解不等式问题的一些高观点方法

1、学习必备欢迎下载高等数学在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的沿袭和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展1.从更高的知识层次看初等数学，居高临下，对于沟通初、高等数学，提高教师把握教材的能力，开拓师生的思路等都很有帮助.新教材中引入了导数、向量、概率等高等数学内容，给我们处理问题带来了新方法.若能与时俱进，利用新增内容中的高观点方法研究初等问题，则定会有新的收获.笔者研究了数学教学 “数学问题与解答”栏目中的几道函数最值和不等式问题，读者共飨.1求导思路例 1设 a,bR, n N, n1，求 yf ( x)ab， x ( 1,1)的最x)n(1(1x)n小值 .解： f &

2、#39; (x)( n ) a(1x)tb(1x)t ，其中 tn2.22令 f ' (x)0 ，解之，得 xasbs(1,1)，其中 s22.asbsn而 f '' ( x)n(n2)a(1x)t1b(1x)t1 0 ，4asbsn1故当 x时， y 取最小值，代入得ymin2 2 (a sbs ) s .a sbs2定积分方法例 2已知 nN * ,n 4 ，求证：11117.nn22n10证明 ：考虑函数f ( x)1x在区间 i1 , i ( i 1,2, n) 上的定积分 .1nn111i1 dx由ii n1，n in 1n 1xnn得i 11nini1117

3、ni n11 xdxdx ln 2i 10 1 x10 .3幂级数展开思想函数的幂级数展开是高等数学中的重要内容，其实在中学数学中也有特殊函数的幂级数学习必备欢迎下载展开，那就是无穷递缩等比数列的求和公式：1x1xx2x3, x1.1例3 已知 x, y, z( 1,1) ，且 xyz1，试求函数 u149的最小361x24y29z2值.解：由题意 x2, y2, z2(1,1)，491492x4y2y4) (1z2z4)故24y29z2= (1 x) (142921 x492244222222=3+ ( x2yz)(x4y2z2 )333 xyz3 3 ( xyz) 249493636= 3

4、(111)31108363621.13536当且仅当 x2y 2z21时， u 取最小值108.4936354向量观点例 4已知 a1,b1,c1，求证：a2b2c212 .b 1c1 a1uv(a,bcuv(b1,c1,a1) ，证明 ：构造向量 Abc 1,) ， B1a1uv 2uv 2uvuv 2由AgA B及已知和柯西不等式，B得 S(b1c1a1)(abc)2 ，其中 Sa2b2c2.b 1c 1a1即 S(abc33)2(a b c 3) 69629 12.abc3abc35概率视角例 5设 x, y, z(0,1) ，求证： x(1y)(1z)(1x) y(1z)(1x)(1y) z 1 .证明：设A、 、C 为相互独立的随机事件，P( A)x, P( B)y, P(C )z .BABC , ABC, ABC 为两两互不相容事件，学习必备欢迎下载故 P( ABCABCABC)P( ABC) P( ABC)P( ABC )= P( A) P(B) P(C )P( A)P( B) P(C)P( A)P( B)P(C )= x(1 y)(1z) (1 x) y(1z)(1x)(1y) z ，而 P( ABCABCABC )P( ABC )1。 x(1 y)(1z)(1 x) y(1z)(1x)(1y)z1。上述问题常见于数学通报、数学教学、等杂志，在各级数学竞