解析几何在高中数学中的应用及解题方法

1、高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有 3-4 题 (1-2 个选择题 , 0-1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 20 多分 , 考查的知识点约为个左右，其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查。选择题和填空题考查直线 , 圆 , 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用 ,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。20二、本章节处理方法建议：纵观近年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一

2、个规律：占解几分值接近一的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第 21 题或 22 题（有时20 题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。鉴于解几的特点，建议

3、在复习中做好以下几个方面1由于高考中解几内容弹性很大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。三、高考核心考点1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵

4、活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0 等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面（ 1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型

5、例题给定双曲线。过A （ 2， 1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P 的轨迹方程。分析：设，代入方程得，。两式相减得。又设中点 P（ x,y ），将，代入，当时得。又，代入得。当弦斜率不存在时，其中点P（ 2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。变式练习：给定双曲线 2x2- y2 = 2 ，过点 B(1,1) 能否作直线 L, 使 L 与所给双曲线交于两点Q1、 Q2 两点，且点 B 是线段 Q1Q2的中点？如果直线L 存在，求出它的方程 ;如果不存在 ,说明理由 .（ 2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两

6、个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设 P(x,y) 为椭圆上任一点，为焦点，。sin()（1）求证离心率e；sinsin（2）求的最值。分析：（ 1）设，由正弦定理得。得，cs i n ()es i ns i na（ 2）。当时，最小值是；当 x a 时，最大值是。变式练习：设、分别是双曲线x2y 21（ a>0,b>0）的左、右两个焦点，P 是双曲线上的一点，若P= ,求证：S2cot=ba 2b22（ 3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题（ 1）求证

7、：直线与抛物线总有两个不同交点（ 2）设直线与抛物线的交点为A 、 B，且 OA OB，求 p 关于 t 的函数 f(t) 的表达式。（ 1）证明：抛物线的准线为由直线 x+y=t 与 x 轴的交点（ t， 0）在准线右边，得故直线与抛物线总有两个交点。（ 2）解：设点 A(x 1，y1)，点 B(x 2， y2)变式练习：直线 y=ax+1 与双曲线223x y =1 交于两点 A 、B 两点(1)若 A 、 B 都位于双曲线的左支上，求a 的取值范围(2)当 a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？（ 4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几

8、何法解决。<1> 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。<2> 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数， 均值不等式）求最值。典型例题已知抛物线 y2 =2px(p>0) ，过 M （ a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB| 2p（ 1）求 a 的取值范围；（ 2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N ，求 NAB 面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a的范围，即： “

9、 求范围，找不等式 ”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“ 最值问题，函数思想”。解： (1) 直线 L 的方程为： y=x-a, 将 y=x-a 代入抛物线方程y2=2px, 得：设直线L 与抛物线两交点的坐标分别为A4(ap)4a 20（ x1,y1 ） ,B(x 2,y2)，则 x1x22(ap)x1 x2a2,又 y1=x 1-a,y2=x 2-a,|AB|( x1 x2 ) 2( y1y 2 ) 22( x1x2 ) 24x1 x2 8 p( p 2a)0 |AB|2

10、p,8 p( p2a)0, 08 p( p2a)2 p,pp解得 :a.24(2)设 AB 的垂直平分线交AB 与点 Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：x1 x2a p ,y1y2( x1 a) (x2a)x3y322p.2所 以 |QM|2=(a+p-a) 2+(p-0) 2=2p2 . 又 MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=2P，所以 SNAB =1|AB| |QN|2 p | AB |2 p2p2 p 2 ,即 NAB面积的最大值为 2P 2。222变式练习：双曲线 x2y2 1 （ a>0,b>0）的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1

11、=0 的距离为2a 2b22（ 1）求双曲线的方程（ 2）设直线 y=kx+m(k0 且 m 0) 与双曲线交于两个不同的点C、 D，若 A(0,-1) 且 AC = AD ，求实数 m 的取值范围（ 5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知 - 这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A（ -1， 0）和点 B（ 0， 8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L ： y=kx(k 0),C:y 2=2px(p>0)设 A 、 B 关

12、于 L 的对称点分别为A /、 B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：/（k 212k）， B（16k8(k 21)）。因为A 、 B 均在抛物线上，代入，消去2解得：Ak2,21k2,21p，得： k -k-1=0.1 k1 k1525k=,p=.25所以直线 L 的方程为： y= 15x,抛物线C 的方程为 y2=4 5x.25变式练习：在面积为 1 的 PMN 中， tanM= 1,tanN=-2, 建立适当的坐标系，求出以M 、 N 为焦点且过点P 的椭圆方程。22曲线的形状未知 - 求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（ 2，0）和圆 C：x2+y 2=1, 动点 M 到圆

13、C 的切线长与 |MQ|的比等于常数（>0） ,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。M分析：如图，设 MN 切圆 C 于点 N，则动点M 组成的集合是： P=M|MN|=|MQ| ，N由平面几何知识可知：2222|MN|=|MO| -|ON|=|MO| -1 ，将 M 点坐标代入，可得：(2-1)(x 2+y2 )-42x+(1+42)=0.OQ当=1 时它表示一条直线；当 1 时，它表示圆。这种方法叫做直接法。变式练习：过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作斜率为 k 的弦 AB ，且 AB 8，此外，直线AB 和椭圆 3x2+2y2=2 交于不同的两点。（ 1）求直线 AB

14、的斜率 k 的取值范围（ 2）设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程（ 6） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题 已知椭圆 C 的方程，试确定 m 的取值范围，使得对于直线，椭圆 C 上有不同两点关于直线对称。分析：椭圆上两点，代入方程，相减得。又，代入得。又由解得交点。交点在椭圆内，则有，得。变式练习：为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m 的取值范围。（ 7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直

15、问题，常用来处理或y用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线的斜率为，且过点，抛物线，B直线与抛物线 C有两个不同的交点（如图）。A（1）求的取值范围；P（ 2）直线的倾斜角为何值时，A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂(-2,0)Ox直。分析：（ 1）直线代入抛物线方程得，由，得。（ 2）由上面方程得，焦点为。由，得，arctan22或arctan22变式练习：经过坐标原点的直线与椭圆相交于A 、B 两点，若以 AB 为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。B:解题的技巧方面在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，

16、以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（ 1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线与圆相交于P、Q 两点， O 为坐标原点，若，求的值。解：圆过原点，并且，是圆的直径，圆心的坐标为又在直线上，即为所求。评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ 是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。变式练习：已知点 P（ 5，0）和圆 O：，过 P 作直线与圆O 交于 A 、 B 两点，求弦AB 中点 M

17、的轨迹方程。评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点 M 是在以 OP 为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。二 . 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q 两点，且，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。由方程组消去后得由，得（ 1）又 P、 Q 在直线上，把（ 1）代入，得，即化简后，得（ 4）由，得把（ 2）代入，得，解得或代入（ 4）后，解得或由，得。所求椭圆方程为评注：此题充分利用了韦达

18、定理及“设而不求”的策略，简化了计算。变式练习：若双曲线方程为，AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 AB 中点，设 AB 、 OM 的斜率分别为，则五、线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为，则1k 2· ，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。| a |例求直线被椭圆所截得的线段AB 的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例、是椭

19、圆的两个焦点，AB 是经过的弦，若，求值| F2 A | F2 B | 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例点 A （ 3， 2）为定点，点F 是抛物线的焦点，点P 在抛物线上移动，若取得最小值，求点P 的坐标。五、高考试题选编1. 过抛物线的焦点F，作弦轴于 A 、B 两点，则弦长等于（）A. 6B. 18C.D. 362. 若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则实数m 的取值范围是（）A. （0，5）B. （1，5）C.D.3. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（）A.B.C.D.4. 过点 A 引抛物线的一条弦，使该弦被A 点平分，则该弦所在直线方程为（）A.B.C

20、.D.5. 设且，则的最大值与最小值分别是（）A.B.C. 4，3D. 8，66. P 是抛物线上的点，F 是抛物线的焦点，则点P 到 F 与 P 到 A 的距离之和的最小值是（）A. 3B.C. 4D.7.已知圆 C : (xa)2( x 2) 24( a0)及直线 l : xy3 0.当直线 l被 C截得 的弦长为 23 时，则 a=（）A 2B22C21D218已知双曲线中心在原点且一个焦点F (7,0), 直线 yx1与其相交于 M 、 N 两点， MN 中点的横坐标为2, 则3此双曲线的方程是（）x 2y 2x 2y21x 2y 2D x 2y 21A 1B3C125344529已知长方形四个顶点A （ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 1）和 D（ 0， 1），一质点从AB 的中点P0 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到CD、DA 和 AB 上的点 P2、 P3 和 P4（入射角等于