第1章 逻辑代数与EDA技术基础知识

1、信息工程学院专业基础部信息工程学院专业基础部数字电子技术基础数字电子技术基础模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号模拟信号模拟信号-时间和数值均连续变化时间和数值均连续变化的信号，如正弦的信号，如正弦波、三角波、指数函数等波、三角波、指数函数等 OtOtOt图图1.1 .1 几种模拟信号波形几种模拟信号波形 数字信号数字信号-在时间上和数值上均是离散的在时间上和数值上均是离散的信信号，如脉冲信号等。号，如脉冲信号等。 逻辑逻辑“0 0”和逻辑和逻辑“1 1”表示彼此相关又互相对立表示彼此相关又互相对立的两种状态。例如，的两种状态。例如，“是是”与与“非非”、“真真”与与“假假”、“开开”与与“关

2、关”、“低低”与与“高高”等等等等 。因而常称为因而常称为数字逻辑数字逻辑。在数字电路中，常用数字在数字电路中，常用数字“0 0”和和“1 1”来表示。这里的来表示。这里的“0 0”和和“1 1”，不是十进制数中的数字，而是，不是十进制数中的数字，而是逻辑逻辑0和和逻辑逻辑1;数字电路又称二值数字逻辑，它们可以用电子器件数字电路又称二值数字逻辑，它们可以用电子器件的开关特性来实现。产生离散信号电压或数字电压。的开关特性来实现。产生离散信号电压或数字电压。电压电压(V)二值逻辑二值逻辑电电 平平+51H(高电平高电平)00L(低电平低电平)离散信号电压或数字电压通常用逻辑电平来表示。离散信号电压

3、或数字电压通常用逻辑电平来表示。例如，逻辑电平与电压值的关系可用下表来描述：例如，逻辑电平与电压值的关系可用下表来描述：一、逻辑代数（布尔代数、开关代数）一、逻辑代数（布尔代数、开关代数）逻辑：逻辑： 事物因果关系的规律事物因果关系的规律逻辑函数逻辑函数: : 逻辑自变量和逻辑结果的关系逻辑自变量和逻辑结果的关系),(CBAfZ 逻辑变量取值逻辑变量取值：0、1 分别代表分别代表两种对立的状态两种对立的状态一种状态一种状态另一状态另一状态高电平高电平低电平低电平真真假假是是非非有有无无1001二、二进制数表示法二、二进制数表示法1. 十进制数十进制数（Decimal）- 逢十进一逢十进一数码数

4、码：0 9位权：位权：01234105104103102101 2. 二进制数（二进制数（Binary） - 逢二进一逢二进一数码：数码：0 ，1位权：位权：2 ) 1011 (012321212021 10) 12345 (i10i221012105107103104101 10) 75 143. (2 ) 11 101. (210122121212021 3. 二进制数的缩写形式二进制数的缩写形式 八进制数和十六进制数八进制数和十六进制数 数码数码：0 7位权：位权：8) 41 .37 (210181848783 (2) 十六进制数十六进制数 (Hexadecimal) -逢十六进一逢十六

5、进一数码：数码：0 9 , A(10) , B(11) , C(12) , D(13) , E(14) , F(15)位权：位权：i 8i 1616) 7F 2A. (210116151671610162 任意任意(N)进制数展开式的普遍形式：进制数展开式的普遍形式：iiNkD ikiN 第第 i 位的系数位的系数 第第 i 位的权位的权(1) 八进制数八进制数（Octal）- 逢八进一逢八进一4. 几种常用进制数之间的转换几种常用进制数之间的转换(1) 二二-十转换：十转换： 将二进制数按位权展开后相加将二进制数按位权展开后相加2) 11 .101 (210122121212021 10)7

6、5 . 5(25 . 05 . 014 (2) 十十- -二转换二转换：降幂比较法降幂比较法 要求熟记要求熟记 20 210 的数值的数值 。202122232425262728292101248163264128 256 512 1024210) () 571 ( 10011101157) 12829) 16) 85272413快速转换法：拆分法快速转换法：拆分法( 26 )10= 16 + 8 + 2 = 24 +23 + 21= ( 1 1 0 1 0 )2) 41116 8 4 2 1(2) 十十- -二转换二转换： 降幂比较法降幂比较法232220) 01282157256278 1

7、622932245 821316234 4258223 1212201 (3) 二二-八转换八转换:82) () 111 101 10 ( 25757(4) 八八-二转换二转换:每位每位 8 进制数转换为相应进制数转换为相应 3 位二进制数位二进制数28) () 47 .31 ( 011 001 . 100 111每每 3 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 8 进制数进制数28) () 64 375. ( 011 111 101. 110 100082) () 1 1 0 0 0 1. 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 ( 002341. 062（5）二）二-十六转换：十六转换：每每

8、 4 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 16 进制数进制数16210) () () 26 ( 1010 11AA1（6）十六）十六-二转换：二转换：每位每位 16 进制数换为相应的进制数换为相应的 4 位二进制数位二进制数216) () 6 C . AF 8 ( 0 0 0 1216) () F 2 . 8 D E ( 0 1 1 11 1 1 1. 0 1 0 10 0 1 10 1 1 0 1 0 1 1. 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 ) () 1 0 0 . 0 1 1 0 1 1 0 1 1 (162 2 . 6 B 10000000编码：编码：用二进制数表示文

9、字、符号等信息的过程。用二进制数表示文字、符号等信息的过程。二进制代码：二进制代码：编码后的二进制数。编码后的二进制数。用二进制代码表示十个数字符号用二进制代码表示十个数字符号 0 9，又称为，又称为 BCD 码（码（Binary Coded Decimal ）。）。几种常见的几种常见的BCD代码：代码：8421码码余余 3 码码2421码码5211码码余余 3 循环码循环码其它代码：其它代码：ISO 码码，ASCII（美国信息交换标准代码美国信息交换标准代码）二二- -十进制代码：十进制代码：BCD码码十进制数十进制数码码8421码码2421 码码5421 码码余余3码码余余3循环循环码码0

10、000000000000001100101000100010001010001102001000100010010101113001100110011011001014010001000100011101005010110111000100011006011011001001100111017011111011010101011118100011101011101111109100111111100110010100000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111几种常用几种常用的的BCD代码代码（Electroni

11、cs Design Automation ） 一种以计算机作为工作平台，以一种以计算机作为工作平台，以 EDA 软件软件工具为开发环境，以工具为开发环境，以 VHDL 为设计语言，以可为设计语言，以可编程逻辑器件为实验载体，以编程逻辑器件为实验载体，以 ASIC、SoC芯片芯片为目标器件，以数字系统设计为应用方向的电子为目标器件，以数字系统设计为应用方向的电子产品自动化设计技术。产品自动化设计技术。 VHDL 是一种硬件描述语言，用软件编程语是一种硬件描述语言，用软件编程语言形式描述硬件电路功能，比原理图方式更方便、言形式描述硬件电路功能，比原理图方式更方便、更高效地反映电路的功能。更高效地反

12、映电路的功能。1. 1. 1 基本和常用逻辑运算基本和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算一、三种基本逻辑运算1. 基本逻辑关系举例基本逻辑关系举例功能表功能表1. 1 逻辑代数基本概念、公式和定理逻辑代数基本概念、公式和定理灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合与逻辑关系与逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源ABY（1）电路图：）电路图：或逻辑关系或逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源功能表功能表灭灭亮亮亮亮亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABY非逻辑关系非逻辑关系开关开关A灯灯Y电源电源R亮亮灭灭断断合合AY功能表功能表（2）真值表：）真值表：经过设定

13、变量和状态赋值后，得到的经过设定变量和状态赋值后，得到的反映输入变量与输出变量之间因果关反映输入变量与输出变量之间因果关系的数学表达形式。系的数学表达形式。功能表功能表灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABY与逻辑关系与逻辑关系真值表真值表（Truth table）000100011011ABY功能表功能表灭灭亮亮亮亮亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABY亮亮灭灭断断合合AY功能表功能表真值表真值表011100011011ABY或逻辑关系或逻辑关系非逻辑关系非逻辑关系真值表真值表1001AY 与逻辑：与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，事当决定一事件的所有

14、条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。件才发生的逻辑关系。（3）三种基本逻辑关系：）三种基本逻辑关系： 或逻辑：或逻辑：决定一事件结果的诸条件中，只要有一决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。逻辑关系。 非逻辑：非逻辑：只要条件具备，事件便不会发生；条件只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。不具备，事件一定发生的逻辑关系。真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式与门与门（AND gate)逻辑符号逻辑符号（1）与运算：）与运算：ABY&ABBAY 000100011011ABY2. 基本逻辑运算

15、基本逻辑运算（2）或运算：）或运算：BAY 或门或门（OR gate) )真真值值表表逻辑函数式逻辑函数式逻辑符号逻辑符号011100011011ABYABY1（3）非运算：）非运算：真真值值表表1001AY逻辑函数式逻辑函数式A Y 逻辑符号逻辑符号非门非门（NOT gate)AY1二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算1. 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是不是 1 就是就是 0 。逻辑函数：逻辑函数

16、：如果输入逻辑变量如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值的取值确定之后，输出逻辑变量确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被的值也被唯一确定，则称唯一确定，则称 Y 是是 A、B、C 的的逻辑函数。并记作逻辑函数。并记作 CBAFY, 原变量和反变量：原变量和反变量：字母上面无反号的称为字母上面无反号的称为原变量原变量，有反号的叫做有反号的叫做反变量反变量。逻辑变量：逻辑变量：(1) 与非运算与非运算 (NAND)(2) 或非运算或非运算 (NOR)(3) 与或非运算与或非运算 (AND OR INVERT)(真值表略真值表略)1110ABY 10 00 11 01 1CDABY 3AB&1

17、YBAY 210002. 几种常用复合逻辑运算几种常用复合逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2 的真值表的真值表AB2Y1AB&CD3Y1(4) 异或运算异或运算(ExclusiveOR)(5) 同或运算同或运算(ExclusiveNOR)( (异或非异或非) )AB=14YBABABAY 401100 00 11 01 1 AB=15YBAY 5= ABABY4ABBA 10010 00 11 01 1ABY5三、基本和常用逻辑运算的逻辑符号三、基本和常用逻辑运算的逻辑符号曾用符号曾用符号美国符号美国符号ABYABYABYAYAY国标符号国标符号AB&BAY A1AY ABYABB

18、AY 1国标符号国标符号曾用符号曾用符号美国符号美国符号AB&BAY ABYABYABYAB=1BAY ABY ABYABYABBAY 1或：或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 与：与：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：非： 1 0 0 1 二、变量和常量的关系二、变量和常量的关系( (变量：变量：A、B、C) )或：或：A + 0 = AA + 1 = 1与与: :A 0 = 0A 1 = A 非：非： 0 AA AA1 1. 1. 2 公式和定理公式和定理一、一、 常量之间的关系常量之间的关系( (常量：常量：0 和和 1 ) )三、与普通代数

19、相似的定理三、与普通代数相似的定理交换律交换律ABBA ABBA 结合律结合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA 例例 1. 1. 1 证明公式证明公式)(CABABCA 解解 方法一：公式法方法一：公式法CBBACAAACABA )(右右式式BCABACA BCBCA )1(左左式式 BCA 例例 1. 1. 1 证明公式证明公式)(CABABCA 方法二：真值表法方法二：真值表法 ( (将变量的各种取值代入等式将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中两边，进行计算并填入表中) ) A B CCB BCA BA CA

20、)(CABA 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等 解解 四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理BABA BABA 同一律同一律A + A = AA A = A还原律还原律AA 例例 1. 1. 2 证明：证明：德德 摩根定理摩根定理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA BA 00 0 1 1110ABBA 11 0 0 10101110BA BA BA 011110001000相等相等相等相等德德

21、摩根定理摩根定理 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量五、关于等式的两个重要规则五、关于等式的两个重要规则1. 代入规则：代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。辑函数，则等式仍然成立。例如，已知例如，已知BABA ( (用函数用函数 A + C 代替代替 A) )则则BCABCABCA )(2. 反演规则：反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：运算顺序：括号括号

22、乘乘 加加注意注意:Y例如：例如：已知已知 )( 1CDCBAY ) ( ) (1DCCBAY CDCBAY 2 CDCBAY )(2反演规则的应用：反演规则的应用：求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数则则 将将 Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量已知已知则则运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或不属于单个变量上不属于单个变量上的反号应保留不变的反号应保留不变Y六、六、若干常用公式若干常用公式BAAB (1)ABA (2)BAA (3)CAABBCCAAB (

23、4)ABB ABABA (5)AAA ) ()(BBA )1(BA )(BAAA A A BA 推广推广 BCAACAAB)( 左左BCAABCCAAB CAAB 公式公式 (4) 证明：证明：CAABBCDCAAB 推论推论ABB ABABA BABA 左左)()(BA BA BBABB AAA ABB A 公式公式 (5) 证明：证明：即即BA = AB同理可证同理可证CAABBCCAAB AABA BA AB一、标准与或表达式一、标准与或表达式) ( A ,B ,CFY CBABCACABABC CAAB 1. 2. 1 逻辑函数的标准与或式和最简式逻辑函数的标准与或式和最简式)()(B

24、BCACCAB 标准与标准与或式或式标准与或式就是最小项之和的形式标准与或式就是最小项之和的形式最小项最小项最简式最简式 例例 1. 2. 1 1. 最小项的概念：最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。反变量的形式出现一次。) ( A ,B FY ( ( 2 变量共有变量共有 4 个最小项个最小项) )BABABAAB) (A ,B ,C ,DFY ( ( 4 变量共有变量共有 16 个最小项个最小项) )( ( n 变量共有变量共有 2n 个最小项个最小项) )DCBADCBADABCABCDDCBA) (

25、A ,B ,CFY ( ( 3 变量共有变量共有 8 个最小项个最小项) )CBACBACBABCACBACBACABABC1 CBA1 CBA对应规律：对应规律：1 原变量原变量 0 反变量反变量2. 最小项的性质：最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBACBABCACBACBACABABC(1) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；A B

26、 C 0 0 1A B C 1 0 1(2) 任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0 ；(3) 全体最小项之和为全体最小项之和为 1 。变量变量A、B、C全部最小项的真值表全部最小项的真值表3. 最小项是组成逻辑函数的基本单元最小项是组成逻辑函数的基本单元CABCABA ,B ,CFY ) ( ABCCBAABCBCAABCCAB 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。都可以表示成为最小项之和的形式。)()()(BBCAAABCCCABY 例例 1. 2. 2 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标

27、准与或式： 解解 相同最小相同最小项合并项合并ABCCBABCACAB 标准与或表达式是唯一的，一个函数只有一个标准与或表达式是唯一的，一个函数只有一个最小项之和的表达式。最小项之和的表达式。函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出：函数的标准与或式也可以由其真值表直接写出：例如，已知例如，已知 Y = A + BC 的真值表的真值表A B CBCA 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100011111ABCCBACBABCA 函数的标准与或式函数的标准与或式)(CABAY 4. 最小项的编号：最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与

28、之把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。表示。对应规律：对应规律：原变量原变量 1 反变量反变量 0CBACBACBABCACBACBACABABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m7 例例 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式：CBADABY )( )( )(CBDABA )( )(CBD BA DCBCABA )( )( )(AADCBBBCACCBA DCBADCBACBACBABCA

29、DCBADCBADCBADCBA DCBADCBADBCABCDA m7m6m5m4m1m0m88014567mmmmmmm ) 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1 , 0 (mm0与前面与前面m0相重相重二、二、逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式BCDBCCAABY 1. 最简与或式：最简与或式： 乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。乘的变量个数也最少的与或表达式。例如：例如：BCCAAB CAAB 2. 最简与非最简与非 与非式：与非式：非号最少，每个非号下面相乘的变量非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非

30、个数也最少的与非 - 与非式。与非式。 例例 1. 2. 3 写出下列函数的最简与非写出下列函数的最简与非 - 与非式：与非式：CAABY 解解 CAABY CAAB )()(CA BA 3. 最简或与式：最简或与式： 括号个数最少，每个括号中相加的变括号个数最少，每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式。量的个数也最少的或与式。 例例 1. 2. 4 写出下列函数的最简与或式：写出下列函数的最简与或式：CAABY 解解 CABAY CABAY CABA 4. 最简或非最简或非 或非式：或非式：非号个数最少，非号下面相加的变量非号个数最少，非号下面相加的变量个数也最少的或非个数也最少的或非 或

31、非式。或非式。 例例 1. 2. 5 写出下列函数的最简或非写出下列函数的最简或非 或非式：或非式：CAABY 解解 )()(CA BAY CA BA 5. 最简与或非式：最简与或非式： 非号下面相加的乘积项的个数最少，非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式。少的与或非式。 例例 1. 2. 6 写出下列函数的最简与或非式：写出下列函数的最简与或非式：CAABY 解解 CA BAY CA BA 结论：结论：只要得到函数的最简与或式，再用摩根定只要得到函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可以获得其它几种类理进行适当变换，

32、就可以获得其它几种类型的最简式。而最简与或式一般需要经过型的最简式。而最简与或式一般需要经过化简才能求得。化简才能求得。已知已知1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法一、一、并项法并项法: :ABAAB BACABABCY BAAB B CBACABCBAABCY )()(CBCBA C BBCA A )(CBACBA 例例 1. 2. 7 例例 （与或式（与或式最简与或式）最简与或式）公式公式定理定理二、二、吸收法：吸收法：AABA EBDAABY EBDABA BA BCDC BA BCAAY )( )()()(DC BA BCABCA BCA 例例 1. 2. 8 例例

33、 例例 CDBCDAABY CDBAAB )( CDABAB AB BA 三、三、消去法：消去法：BABAA BDACABY BDACBA DCBA 例例 1. 2. 9 CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB 例例 ABCCBABABAY )()(BCBA CBB A )()(CBA CB A ACCABABA CBABA 例例 四、四、配项消项法：配项消项法：CAABBCCAAB BA BACACB 或或CBCACACB CBCABA BCCABACBACBAY CBACBA BCCABA BA CBCACACBY 或或BCCABACBACBA 例例 1. 2. 10 例例 1

34、. 2. 11 冗余项冗余项冗余项冗余项综合练习：综合练习：EACDECBEDCBBEAACEY DCBACDCBBAACE ) ( DCBEADEBECE DCBEADCBE )( DCBEADCBE DCBEAE DCBE DCBADBCE ) ( 1. 2. 3 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法一、逻辑变量的卡诺图一、逻辑变量的卡诺图(Karnaugh maps)卡诺图：卡诺图：1. 二变量二变量 的卡诺图的卡诺图最小项方格图最小项方格图( (按循环码排列按循环码排列) )( (四个最小项四个最小项) )ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3mAB01012. 变

35、量卡诺图的画法变量卡诺图的画法三变量三变量 的卡诺图：的卡诺图：八个最小项八个最小项ABC010001 10 1111 10卡诺图的实质：卡诺图的实质：逻辑相邻逻辑相邻几何相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着紧挨着行或列的两头行或列的两头对折起来位置重合对折起来位置重合逻辑相邻：逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同逻辑相邻的两个最小项可以逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。合并成一项，并消去一个因子。如：如：CABCACBA m0m1m2m3m4m5m6m7五变量五变量 的卡诺图：的卡诺图：四变量四变量 的卡诺图：的卡

36、诺图：十六个最小项十六个最小项ABCD0001111000 01 11 10 当变量个数超过当变量个数超过六个以上时，无法使六个以上时，无法使用图形法进行化简。用图形法进行化简。ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此轴为对称轴（对折后位置重合）以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几几何何相相邻邻几何相

37、邻几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项三十二个最小项3. 变量卡诺图的特点：变量卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻用几何相邻表示逻辑相邻(1) 几何相邻：几何相邻：相接相接 紧挨着紧挨着相对相对 行或列的两头行或列的两头相重相重 对折起来位置重合对折起来位置重合(2) 逻辑相邻：逻辑相邻：CABCBA CBCBAA )(例如例如两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同化简方法：化简方法：卡诺图的缺点：卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过函数的变量个数不宜超过 6 个。个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。项，并消去一个因子。4.

38、 变量卡诺图中最小项合并的规律：变量卡诺图中最小项合并的规律：(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC010001 11 100432CBCBACBA BACBACBA ABCD0001111000 01 11 101946DCBDCBADCBA DBADCBADCBA (2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD0001111000 01 11 1004128DC 321011CB ABCD0001111000 01 11 105713 15BD02810DB 81240mmmm DCBADCABDCBADCB

39、A DC 111023mmmm DCBADCBADCBADCBA CB 151375mmmm DCBADCBADCBADCBA BD 10820mmmm DCBADCBADCBADCBA DB (3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD0001111000 01 11 1004128C 321011B ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810D151394612142n 个相邻最小项合并可以消去个相邻最小项合并可以消去 n 个因子。个因子。总结：总结：二、逻辑函数的卡诺图二、逻辑函数的卡诺图 根据函数的变量个数画出相应的

40、卡诺图。根据函数的变量个数画出相应的卡诺图。 在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填在函数的每一个乘积项所包含的最小项处都填 1 ，其余位置填其余位置填 0 或不填。或不填。1. 逻辑函数卡诺图的画法逻辑函数卡诺图的画法2. 逻辑函数卡诺图的特点逻辑函数卡诺图的特点用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的相邻性。各个最小项在逻辑上的相邻性。优点：优点：缺点：缺点：当函数变量多于六个时，画图十分麻烦，其优当函数变量多于六个时，画图十分麻烦，其优点不复存在，无实用价值。点不复存在，无实用价值。 例例 1. 2. 12 画出函数的画出函数

41、的卡诺图卡诺图DCABBAY 1 3. 逻辑函数卡诺图画法举例逻辑函数卡诺图画法举例 解解 根据变量个数画出函数的根据变量个数画出函数的卡诺图卡诺图ABCD0001111000 01 11 10 根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，并在相应的位置上填并在相应的位置上填 1 。BA m0、m1、m2、m31111ABm12、m13、m14、m151111DC m0、m4、m8、m1211 例例 1. 2. 13 画出函数的画出函数的卡诺图卡诺图DBACBAY 2 解解 根据变量个数画出函数的根据变量个数画出函数的卡诺图卡诺图ABCD0001111000 0

42、1 11 10 根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，根据函数的每个乘积项确定函数的最小项，并在相应的位置上填并在相应的位置上填 1 。CBAm4、m51111DBAm9、m11三、三、 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数化简步骤化简步骤: : 画出函数的卡诺图画出函数的卡诺图 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈 写出最简与或表达式写出最简与或表达式 例例 1. 2. 14 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111CB DBACBACBADB ACBY 解解 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 101

43、1111111画包围圈的原则：画包围圈的原则： 先圈孤立项，再圈仅有一先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。种合并方式的最小项。 圈越大越好，但圈的个数圈越大越好，但圈的个数越少越好。越少越好。 最小项可重复被圈，但每最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。个圈中至少有一个新的最小项。 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。比较、检查才能写出最简与或式。不正确不正确的画圈的画圈 例例 mD,C,B,AF) 15 , 13 , 21 , 8 , 6 , 5 , 4 , 1 () ( 解解 画函数的卡诺图画函数的

44、卡诺图ABCD0001111000 01 11 1011111111 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈 写出最简与或表达式写出最简与或表达式多余多余的圈的圈DBAABDDCADCAY 注意：注意：先圈孤立项先圈孤立项利用图形法化简函数利用图形法化简函数利用图形法化简函数利用图形法化简函数 例例 mF) 15 , 14 , 11 , 10 , 8 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ( 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111111111 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈 写出最简与或写出最简与或 表达式表达式D BD C

45、AACB AY 例例 用图形法求反函数的最简与或表达式用图形法求反函数的最简与或表达式ACBCABY 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABC010001 11 1011110000 合并函数值为合并函数值为 0 的最小项的最小项 写出写出 Y 的反函数的的反函数的 最简与或表达式最简与或表达式CACBBAY 1. 2. 4 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简一、一、 约束的概念和约束条件约束的概念和约束条件(1) 约束：约束： 输入变量取值所受的限制输入变量取值所受的限制例如，例如，逻辑变量逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的分别表示电梯的 升、降、停升、降、停 命令命令。A

46、= 1 表示升表示升，B = 1 表示降表示降，C = 1 表示停表示停。ABC 的可能取值的可能取值(2) 约束项：约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值不可能取值0010101000000111011101111. 约束、约束项、约束条件约束、约束项、约束条件(3) 约束条件：约束条件：ABCCABCBABCACBA 0 ABCCABCBABCAC B A 在逻辑表达式中，用等于在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成的值为由约束项相加所构成的值为 0 的的逻辑表达式。逻辑表

47、达式。约束项：约束项：约束条件：约束条件：或或0) 7 , 6 , 5 , 3 , 0 ( d2. 约束条件的表示方法约束条件的表示方法 在真值表和卡诺图上用叉号在真值表和卡诺图上用叉号( () )表示。表示。例如，上例中例如，上例中 ABC 的不可能取值为的不可能取值为二、二、 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简 化简具有约束的逻辑函数时，如果充分利用约化简具有约束的逻辑函数时，如果充分利用约束条件，可以使表达式大大化简。束条件，可以使表达式大大化简。1. 约束条件在化简中的应用约束条件在化简中的应用(1) 在公式法中的应用：在公式法中的应用： 可以根据化简的需要加上或去掉约束

48、项。可以根据化简的需要加上或去掉约束项。例例化简函数化简函数 Y = ABC，约束条件，约束条件0 CABCBCA 解解 ABCY )(BAABC )(ABABC C 问题：问题：当函数较复杂时，公式法不易判断出哪些约束当函数较复杂时，公式法不易判断出哪些约束项应该加上，哪些应该去掉。项应该加上，哪些应该去掉。CBCA (2) 在图形法中的应用：在图形法中的应用： 根据卡诺图的特点（逻辑相邻，几何也相邻），根据卡诺图的特点（逻辑相邻，几何也相邻），在画包围圈时包含或去掉约束项，使函数最简。在画包围圈时包含或去掉约束项，使函数最简。例例化简函数化简函数 Y = ABC，约束条件，约束条件0 CA

49、BCBCA 解解 画出三变量函数的卡诺图画出三变量函数的卡诺图ABC010001 11 10 先填最小项，再填约束先填最小项，再填约束项，其余填项，其余填 0 或不填。或不填。1000 利用约束项合并最小项利用约束项合并最小项，使包围圈越大越好，但，使包围圈越大越好，但圈的个数越少越好。圈的个数越少越好。 写出最简与或式写出最简与或式CY 2. 变量互相排斥的逻辑函数的化简变量互相排斥的逻辑函数的化简互相排斥的变量：互相排斥的变量： 在一组变量中，只要有一个变量在一组变量中，只要有一个变量取值为取值为 1，则其他变量的值就一，则其他变量的值就一定是定是 0。ABC010001 11 10101

50、1 画出该函数的卡诺图画出该函数的卡诺图 画包围圈，合并最小项画包围圈，合并最小项 写出最简与或表达式写出最简与或表达式例例 1. 2. 16 函数函数 Y 的变量的变量 A、B、C 是互相排斥的，试是互相排斥的，试用图形法求出用图形法求出 Y 的最简与或表达式。的最简与或表达式。 解解 根据题意可知根据题意可知CBACBACBAY 约束条件约束条件0 ABCCABCBABCACBAY 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数 dmDC ,B ,A ,F ) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 () 8 , 7 , 1 () ( 化简步骤化简步骤: : 画函数的卡诺图，顺序画函数

51、的卡诺图，顺序 为：为：ABCD0001111000 01 11 10先填先填 1 0111000000 合并最小项，画圈时合并最小项，画圈时 既可以当既可以当 1 ，又可以当，又可以当 0 写出最简与或表达式写出最简与或表达式DA DAY 解解 0) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 ( d三、三、 化简举例化简举例 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数DCBADCBADCAY 约束条件约束条件0 ACAB 解解 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111 合并最小项合并最小项 写出最简与或表达式写出最简与或表达式DAD BDCY

52、合并时，究竟把合并时，究竟把 作为作为 1 还是作为还是作为 0 应以得到应以得到的的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义是约束项无意义( (如图所示如图所示) )。注意：注意：0 ACAB1.3 逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换1. 3. 1 几种表示逻辑函数的方法几种表示逻辑函数的方法一、真值表一、真值表将变量的各种取值与相应的函数值，以将变量的各种取值与相应的函数值，以表格的形式一一列举出来。表格的形式一一列举出来。1. 列写方法列写方法CABCABY ABCY0 0 00 0 10 1 00

53、1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111例如函数例如函数2. 主要特点主要特点优点：优点：直观明了，便于将实际逻直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。辑问题抽象成数学表达式。缺点：缺点：难以用公式和定理进行运难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。列函数真值表较繁琐。三、逻辑表达式三、逻辑表达式优点：优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。换。缺点：缺点：逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。函数的值。二、卡诺图二、卡

54、诺图ABC010001 11 1011110000优点：优点：便于求出逻辑函数的最简便于求出逻辑函数的最简与或表达式。与或表达式。缺点：缺点：只适于表示和化简变量个数只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。于进行运算和变换。真值表的一种方块图表达形式，要求变量真值表的一种方块图表达形式，要求变量取值必须按照循环码的顺序排列。取值必须按照循环码的顺序排列。用与、或、非等运算表示函数中各用与、或、非等运算表示函数中各个变量之间逻辑关系的代数式子。个变量之间逻辑关系的代数式子。CABCABY 例如例如四、逻辑图四、逻辑图CABCABY ABYC&am

55、p;优点：优点：最接近实际电路。最接近实际电路。缺点：缺点：不能进行运算不能进行运算和变换，所表示的和变换，所表示的逻辑关系不直观。逻辑关系不直观。&ABBCAC1用基本和常用的逻辑符号表示函数表达用基本和常用的逻辑符号表示函数表达式中各个变量之间的运算关系。式中各个变量之间的运算关系。 例例 1. 3. 1 画出函数的画出函数的逻辑图逻辑图五、波形图五、波形图输入变量和对应的输出变量随时间变输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形。化的波形。ABY ABY优点：优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。的对应关系。缺点：缺点：

56、难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。数增多时，画图较麻烦。1. 3. 2 几种表示方法之间的转换几种表示方法之间的转换一、真值表一、真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 例例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副裁判和两名副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上中，必须有两人以上( (必有主必有主裁判裁判) )认定运动员的动作合格，试认定运动员的动作合格，试举才算成功。举才算成功。 真值表真值表函数式函数式ABCCABCBAY 将真值表中使逻辑函数将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的的输入

57、变量取值组合所对应的最小项相输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得加，即得 Y 的逻辑函数式。的逻辑函数式。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111函数式函数式ABCCABCBAY 卡诺图化简卡诺图化简ABC010001 11 1011010000ACABY 函数式函数式逻辑图逻辑图ABY&C&1真值表真值表函数式函数式二、逻辑图二、逻辑图ABBABAY ABBABA )()(BABBAA BABA BA 0110ABY00011011ABABA ABB BAY&第一章第一章 小小 结结1. 数制：数制：计数方法或计数体制（由基数和位权组成）计数方法或计数体制（由基数和位权组成）种种 类类基基 数数位位 权权应应 用用备备 注注十进制十进制0 910i日常日常二进制二进制0 ，12i数字电路数字电路2 = 21八进制八进制0 78i计算机程序计算机程序8 = 23十六进制十六进制0 9，A F16i计算机程序计算机程序16 = 24 各种数制之间的相互转换，特别是各种数制之间的相互转换，特别是十进制十进制二进制二进制的转换，的转换，要求熟练掌握。要求熟练