第二节变量可分离的微分方程

1、第二节第二节变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程(1) 0dd, 0)( xyyxFx,y,yF或如果能解出 ，那么xyydd(2) ).,(dd ),(yxfxyyxfy或如果一阶微分方程(2)的右端，)0)( )()( ),(yhyhxgyxf则方程(2)可以表示为)3( d)(d)(xxgyyh的形式，则称此一阶微分方程为变量可分离的微分方程.)d()d( )3()3()()(是任意常数其中，的通解便得微分方程式两端同时积分，都是连续函数，将，CCxxgyyhyhxg.2dd的通解求微分方程xyxy，两端同时积分xxyyd2d ，即，得2112eee| |ln 12xCCxyCxy，

2、或记作21ee xCy.e ,e21xCCyC则有若记例1，原方程分离变量得xxyyd2d 解.0d)1 (d)1 ( 22的通解求微分方程yyxxyx，两端积分，有122d1d1 Cxxxyyy，得两端同除以xxxyyyyxd1d1)1)(1 (2222，积分后得122)1ln(21)1ln(21 Cxy，即表示为把任意常数)0( ln21)1ln(21)1ln(21 ,ln21221CCxyCC).1 (1 22xCy化简得例2，移项得xyxyyxd)1 (d)1 ( 22解.60dcos) 1(dsin2 12的特解条件满足初值求微分方程xyyyxxyx12d12dsincos Cxxx

3、yyy两端积分，有).( sin) 1( 2是任意常数其中化简得所给方程的通解CCyx)ln, 0( ln) 1ln(sinln 12CCCCxy积分后，有例3，由原方程得xxxyyyd12dsincos 2解，即代入通解中，得把初值条件1 ,6sin) 11 ( 621CCyx. 1sin) 1( 2yx值条件的特解为于是，所求方程满足初例4 求微分方程 的通解.d2(0)dyyyxxxx解 令 ,则 代入原方程,得yuxddddyuuxxxd2duuxuux即d2duxux分离变量得dd (0,0)2uxuxxu两端同时积分,有1dd +2uxCxu积分后得1ln +ln (ln)uxCC

4、C即2ln()uCx以 代回原变量,即得原方程的通解为yux2ln() .yxCx一般地,形如d( ) (6)dyyxx的方程,称为齐次方程,通过未知函数代换:令 ,便可化为变量可分离的方程,求得通解后,只要用 代回原来的变量,即可得到原齐次方程(6)的解.yuxyux.)2 , 1 ( 求这曲线的方程线段均被切点所平分，意切线，它在两坐标轴间的任一曲线通过点).( ),()(xXyyYyyxPxyy，切线方程为处的切线斜率为点，则过曲线上任一设所求曲线的方程为，按题意轴上的截距为，得切线在令xXyyxXxY2 , 000例5. ) i (值条件建立微分方程并确定初解2yxxy，故得) 1 (

5、 dd )(，或应满足的微分方程为即得曲线xyxyxyyxyy,dd ) 1 ( .)ii(xxyy分离变量，得将方程求通解)2( . 2) 1 ( 2 )2 , 1 (1yyx或，故得初值条件为由于曲线过点).( ) 1 (lnlnln 是任意常数的通解为即得方程，两端积分，得CCxyCxy. , 2 , 2 )2( .)iii(程这就是所要求的曲线方条件的特解为故得所求方程满足初值代入通解中，得把初值条件求特解xyC例6 把温度为100的沸水注入杯中，放在室温为20的环境中自然冷却，经5min时测得水温为60.试求(1)水温T()与时间t(min)之间的函数关系；(2)问水温自100降至30所需的时间.，时水温下降的速度为此，即温为分钟时水始的时刻，设经为沸水冷却开取问题却这是一个热力学中的冷tTtTTTttdd. )(0.解，分离变量，得，由牛顿冷却定律，得tkTTTktTd20d )20(dd ，两端积分，得tkTTd20d .e20 ktCT 所求通解为，代入通解中，得将初值条件80 1000CTt，为任意常数即)( )eln(lnlne)20ln( CCCTkTkt.e8020