是一个开集.答案：对于,则，由于是一个闭集，从而有一个邻域使得,因此，即,所以对任何,是的一个邻域，这说明是一个开集.4、设是一个拓扑空间，.试说明：若的补集是一个开集，则是一个闭集.答案：设,则,由于是一个开

2、集，所以是的一个邻域，且满足,因此,从而,即有，这说明是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：6、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .答案：7、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：8、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T.答案：9、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .答案：10、在实数空间R中给定如下等价关系:或

3、者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .答案：11、在实数空间R中给定如下等价关系:或者或者设在这个等价关系下得到的商集,试写出的商拓扑T .答案：12、离散空间是否为空间?说出你的理由.答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是空间.至多含有可数多个点的离散空间是空间.13、试说明实数空间是可分空间.答案: 因为是可数集，且的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q都有非空的交，因此，故实数空间是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.答案: 设是一个度量空间, 对，则所有的以为中心，以正有理数为半径的球形邻域

4、构成处的一个可数邻域基，从而满足第一可数性公理.15、设是一个空间，试说明的每一个单点集是闭集.答案：对，由于是空间，从而对每一个，点有一个邻域使得，即，故，因此,这说明单点集是一个闭集.16、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，试说明是一个空间.答案：对于任意，都是闭集，从而和分别是和的开邻域，并且有,.从而是一个空间.17、设是一个空间，是任何一个不属于的元素.令和，试说明拓扑空间是一个空间. 答案：对任意,若,都不是，则.由于 是一个空间，从而各有一个开邻域,使得;若,中有一个是，不妨设,则有开邻域不包含.由以上的讨论知，对中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而

5、是空间.18、若是一个正则空间，试说明：对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得.答案: 对,设是的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含点的一个闭集.由于是一个正则空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.19、若是一个正规空间，试说明：对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得.答案：设是的任何一个闭集，若是空集，则结论显然成立.下设不是空集，则对的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含点的一个闭集. 由于是一个正规空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.20、试说明空间的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设是的任何一个子集，若是空集，则，从而的导集是闭集.下设不

6、是空集，则对,则有开邻域,使得，由于是空间，从而是开集，故 ,于是,所以是它每一点的邻域，故是开集，因此是闭集.21、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点.答案：如果的无穷子集的没有凝聚点，则对于任意，有开邻域，使得，于是的开覆盖没有有限子覆盖，从而不是紧致空间，矛盾.故紧致空间的无穷子集必有凝聚点.22、如果是紧致空间，则是紧致空间.答案：考虑投射，由于是一个连续的满射，从而由紧致知是一个紧致空间.23、如果是紧致空间，则是紧致空间.答案：考虑投射，由于是一个连续的满射，从而由紧致知是一个紧致空间.24、试说明紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集.答案：如果A 是的任意一个由中的开集构成的覆盖，

7、则是的一个开覆盖.设是的一个有限子族并且覆盖.则便是A 的一个有限子族并且覆盖，从而是紧致子集.六、证明题（每题8分）1、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔离子集 此外，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集. 8分2、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的开集使得,则或者,或者. 证明：因为是的开集，从而是子空间的开集.又因中，故 4分由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则 8分3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两

8、个无交的闭集使得,则或者,或者. 证明：因为是的闭集，从而是子空间的闭集.又因中，故 4分由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则 8分4、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个连通子集.证明：若是的一个不连通子集，则在中有非空的隔离子集 使得.因此 3分由于是连通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可证如果，则,均与假设矛盾.故也 是的一个连通子集. 8分5、设是拓扑空间的连通子集构成的一个子集族.如果,则是的一个连通子集.证明：若是的一个不连通子集.则有非空的隔离子集使得 4分任意选取,不失一般性，设,对于每一个，由于连通，从而及,矛盾，所以是连通的. 8分6

9、、设是拓扑空间的一个连通子集，是的一个既开又闭的集合.证明：如果,则.证明：若,则结论显然成立.下设,由于是的一个既开又闭的集合,从而是的子空间的一个既开又闭的子集 4分由于及连通，所以，故. 8分7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界.证明：若,由于,从而,故是的隔离子集 4分因为A是X的非空真子集,所以A和均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以. 8分8、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理. 证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X是可数补空间，因此对,是的一个开邻域，从而 ,使得. 于是, 4分由上面的讨论我们

10、知道： 因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理. 8分9、设X是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X不满足第一可数性公理. 证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X是有限补空间，因此对,是的一个开邻域，从而 ,使得.于是, 4分由上面的讨论我们知道： 因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理. 8分10、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射.满足第二可数性公理，证明：也满足第二可数性公理.证明：设满足第二可数性公理，是它的一个可数基.由于是一个开映射，是由中开集构成的一个可数族. 3分下面证明是

11、的一个基.设是的任意开集，则是中的一个开集.因此存在,使得.由于是一个满射，所以有,从而是中某些元素的并，故是的一个基.这说明也满足第二可数性公理. 8分11、设是两个拓扑空间，是一个满的连续开映射.满足第一可数性公理，证明：也满足第一可数性公理.证明：对,由于是一个满射，所以存在,使得,由于满足第一可数性公理，故在点处存在一个可数邻域基，设为,又由于是一个开映射，则是中点的一个可数邻域族. 3分下面证明是中点的一个邻域基.设是中点的任意邻域，则是中点的一个邻域.因此存在,使得.因此,从而是中点的一个邻域基.这说明也满足第一可数性公理. 8分12、是满足第二可数性公理空间X的一个不可数集。求证

12、：A至少有一个凝聚点.证明：若没有凝聚点，则对任,一定存在的一个邻域，使得：,由于满足第二可数性公理，设是它的可数基，故一定存在一个,使得：, 更有A=x, 4分若令C= xA, B, ,则有C B ，从而C必可数.于是 A =.这样A就是可数集，这与题设A为不可数集相矛盾，故A至少有一个凝聚点. 8分13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族.证明：设是满足第二可数性公理的空间X中由两两无交的开集构成的集族, 由于满足第二可数性公理，设是X的可数基 3分对的每一个元素A ,因为是的基,存在使得.因为中的元素两两无交,从而中不同元素包含中的元素也不相同.因为

13、可数, 故是可数族. 8分14、设是一个空间,证明：的每一个邻域中都含有中的无限多个点.证明：设，若有一个开邻域含有中的有限多个点，设,则是一个有限集，从而是一个闭集，故是一个开集且是的一个开邻域. 4分又易知,从而，矛盾.故含有中的无限多个点. 8分15、设是一个空间,证明：对的每一个邻域有是无限集.证明：设，若有一个开邻域含有中的有限多个点，设,则是一个有限集，从而是一个闭集，故是一个开集且是的一个开邻域. 4分又易知,从而，矛盾.故是无限集. 8分16、设是空间的一个收敛序列,证明：的极限点唯一.证明：若极限点不唯一，不妨设,其中，由于是空间，故和各自的开邻域，使得.因，故存在，使得当时

14、，；同理存在，使得当时，.4分令,则当时，从而,矛盾，故的极限点唯一. 8分17、设是一个拓扑空间，证明是hausdorff空间当且仅当积空间的对角线是一个闭集.证明：充分性：对任意，于是,由于是闭集，所以是开集，从而有的开邻域使得，于是分别是的开邻域,且，从而是Hausdorff空间. 4分必要性：若是hausdorff空间，对，则和分别有开邻域，使得，从而，由于是中的开集，所以是其每一点的邻域，故是开集，从而是闭集. 8分18、设是Hausdorff空间，是连续映射.证明是的闭子集.证明：对于，则，从而有互不相交的开邻域和，设，4分则是的开邻域，并且,故是开集，从而是闭集. 8分19、设X

15、是一个正则空间，A是的闭子集,，证明：和分别有开邻域和使得.证明：由于X是一个正则空间，从而x和A分别有开邻域W和V使得，故，因此. 4分又由正则空间的性质知：存在x的开邻域U使得,从而. 8分20、设X是一个正规空间，A ，B是X的两个无交的闭子集.证明：和B分别有开邻域和使得.证明：由于X是一个正规空间，从而A和B分别有开邻域W和V使得，故，因此.4分由正规空间的性质知：存在A的开邻域U使得,从而. 8分21、设X是一个拓扑空间，是闭区间，若对的任何两个无交的闭集都存在一个连续映射,使得当时，,当时，.证明：X是一个正规空间.证明：设是的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续映射,使得当

16、时，,当时，.设,4分易知分别是和的开邻域且.从而X是一个正规空间. 8分22、证明空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集.证明：设是空间中的一个连通子集，如果不只包含一个点，任意选取.对于空间中的两个无交的闭集，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射，使得和.4分由于是的一个连通子集，从而连通，由于，所以，由于是一个不可数集，所以也是一个不可数集. 8分23、X是空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个BB及xB,都有一个B使得xB.证明：X是空间，必为的正规空间，对任意xX,x为闭集.对于BB且xB,B就是x的一个开邻域.由于X为正规空间，必存在x的一个开邻

17、域U,使得.4分U也是x的开邻域，一定存在一个B ，使得 xU,且有，当然就有x.8分24、设为Hausdorff空间 ,是一个连续映射, 且证明:是的闭集证明：对，则，由于是Hausdorff空间，存在和的邻域，使得.又因为连续,故存在的邻域,使得,令,则是的邻域,且.4分事实上,若存在使得,即使得.于是,而,这样,矛盾.所以,即 是闭集. 8分25、设X是空间，A是X的至少含有两点的连通子集，则A一定是无 限集证明：若A为有限集，设a,bA且ab,由于X为空间，于是a与A-a就是X的闭集.且a（A-a）=及A-a,4分从而，A=a(A-a) ,故A不是X的连通子集.这与题设相矛盾，所以A必

18、为无限集. 8分26、如果拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集，则的每个收敛序列 的极限点唯一.证明：因为单点集总是紧致子集，从而拓扑空间的每一个单点集是闭集，故是空间，若的极限点不唯一，不妨设收敛到.易知是包含的开邻域,因此它包含序列的几乎所有项，也就是说只有有限项为 4分设,则是紧致子集，从而是闭集.故是的一个开邻域，它最多只能含的有限多项，从而不是的极限点，矛盾.从而的每个收敛序列的极限点唯一. 8分27、设是两个拓扑空间，是一个连续映射.如果是的一个紧致子集，证明是的一个紧致子集.证明：设C是的一个由中的开集构成的覆盖.对于任意，是中的一个开集，由于,从而有：所以是一个由中的开集构成的的覆

19、盖.由于是的一个紧致子集，所以A 有一个有限子族，设为覆盖. 4分因为，从而，即是C 的一个子族并且覆盖，因此是的一个紧致子集. 8分28、设是一个正则空间，是的一个紧致子集，.证明：如果,则也是的一个紧致子集.证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员使得. 4分由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域，使得,从而有,从而A有有限子覆盖，因此Y是X的一个紧致子集. 8分29、设是一个正则空间，是的一个紧致子集.证明：也是的一个紧致子集.证明：设A是任意一个由X中的开集构成的的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的

20、紧致子集，从而A有有限个成员使得. 4分由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域，使得,从而有,从而A有有限子覆盖，因此是X的一个紧致子集. 8分30、设是一个Hausdorff空间，A 是它的一个非空集族，由的紧致子集构成，证明：是的一个紧致子集.证明：对于任意，易知是一个闭集，从而是的一个闭集. 4分取，则有，由于是紧致的，从而是的一个紧致子集，易知也是的一个紧致子集. 8分31、设是连续的一一对应，其中是紧致空间，是一个Hausdorff空间，证明是一个同胚映射.证明：要证明是一个同胚映射， 只需证明连续，进而只需证明是闭映射.设是的闭集，由是紧致空间，从而是的一个紧致子集，故是的一个紧致子集，4分由于是一个Hausdorff空间，因此是的一个闭集，从而是闭映射. 8分32、是拓扑空间的子空间，是的紧致子集，证明是的紧致子集.证明：对于的由的开集构成的任一开覆盖A ，即A,这样，就有A =AY ,若令 , 就是由的开集构成的A的一个开覆盖，3分由于A是的紧致子集，必有有限的子覆盖,即 A=,从而A,于是就是A的由X的开集构成的开覆盖，且是A的一个子覆