数学建模房价问题

1、 1.解析问题(房价问题)房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。提出问题：1)影响房价的主要因素。2)定量预测未来房价的走势。3)根据房价相关因素，评价房地产价格的合理性（级别：A区城市（上海）， B区城市（西安）和C区城市（徐州）。4)探讨使得房价合理的具体措施。5)定量分析房价对经济发展产生的影响。2.

2、分析问题房地产是现代社会所讨论的热点话题之一，房价的高低已经影响到多方面的利益，在此我们进行具体问题分析。所需解决的5个问题都是围绕房价相关问题展开的。问题一是要找出影响房价的最主要因素。影响房价的因素诸多，如国有土地、建筑成本、投资环境、居民收入、人口基数等等，在诸多因素中，抽取具有代表性的可以合理量化的因素进行分析，通过对各个因素对房价的影响大小的分析，筛选出来最主要的几个因素。问题二是要定量预测未来房价的走势。在问题一中选出的若干因素中，由于它们和房价的关系并无定量关系，属于灰色系统模型范畴，可以用灰色关联分析法对房价未来的走势进行预测。问题三是要根据居民收入评价目前各城市房价的合理性。

3、由于居民人均收入、CPI、投资金额会随着时间变动。通过增长率对比以及相关关系进行比较分析。问题四是要求探讨目前形势与未来趋势，从人均收入、CPI、GDP、国家政策等方面提出使得房价合理的具体措施。问题五是定量分析房价对经济发展产生的影响，经济发展具体是指国民生产总值（GDP）的提升，也就是定量给出房价与GDP的具体相关性分析。3模型假设1)预测时不涉及自然灾害和社会因素的影响；2)查询真实可靠的数据；3)所选取的代表城市可以代表A区（发达）、B区（中等）和C区（欠发达）的房地产情况。4符号使用说明数学符号说明发展系数b灰色作用量r贷款利率Y人均收入p or P房价x自变量y因变量5模型建立和求

4、解5.1问题一因素分析房地产价格是由房地产的使用价值、市场需求和经济价值三者相互结合而产生的。房地产是内部因素、外部因素、区域因素的综合体。房地产价格的形成和变动，与诸多的经济社会因素有关。这些因素对房地产价格影响的方向和程度虽然不完全相同，但是相互之间的联系与制约形成了一种共同影响房价的合力。对房地产价值的评估因素有以下几个方面：(1)经济条件影响房价的主要经济因素之一是经济环境，主要经济因素包括：经济增长：经济增长迅速，居民收入相对提高，其买房能力也相应增强，房价就会飙升；反之也会下降通过GDP体现该地区的经济的发展状况区域物价：物价波动以及国际汇率导致货币价值变动而波及房价，由于房地产具

5、有保值性和增值性，一般物价上涨会使房地产价格上扬幅度更大。通过消费者物价指数（CPI）体现物价的变动。均民可支配收入：均民可支配收入提高，会促使房价升高，反之则令其降低。(2)建筑成本投资金额：房地产的建筑成本主要包括土地价格（区域性）、建材价格、工程价格、建筑安装工程费、开发管理费用等。住宅的造价越高，房价自然也就越高，因此房地产的建筑成本是决定房地产价格的基础。由于可能开发成本包含内容很多，这里用总体投资金额作为开发成本,包含了房屋建造时的绝大部分费用。(3)人均占有住房面积商品的价格不仅由它的实际价值决定，还和人均占有住房面积有关系。当人均占有住房面积过剩时，房价会降低；反之，会增长。(

6、4)国家政策因素为了协调房地产业的发展，政府会出台一系列措施来引导房地产业的发展，其中通过银行调整贷款利率是主要调控手段之一。贷款利率：银行贷款利率会对房地产价格产生直接影响，较高的银行利率会增加房地产开发和投资的财务负担，使房地产交易行为受到抑制，从而导致房地产价格下跌，反之则会使房地产价格上升。 模型建立与求解针对以上分析，选取了6个因素，并搜集了上海市2000-2010年的这6个因素的数据设表示6个因素（其中i=1为投资金额，i=2为GDP，i=3为CPI，i=4为人均可支配收入，i=5为人均占有住房面积，i=6为贷款利率）。具体数据见附录(表7)。图1 房价走势图：用最小二乘法拟合得到

7、回归方程为：房价与GDP关系： 图2 GDP走势：房价与CPI关系： 图3 CPI走势：房价与投资金额关系： 图4 投资金额走势：房价与贷款利率关系： 图5贷款利率（%）走势：房价与人均占有面积关系： 图6 人均占有面积走势：房价与人均收入关系： 图7 人均收入走势： 由以上数据可以看出，GDP、CPI、投资金额和人均收入对房价的影响显著，是房价的主要决定因素，而贷款利率和人均占有面积虽然对房价也有影响，但并不显著。5.2问题二 模型选择前可行性分析房地产发展受众多因素的影响，其中由题一可知GDP（x1）、CPI（x2）、投资金额(x3)和人均收入(x4)对房价的影响显著利用多元线性方程来建立

8、此模型对上海市平均住房价格进行预测根据问题一结论，我们建立以下模型，具体表达式为： Y=a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4 利用各年数据， 通过解线性方程组，确定自变量的系数，即求a1,a2,a3,a4的值。 经过实际模拟发现此模型与实际数据存在较大偏差，不能够作为预测房价的基本模型。 图85.2.2 模型建立与求解房地产发展受众多因素的影响，其中由题一可知部分因素可以确定，部分因素未知，属于灰色系统模型范畴，可建立灰色系统模型进行预测利用GM(1,1)模型对上海市平均住房价格进行预测原始数据如下表表1 上海市20002010年房价年份20002001200220032004200

9、520062007200820092010房价（元）332636594007498963856698823710292134111580019168将原始数据，即历年的房价作某种数学处理在灰色系统建模理论中，可以采用累加生成的方法，所谓累加生成就是将原始数据按照时间序列依次累加为第k年的房地产价格，处理后得到为前k年的房地产价格累加和，即根据灰色理论建立预测模型： (1)将代入方程(1)，可得在最小二乘意义下可求解此线性方程组得其中由GM（1,1）灰微分方程式所对应的白化微分方程： (2)利用MATLAB计算出=-0.2 b=2277.7根据所得的时间响应模型式(2)，可以得到上海市住房价格模

10、拟值表2 上海市20002010年房价模拟值年份20002001200220032004200520062007200820092010房价（元）3257.833979.124860.115936.157250.448855.710816.413211.216136.119708.7由表2可以看出上海市的房价稳定增长，并且增长速度逐布加快因此上海市的房价的发展趋势是增长，且增长速度变快并作出图像为：图9 上海市20002015房价模拟值与真实值对照图通过GM（1,1）预测上海市20112015年的房价：表3 上海市20112015年房价预测值年份20112012201320142015房价/元

11、24072.32940235911.643862.653573.9预测结果可以看出，未来5年上海市的房价仍然保持上涨趋势，且上升速度有所加快。 模型检验一个模型要经过多种检验才能判断其是否合理，是否有效只有通过检验的模型才能用来做预测。检验模型的三种方法是：残差检验、关联度检验、均方差比检验。这三种方法都是通过对残差的考察来判断模型的精度，其中平均相对误差和模拟误差、均方差比值要求越小越好，关联度、小误差概率要求越大越好给定的一组取值，就确定和检验模型模拟精度的一个等级常用的精度等级如表：表4 精度检验等级参照表指标临界值精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350

12、.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60用相对误差、关联度、均方差比进行检验。(1)相对误差检验指标检验：原始时间序列预测模型模拟序列残差序列相对误差序列平均相对误差，模拟误差GM（1,1）模型的平均相对误差，模拟误差，由表6，此模型为残差合格模型。 (2)关联度检验：计算灰色绝对关联度：绝对关联度：GM（1,1）模型的绝对关联度，该模型关联度为一级。 (3)均方差比检验原始时间序列的均值、方差分别为：残差的均值、方差分别为：均方差比值 其中s2=213.802 s1=557.845 得C=0.383265GM（1,1）

13、模型的均方差比值C=0.3832650.5，此模型精度为二级计算小误差概率：GM（1,1）模型的，小误差概率为一级由模型检验可以发现，GM（1,1）模型对房价走势的预测相对准确，即随着年份的增长，GM（1,1）模型预测结果更接近实际结果，如2010年的上海市的房价为19168元/平方米，模拟值为19708.7元/平方米，误差为2.8%。5.3问题三评价房地产价格的合理性5.3.1 通过人均收入进行评价表5 房价的增长率与人均收入的增长率年份2001200220032004200520062007200820092010房价增长率%10.0129.510824.50727.9814.90222.

14、97724.94830.30517.81421.317人均收入增长率%15.0849.73113.79910.0999.93910.23617.37613.8168.3218.299使用图形进行比较： 图10 房价增长率与人均收入增长率对照图当房价的增长率低于人均收入增长率时候，这时候房价属于合理。从此图看出房价的增长率除了2005年前后其他时候远高于人均收入增长，所以从此角度分析房价欠合理。5.3.2 通过CPI进行评价图11 房价走势图图12 CPI走势图CPI与房价的关系：进行线性拟合：图13 CPI与房价的关系由于房价的增长导致CPI线性增长，CPI过高说明通货膨胀严重，此现象说明房价

15、的不合理性。5.3.3 通过投资金额进行评价图14 投资金额走势图：年份2001200220032004200520062007200820092010房价增长率%10.0129.510824.50727.9814.90222.97724.94830.30517.81421.317投资金额增长率%5.138525.24018.78332.8831.4903-8.780-0.1192.15555.885111.4表6 房价增长率与投资金额增长率图15 房价增长率与投资金额增长率 由图形曲线看出2005年之前投资金额与房价增长率是持平的，看出房价还是比较合理，2005年投资金额增长率出现负增长后，

16、房价骤然增加，而投资金额却增长缓慢，看出房价在2005年之后表现不合理。综述：由以上三方面看出，上海市房价是不合理的，为了居民更好地享受生活，需要国家出台相关政策进行房价调整，使房价更趋于合理。5.4问题四探讨使得房价合理的具体措施措施(一)提高人均收入，合理选择建房基址，适当降低房价。 1.建议政府根据房价提高人均收入，使其购房能力逐渐增强。 2.响应“两会”，提高个人所得税起征点，使低收入人群具有更多可支配收入。 3.建立“卫星城”，实现人口密集型城市的人员分流，缓解市区住房紧张压力。措施(二)加大投资金额，增加房屋可用有效数量。 1.政府出台优惠政策，吸引更多房地产商投资，使有效房屋供应

17、量充足。 2.政府建保障性住房以及经济适用房，使更多人拥有可居住房屋。 3.提供低收入者更多购房补助，增加其买房能力。措施(三) 出台宏观调控相关政策，控制通货膨胀，使CPI趋于合理，房价也就会自然回落。 1.差异性地推行结构转型的产业政策，替代现在对所有企业一刀切的行政管制措施，采取企业自愿和政府扶持相结合的方式，去控制节能减排的目标。 2.努力确保供给渠道，并及时动用战略储备增加对市场的供给，并打击金融资本绑架资源类商品的投机行为。 3.通过大力的政策扶持和税收制度的引导，鼓励民营资本进入到企业创新的融资平台中。 4.上游资源类垄断企业要对价格形成机制赋以向公众说明的义务，要接受代表群众利

18、益的“第三方”客观的监督。5.对资源类产品的进出口要设定一个“价差”开关。6.对民生相关的资源类行业，在条件成熟的时候，一方面都应该在整个产业链的环节上强化自由竞争的格局，另一方面也应该请所有从事这一行业的企业加入一种“安全保险”，防治逐利型的主动退出行为。7.通过加强银行体系流动性管理,合理运用价格型工具,加强信贷政策窗口指导等一系列灵活有效的政策措施,抑制货币信贷过快增长势头。措施(四) 施行郎咸平提出的“放弃保八，藏富于民”（放弃GDP每年保持8%的增长率），才能最大限度拉动经济发展，GDP增长速率的降低必将是房价趋于平衡增长阶段。 所谓“放弃保八，藏富于民”通过各种政策，保护民营企业赚

19、取利润的权益，希望民营企业赚更多的钱，当然，国营企业也包括在内。然后我们还需要建立起一套良好的分配机制，那就是如何把这些赚到的钱，有效率地分给全国老百姓，让大家一起致富。这就是我要告诉大家的，放弃保八，藏富于民。第一、通过各种政策，保护民营企业赚取利润的权益，希望民营企业赚更多的钱，当然，国营企业也包括在内。然后我们还需要建立起一套良好的分配机制，那就是如何把这些赚到的钱，有效率地分给全国老百姓，让大家一起致富。5.5问题五定量分析房价与GDP的相关性图16 房价走势图：图17 GDP走势图：用最小二乘法拟合得到回归方程为：GDP与房价关系： 回归曲线图形：图18 GDP与房价相关关系通过图形可以看出 GDP 随着房价的增长而呈现正相关关系。可看出房价的增长对于GDP的增长有促进作用，合理上调房价对国家经济增长有一定推动作用。6模型评价6.1模型优点1)在确定对房价的影响因素时，采用线性回归法，筛选出对房价影响较大的几个因素，具有科学性；2)在预测房价时，先建立了多元回归模型，之后改进为GM（1,1）模型，加入考虑了GDP、CPI等因素对房价的影响，更加符合实际；3)对模型结果进行了检验，GM（1,1）模型的效果更好，更符合实际，具有实际意义6