信号与线性系统(第4章)

1、第4章 线性位移不变离散系统的时域分析一、LTI离散时间系统的描述-差分方程 1、一阶差分的定义及序列求和运算一阶前向差分定义为： kfkfkf 1 1 kfkf设有序列 ，则称 等为 的移位序列。 kf 2,1,1 kfkfkf kf一阶后向差分定义为： 1 kfkfkf一阶前、后向差分的关系：序列 求和运算为： kf kiif第4章 LTI离散系统的时域分析2、差分的线性性质：21,aa由差分的定义，若有序列 和常数 ，则： kfkf21、 kfakfa22113、二阶及更高阶差分定义 kfkf 2 212 kfkfkf类似地，可定义三阶、四阶等高阶差分。 11 22112211 kfak

2、fakfakfa kfakfa2211 11222111 kfkfakfkfa 1 kfkf 1 kfkf因此差分具有线性性质。第4章 LTI离散系统的时域分析1010( )(1)()( )(1)()nnmma y kay ka y knb f kbf kb f km1010( )(1)()( )(1)()nnmma y kay ka y knb f kbf kb f km4、线性常系数差分方程描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程。 差分方程的形式： 后向差分方程前向差分方程 说明:差分方程阶数：未知序列变量最高与最低值之差，即： k-(k-n)=n 为n阶差分方程例如：第4章 LTI离散

3、系统的时域分析 kfkykyky 2213差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。5例4.1-1 若描述某离散系统的差分方程为 kfkykyky 2213 21, 00 yy 2kf ku k ky 10312233 fyyy 10422334 fyyy 2202132 fyyy解：31222kykykykuk31222kykykykuk 类似地，依迭次代可得对于2 k将初始条件 代入得： 21y 00 y便于计算机求解，但无法写出闭合表达式。 第4章 LTI离散系统的时域分析已知初始条件 ，激励 ，求 。)()1()( )()1()(0101

4、mkfbkfbkfbnkyakyakymmn 差分方程的一般形式：式中 都是常数。 mjbniaji, 2 , 1, 2 , 1 、 kykykyph )(它的解：齐次解特解二二、差分方程的经典解、差分方程的经典解第4章 LTI离散系统的时域分析齐次解：齐次差分方程0 )()1()(01 nkyakyakyn的解，称为齐次解。齐次解由形式为 的序列组合而成。 为特征方程 的根，称为差分方程的特征根。不同特征根所对应的齐次解形式不同。见下页表4-1。kC 00111 aaannn kaCkyakykykayky 10)1()(例例公比为（-a）的等比级数。第4章 LTI离散系统的时域分析8特征根

5、特征根齐次解齐次解 单实根单实根 重实根重实根一对共轭复一对共轭复根根 或或 重共轭复重共轭复根根 jejba 21、 kyhkC kkkkCkCkCkC 012211 kDkCk sincos jDCAekAjk ,cos 00222111coscoscos kAkkAkkAkkk表4-1不同特征根所对应的齐次解特解：特解的形式与激励的函数形式有关，表4-2列出了几种不同激励所对应的特解。表4-2 不同激励所对应的特解（书76页）激励激励 特解特解 所有特征根均所有特征根均不为不为1 1 有有 重为重为1 1的特征根的特征根 当当 不等于特征不等于特征根根 当当 是特征单根是特征单根 当当

6、是是 重特征根重特征根。 当所有的特征根均不等于当所有的特征根均不等于 kfmkka k cos k sin kyp0111pkpkpkpmmmm 0111pkpkpkpkmmmm kpaakkapkap01 aa kkkkapkapakpakp0111 je jQPAekAkQkPj ,cossincos全解：n阶线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为： kyCkykykypnjkjphj 1)( 各系数由给定的n个初始条件 确定。 1,1,0 nyyy第4章 LTI离散系统的时域分析例4.1-2 若描述某系统的差分方程为 kfkykyky 241

7、4已知初始条件 激励 求方程的全解。 ; 11, 00 yy . 0,2 kkfk解：首先求齐次解。特征方程为：0442 221 kkhCkCky2221 再求特解：根据激励的形式由表4-2可知特解 0 , 2 kPkykp将 、 和 代入到原方程，得 kyp 1 kyp 2 kyp41 PkkkkPPP22424221 于是特解 0,241 kkykp 0,2412221 kCkCkykkk将初始条件代入，有 12412210410212CCyCy 14112CC 0,2412412 kkkykkk 自由响应强迫响应第4章 LTI离散系统的时域分析差分方程的全解例题见教材P78例4.1-3例

8、4.1-3 若描述某离散系统的差分方程为 kfkykyky 2156已知初始条件 激励为有始的周期序列 求其全解。 ; 11, 00 yy . 0,2cos10 kkkf 解：特征方程为01562 31,2121 齐次解 kkhCCky 312121第4章 LTI离散系统的时域分析 2sin2cos kQkPkyp由表4-2根据激励的形式可设特解： 2cos2sin1 kQkPkyp 2sin2cos2 kQkPkyp代入原方程整理得： 2cos102sin562cos56 kkQPQkPQP 0561056QPQPQP 11QP 42cos2 2sin2cos 2sin2cos kkkkQk

9、Pkyp差分方程的全解 0,42cos2312121 kkCCkykk 将初始条件代入，有 11312110102121CCyCCy 3221CC 0,42cos2313212 kkkykk 自由响应（瞬态响应）强迫响应（稳态响应） 当激励为有始周期序列或阶跃序列且系统特征根的模小于1时，系统的自由响应会随着k的增大而衰减到0，因此自由响应自由响应部分又称为瞬态响应，而强迫响应部分称为稳态响应。部分又称为瞬态响应，而强迫响应部分称为稳态响应。 xfy kykyk零输入响应：在零输入条件下，方程为齐次方程。若特征根均为单根，则零输入响应为： 1 nkxxiiiykCu k其中， 为待定系数xiC

10、4.2 4.2 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应LTI离散系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和。第4章 LTI离散系统的时域分析零状态响应：若系统的初始状态为零，这时方程仍是非齐次方程，若特征根均为单根，则其零状态响应为： 1 nkffiipiykCu kyk其中， 为待定系数fiC第4章 LTI离散系统的时域分析系统的全响应可分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是： 111nnnkkkiipxiifiipiiiy kCykCCyk 自由响应零状态响应零输入响应强迫响应一般而言，如果激励是在 时接入的，通常以 描述系统的初始状态。 0 k nyy

11、,2,1-y120fffyyyn11 ,22 ,xxxyyyyynyn第4章 LTI离散系统的时域分析例4.2-1 若描述某离散系统的差分方程为 kfkykyky 2213已知初始条件 激励 求系统的零输入响应和零状态响应。 ;212, 01 yy . 0,2 kkfk解（1）零输入响应 满足方程 xyk 31220 xxxykykyk由初始状态知：1110,222xxyyyy由方程利用迭代可得 031221130213xxxxxxyyyyyy 第4章 LTI离散系统的时域分析2320121,2 1212,0kkxxxykCCk 0113xxyy 将 代入得 121201123xxxxxxyC

12、CyCC 1212xxCC 122,0kkxykk 第4章 LTI离散系统的时域分析（2）零状态响应 满足方程 fyk 31222120kfffffykykykyy先求 和 0fy 1fy由方程利用迭代可得： 03122011302111ffffffyyyfyyyf 1212121 1223kkfffpkkkffykCCykCC第4章 LTI离散系统的时域分析 0111ffyy 将 代入得 1212101321213ffffffyCCyCC 12131ffCC 11122, 033kkkfykk 第4章 LTI离散系统的时域分析4.3卷积和与零状态响应第4章 LTI离散系统的时域分析4.3.1

13、单位脉冲和单位响应一、单位序列和单位阶跃序列1.单位序列定义为：单位序列也称作单位样值序列、单位脉冲序列或单位冲激序列。单位序列的移位： 1, 00, 0kkk0122 1 k1 k 1, 0, kikiki0122 1 1 ik i fkkifiki k 的取样性质2.单位阶跃序列定义为： 1, 00, 0ku kk0122 1 k1 u k1, 0, kiu kiki0i1ku ki单位阶跃序列的移位：第4章 LTI离散系统的时域分析3.阶跃序列与单位序列之间的关系 1ku ku ku k 0kiju kikj0122 1 k1 u k0122 1 k1 k dtu tdt tu td 类

14、似于第4章 LTI离散系统的时域分析 1、单位序列响应 当LTI离散系统的激励为单位序列 时，系统的零状态响应称为单位序列响应，用 表示。 k h k 二、单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应和阶跃响应 由于单位序列 仅在 处等于1，而在 时为零，因而在 时，系统的单位序列响应具有齐次解的形式，而在 处的值可按零状态的条件由差分方程确定。 k 0 k0 k0 k0 k第4章 LTI离散系统的时域分析例4.3-1 求图示离散系统的单位序列响应。 kfD D ky 1 ky 2 ky12 解（1）写差分方程，求初值。 kfkykyky 221 kh满足 021221hhkkhkhkh 110 h

15、h第4章 LTI离散系统的时域分析2,121 kkCCkh2121 代入初值得 121102121CChCCh 323121CC 121233kkh ku k2、求 kh 1100221hhkhkhkh当 时：0 k第4章 LTI离散系统的时域分析例4.3-2 求图示离散系统的单位序列响应。D D kf ky kx 1 kx 2 kx1121 解（1）写差分方程 2221kxkxkykfkxkxkx 2221 kfkfkykyky第4章 LTI离散系统的时域分析 2221 kfkfkykyky（2）求单位序列响应h(k)设 单独作用产生的单位序列响应为 k kh1则： 112h kh kh k

16、 kh1满足 01222111111hhkkhkhkh 由上题1121233kkhkuk 22112212233kkh ku k 221212121223333kkkkh ku ku k第4章 LTI离散系统的时域分析类似例题见教材P82例4.3-2、4.3-32、阶跃响应 当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列 时，系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。 u k kg 若已知系统的差分方程，用经典法可以求得系统的单位阶跃响应。另外，若已知系统的 ，根据LTI系统的线性性质和时不变性，系统的阶跃响应为： 0jkijkhihkg第4章 LTI离散系统的时域分析 h k 0jk

17、ijkhihkg kgkgkgkh 1 0kiju kikj 单位序列响应与阶跃响应的关系 dttdgthdhtgt 类似于连续系统冲激响应与阶跃响应的关系 1ku ku k3、单位序列响应与阶跃响应的关系第4章 LTI离散系统的时域分析例4.3-3 求例4.3-1中图4.3-3所示系统的单位阶跃响应。 kfD D ky 1 ky 2 ky12 图4.3-3第4章 LTI离散系统的时域分析解：（1）方法一：经典法所示系统的差分方程为： kfkykyky 221阶跃响应满足方程： 122g kg kg ku k 021 gg 由方程利用迭代得： 112210 ggg 211201 ggg 第4章

18、 LTI离散系统的时域分析 122g kg kg ku k 21, 10 gg 阶跃响应满足方程：2, 121 0 ,212121 kCCkgkk 2212112102121CCgCCg 346121CC第4章 LTI离散系统的时域分析 14112632kkg ku k（2） 方法二：利用单位序列响应 121233kkh ku k 121233kiiig ku i 00121233kkiiii111112 1 231131 2kk 第4章 LTI离散系统的时域分析 111112 1 231131 2kkg k 112111 263kk 14112632kku k下表列出几种常用序列的求和公式。

19、第4章 LTI离散系统的时域分析表4-1 几种数列的求和公式序号序号 公公 式式 说说 明明12 可为正或可为正或负整数，但负整数，但34 可为正或负可为正或负 整数整数 1 11 1110akaaaakkjj0 k 1 11 11212121akkaaaaakkkkjj21,kk12kk 1 110 aaajj1 111 aaaakkjj1k第4章 LTI离散系统的时域分析序号序号 公公 式式 说说 明明56 可为正或负可为正或负整数，但整数，但7 210 kkjkj0 k21,kk12kk 0 k 21122121 kkkkjkkj 612102 kkkjkj第4章 LTI离散系统的时域分

20、析一、卷积和 kh 对于一个LTI离散系统,假设我们已经知道它的单位序列响应为 kf那么对任意序列 作用于该系统的零状态响应能否借用单位序列响应 来求呢？ kh 0f kfk 1f 2f 3f 1 f 2 f01231 2 设任意序列 ，只要设法用单位序列及其移位序列的线性组合来表示，那么根据线性和时不变性，就可借用单位序列响应来表示此时的零状态响应。 kf 4.3.2 卷积和与零状态响应 第4章 LTI离散系统的时域分析任意离散序列 可以表示为： kf 2211 01122 if kfkfkfkfkfkf iki 0f kfk 1f 2f 3f 1 f 2 f01231 2 第4章 LTI离

21、散系统的时域分析 2211 01122 if kfkfkfkfkfkf iki fiykf i h ki 0f kfk 1f 2f 3f 1 f 2 f01231 2 kih ki kh k第4章 LTI离散系统的时域分析称为序列 和 的卷积和。( )f k( )h k上式表明，LTI离散系统对于任意激励 的零状态响应是激励与单位序列响应 的卷积和。( )f k( )h k ( )* ( )fiykf i h kif kh k一般而言，若有两个序列 和 ，和式 称为 和 的卷积和，简称卷积。表示为1( )f k2( )fk 12if kfi fki1( )f k2( )fk 1212if kf

22、kfkfi fki 第4章 LTI离散系统的时域分析 例4.3-4 12121, 2 kfku kfku kfkfk求解： 1212ifkfkfi fki 12iiu i u ki012iki 1112121212 11kk显然，上式中0k 12fkfk 1122 1 ukk第4章 LTI离散系统的时域分析作图法求卷积和的步骤： 1212if kfkfkfi fki（1）将序列 的自变量用 代替，然后将序列 以纵坐标为轴反转，成为 。 12,fkfki 2fi2fi2fki（2）将序列 平移 个单位，成为 。2fik当 时，右移 个单位。当 时，左移 个单位。0k 0k kk总之，原点处的序列

23、值移到 点。ik二、卷积和的图示（3）讨论k的区间，并求乘积之和。第4章 LTI离散系统的时域分析例4.3-5 有两序列 11,0,1,20, kkfk其余 21, 0,1,2,30, kfk其余试求二序列的卷积和 12f kfkfk第4章 LTI离散系统的时域分析解：画出序列 ikfif 21 、 1if101 32i123 2if101 32i1 2if 101 3 2 i14 2ikf 0ki1 其余其余 , 02 , 1 , 0, 11kkkf 其余其余 , 03 , 2 , 1 , 0 , 12kkf第4章 LTI离散系统的时域分析讨论k的区间，并求 1if101 32i123 2i

24、kf 0ki1当 时，0 k0)( kf iikfifkf21第4章 LTI离散系统的时域分析 1if101 32i123 2ikf 0ik1当 时，0 k 1000)0(212001 ffififfi 2ikf 0ik1当 时，1 k 301101)1(21212101 ffffififfi第4章 LTI离散系统的时域分析 1if101 32i123 2ikf 0ik1当 时，2 k 2120121212(2)20211206iffi fiffffff第4章 LTI离散系统的时域分析依此可得： 12121212(3)031221306fffffffff 1212121212(4)041322

25、31405fffffffffff 12(5)2(3)3fff 06f k k kf101 32k133456665*一个M点序列与一个N点序列卷积，其卷积的长度为M+N-1。 1kf101 32k123 2kf101 32k1第4章 LTI离散系统的时域分析 如果将各f1(k)(k=0,1,2,)的值排成一行，将各f2(k)(k=0,1,2,)的值排成一列，如图4.3-4所示在表中各行与列的交叉点处，记入相应的乘积。 可见，求和符号内 的序号i与 的序号(k-i)之和恰好等于k。1( )f i2()fki如果做卷积运算的两个序列都是因果序列 )()()()( 00)()(0212121 kii

26、kfifkfkfkfkkfkf，则则，即:三、列表法第4章 LTI离散系统的时域分析 可以发现，沿斜线（虚线）上各项f1(i) f2(j)的序号之和也是常数，与两因果序列卷积和公式对照可知，沿斜线上各数值之和就是卷积和。如：图4.3-4f1 (k )f2(k )f1 (0 )f1 (1 )f1 (2 )f1 (3 )f2 (0)f2 (1)f2 (2)f2 (3)f1 (0) f2 (0)f1 (0) f2 (1)f1 (0) f2 (2)f1 (0) f2 (3)f1 (1) f2 (0)f1 (1) f2 (1)f1 (1) f2 (2)f1 (1) f2 (3)f1 (2) f2 (0)

27、f1 (2) f2 (1)f1 (2) f2 (2)f1 (2) f2 (3)f1 (3) f2 (0)f1 (3) f2 (1)f1 (3) f2 (2)f1 (3) f2 (3) 03122130321212121fffffffff 将例4.3-5的f1(k)、 f2(k)的各值排列如图4.3-5所示1f1 (0 )f1 (1 )f1 (3 )f1 (2 )f1 (k )f2 (k )f2 (0 )f2 (1 )f2 (2 )f2 (3 )f2 (4 )1111011113222223333000000000图4.3-50，k5f1(k)* f2(k)=第4章 LTI离散系统的时域分析四、

28、卷积和的性质12211231213123123 ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )f kfkfkf kf kfkf kf kfkf kf kf kfkf kf kfkf k交换律：分配律：结合律：1、代数运算第4章 LTI离散系统的时域分析 *两子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应 等于两子系统的单位序列响应之和。由卷积的分配律得：)(kf)(ky+)(1kh)(2kh(a) 并联 1212 fy kf kh kf kh kf kh kh k 12 =h kh kh k第4章 LTI离散系统的时域分析由卷积的结合律得： 1212 fy kf kh kh kf kh kh k)(1kh)(2kh)(1kh)(2kh(b)级联 kf kf ky ky 12 =h kh kh k*两子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应 等于两子系统单位序列响应的卷积和。第4章 LTI离散系统的时域分析2、