第四章 频域响应分析(第九讲)08-11-11

1、自动控制原理讲义2022-4-11自动控制原理第九讲自动控制原理第九讲关关 伟伟Email: 自动控制原理讲义2022-4-11第四章第四章 控制系统的频率法分析控制系统的频率法分析自动控制原理讲义2022-4-11本章主要内容本章主要内容引言（本讲）引言（本讲）频率特性的基本概念及表示方法（本讲）频率特性的基本概念及表示方法（本讲）典型环节的频率特性（本讲）典型环节的频率特性（本讲）复杂系统频率特性的绘制复杂系统频率特性的绘制Nyquist稳定判据稳定判据稳定裕度稳定裕度 闭环系统的性能分析闭环系统的性能分析小结小结自动控制原理讲义2022-4-11重点掌握内容重点掌握内容 频率特性的物理意

2、义频率特性的物理意义 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 频率特性的绘制频率特性的绘制 稳定判据及其应用稳定判据及其应用 闭环系统频率特性指标及性能分析闭环系统频率特性指标及性能分析自动控制原理讲义2022-4-111.引言引言频域分析法 应用频率特性研究线性系统的经典方法。任何输入信号可以看作不同频率的正弦信号的合成；以正弦信号作为测试输入信号，观察不同频率和振幅的正弦信号经系统传递后产生的响应；系统的输出就是这些响应的合成。特点频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系

3、统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于部分非线性系统的分析。自动控制原理讲义2022-4-112. 频率特性的基本概念及表示方法频率特性的基本概念及表示方法频率特性（频率响应） 它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345 输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化 自动控制原理讲义2022-4-11频率特性的基本概念（频率特性的基本概念（1）设系统的传递函数为)()()()(

4、)(sVsUsGsRsC输入)sin()(tAtr，其拉氏变换22)(sAsRA为常量，则系统输出 22)()()()()(sAsVsUsRsGsC2221)()()(sApspspssUnnppp,21G(s)的极点 jsajsapsbsCniii1)(自动控制原理讲义2022-4-11频率特性的基本概念（频率特性的基本概念（2）jsajsapsbsCniii1)(nitpitjtjiebeaaetc1)(t趋向于零(系统稳定) jAjGjsjsjsAjGjssAsGajsjs2)()()()()()(22jAjGjsjsjsAjGjssAsGajsjs2)()()()()()(22), 2

5、 , 1(,nibaai和待定系数 )()()()()()()()()()()()(jGjGjjsjGjGjjseAejGsGjGeAejGsGjG自动控制原理讲义2022-4-11频率特性的基本概念（频率特性的基本概念（3）结论：结论：给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。)(sin()(2)()()()(tAAeejAAeaaetcGtjtjGtjtjs自动控制原理讲义2022-4-11频率特性的定义频率特性的定义系统的系统的频率特性函数频率特性函数 （定义

6、（定义4.3.1）定义定义为系统在零初值下该系统的输出量的傅立叶变换象函数与输入量为系统在零初值下该系统的输出量的傅立叶变换象函数与输入量的傅立叶变换象函数之比的傅立叶变换象函数之比.定义定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 A( ) 为系统的为系统的幅频特性幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；定义定义稳态响应与正弦输入信号的相位差比稳态响应与正弦输入信号的相位差比 ( ) 为系统的为系统的相频特性相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；它描述系统的稳态响应对不同频率

7、输入信号的相位移特性； )()()()()(jeAjRjCjG 频率特性可以写成复数形式： ，也可以写成指数形式： 。其中， 为实频特性， 为虚频特性； 为幅频特性， 为相频特性。)()()(jQPjG)(| )(|)(jGjGjG)(P)(Q| )(|jG)(jG自动控制原理讲义2022-4-11频率特性函数与传递函数的关系频率特性函数与传递函数的关系线性定常系统 传递函数 常微分方程频率特性函数 时域复频域频域微分方程频率特性传递函数脉冲函数js dtds dtdj)(tgL)(1sGL微分方程频率特性传递函数脉冲函数js dtds dtdj)(tgL)(1sGL脉冲响应脉冲响应自动控制原

8、理讲义2022-4-11频率特性函数频率特性函数例：设传递函数为：微分方程为：频率特性为： 431)()()(2sssxsysG)()(4)(3)(,431)()(2222txtydttdydttyddtddtdtxty4)(3)(1)()()(2jjjxjyjG自动控制原理讲义2022-4-112.频率特性的表示方法频率特性的表示方法 极坐标图 (Polar plot) 对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot) 对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot)自动控制原理讲义2022-4-11极坐标频率特性曲线（极坐标频率

9、特性曲线（Nyquist） 是在复平面上用一条曲线表示 由0时的频率特性。即用矢量G(j ) 的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。0)(P)(Q)()(A11)(2ssssG 频率特性曲线是S平面上变量s沿正虚轴变化时在G(s)平面上的映射。由于 是偶函数，所以当 从 和 变化时，奈魁斯特曲线对称于实轴。| )(|jG00自动控制原理讲义2022-4-11Nyquist（乃奎斯特）图50451.,)(TKTjKjG幅频特性函数幅频特性函数1250451222.)(TKjG相频特性函数相频特性函数50.arctgarctg)(argTjG 01

10、234510|G(j)|4540.2531.8224.9620.1216.718.83argG(j)0-26.6-45.0-56.3 -63.4-68.2 -78.7Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis010203040-20-15-10-505101520 =10 =5 =3 =-10 =-5 =-3 =1 =0 =-2 =-1 = =2jyxTTKjTKTjKjG1112222)(112222TTKyTKx,022Kxyx自动控制原理讲义2022-4-11对数频率特性曲线对数频率特性曲线(Bode图图1) 横坐标分度：以频率的对数值 log 进行分度

11、 横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。)(arg)()(log)(logjGjGjGjGL幅频特性曲线相频特性曲线DecDecDecDec12012.log0.0100.1110100自动控制原理讲义2022-4-11对数频率特性曲线对数频率特性曲线(2) 纵坐标分度： 幅频特性曲线的纵坐标是以log A( ) 或20 log A( ) 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将log A( ) 或20 log A( )值标注在纵坐标上。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上

12、，使用同一个横坐标（频率轴）。 当幅值特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益20log(幅值)20151086420增益增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值幅值)(A自动控制原理讲义2022-4-11Bode（伯德）图频率特性函数要乘以频率特性函数要乘以K K倍倍，只需把对数幅频特性向上移只需把对数幅频特性向上移动动20lgK dB20lgK dB150451.)(jjG1501352.)(jjGBode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)101.2101.510-110

13、0101-90-60-300Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)101.3101.610-1100101-90-450L(G1)L(G2)20lg3)5()(,11 . 0135)(323jGjGjjGBode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)101.4101.610-1100101102-90-450L(G2)L(G3)lg5lg5)()(jGjG241互为倒数的两个频率特性，互为倒数的两个频率特性，它它们的们的对数幅频特性和对数相频对数幅频特性和

14、对数相频特性都是互相反号特性都是互相反号)(arg)(arg)()(jGjGGLGL4242Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-5005010-1100101-90-4504590自动控制原理讲义2022-4-11对数坐标图的优点对数坐标图的优点 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率

15、特性表达式。自动控制原理讲义2022-4-11典型环节的频率特性函数典型环节的频率特性函数 比例环节比例环节 积分环节积分环节 惯性环节惯性环节 振荡环节振荡环节 微分环节微分环节 延迟环节延迟环节自动控制原理讲义2022-4-11比例环节的频率特性比例环节的频率特性logdBL/ )(log)(180180幅频特性： ；相频特性： ( )KA0)( 比例环节： ;KsG)(KjG)(对数幅频特性： 111000lg20)(KKKKL常数Klog201K1KKlog201KKlog20001800)(KKK相频特性： 0K0K自动控制原理讲义2022-4-11积分环节的频率特性积分环节的频率特

16、性 积分环节的频率特性：sKsG)(频率特性：2)(jeKKjjKjG,log20log20log20)(log20)(KKAL20)(10; 0)(, 11LLK时，当时，当2)0()(1KtgKA)(1KdBL/ )()(902040204011010011010010K0)(;log20)(, 10LKKLK时，当时，当可见斜率为20/dec 当有两个积分环节时可见斜率为40/dec 自动控制原理讲义2022-4-110.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()-20ssG1)(ssG10)(ssG51)(积分环节积分环节L()自动控制原理讲义2022

17、-4-11TtgTKA122)(,1)( 惯性环节的频率特性：1)(TsKsG1)(TjKjG 对数幅频特性： ，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：221log20log20)(log20)(TKAL低频段：当 时， ，称为低频渐近线。1TKLlog20)(高频段：当 时， ，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。1TTKLlog20log20)(惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性(1)自动控制原理讲义2022-4-11 当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。0低频高频渐近线的交点为： ，得： ，称

18、为转折频率或交换频率。 TKKlog20log20log20TTo1, 1可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性(2)自动控制原理讲义2022-4-11惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性(3)图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。自动控制原理讲义2022-4-11惯性环节的频率特性误差分析惯性环节的频率特性误差分析自学自学当 时，误差为：o2211log20T当 时，误差为：oTTlog201log20222最大误差发生在 处，为To1)( 31log20202maxdBT T0.1 0.2 0.5 1 2 510L(),()

19、,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.04自动控制原理讲义2022-4-11 相频特性： Ttg1)(作图时先用计算器计算几个特殊点：。时，当时，当时，当2)(;4)1(1; 0) 0(0TT相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0, -45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。

20、 T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0()()-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45 T2.03.04.05.07.0102050100()()-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性(4)自动控制原理讲义2022-4-110ReG(j)ImG(j)1惯性环节极坐标图惯性环节极坐标图G(j)自动控制原理讲义2022-4-11 振荡环节的频率特性：22222212)(nnnssKTssTKsG讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：10TjTjG2)1

21、(1)(222222)2()1 (1)(TTA幅频特性为：22112)(TTtg相频特性为：振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性(1)自动控制原理讲义2022-4-112222)2()1 (1)(TTA 幅频特性为：2222)2()1 (log20)(log20)(TTAL对数幅频特性为：低频段渐近线：0)(1LT时，高频段渐近线：TTLTlog40)(log20)(1222 时，两渐近线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。To1振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性(2) 相频特性：22112)(TTtg几个特征点：。)(,;2)(,1; 0)(, 0T自动控制原理讲义2022-4

22、-11对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0, -90)点是斜对称的。对数幅频特性曲线有峰值。3 . 0, 1,10TKTo1DecdB/4016 . 010)(2ssjG振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性(3)自动控制原理讲义2022-4-11振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性(4)自学自学对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 。)(A)(ApTp221该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时， 。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。707. 0210p21212121)(ppAM当 ， ， 。021)(0A2lg20)(0L因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线

23、可能有很大的误差。 自动控制原理讲义2022-4-110ReG(j)ImG(j)1ABA:22121211rrATB:onnA9021)()(12122TssTsG )(振荡环节极坐标图振荡环节极坐标图G(j)自动控制原理讲义2022-4-11 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：12)(1)()(22TssTsGTssGssG频率特性分别为：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(22微分环节的频率特性微分环节的频率特性自动控制原理讲义2022-4-11纯微分纯微分纯微分：2)(log20)(log20)()(ALA自动控制原理讲义2022-4-110.1 0.21210201000db20db40db