高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第4期

1、蜜 蜂 周 报第 4 期（2020 年 4 月 6 日-4 月 12 日）关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题将成为一个范例,以用于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里记忆，便于你解题时进行检索，确定解题方法。沃兹基硕德2020 年第 4 期目录1.奔驰定理一题.12.虚晃一枪，别被晃到二元条件最值 .23.恒等式放缩处理“给值求最

2、值”问题的利器.84.来者不善线段倒数和最值问题 .145.“超级”了反而简单了一个数列小题.206.多解一小题三角形中带系数的线段和.217.等差数列前 n 项和与通项公式的函数图像关系.238.有点怪的数列问题.269.一道错题（三角形内求角条件是角构成的不等式）.2710.一道错题（二元条件最值） .2711.这题很难的sinx+sin2x+sin3x 的上界 .2912.原来你也在这里隐藏在双曲线里的米勒问题.3713.一个很小巧的向量题 .3914.同构一题.4015.二元最值问题.4116.椭圆中四边形面积问题 .4317.二次函数系数构成的最值问题 .4718.待定系数法是个好东

3、西二元无理函数最值.5219.基底意识消元意识正方形顶点模长问题.5520.又一个向量最值问题 .561.奔驰定理一题奔驰定理的介绍网上到处都是，我就不在贴了，只是看到一个题收集一下：附：奔驰定理12.虚晃一枪，别被晃到二元条件最值这个题你要把 2a-1 和 b-1 带进函数式就麻烦了，那是命题人给你挖的坑。你要观察，显然（对，就是目测都能看出来），f (-x) + f (x) = 0，就是说这个函数是个奇函数，立即可得 (2a -1) + (b -1) = 0 Þ 2a + b = 2 ，然后就是一个比较常规的条件最值问题了。2看到这个题后，我不禁多想了点：二元的条件最值学生们见得

4、忒多了，各种各样的，层出不穷，其实我们要“穷”它，也不是不可以，那就是从命题方式角度进行一下总结：不外乎设置一个情境，也就是一个马甲，然后设计一个目标函数。用一个图表示吧，我喜欢图形化展示，情境 a，b的关系求目标函数g(a,b)的最值情境就多了，可以是一个函数；函数的某种性态；甚至是两个函数的关系，代数，几何。这些东西都是“包装”，你要剥离开包装，找到他们真正的“关系”。举几个例子：1,直接给代数关系32，数列3.函数单调性44，向量55，解析几何66.立体几何73.恒等式放缩处理“给值求最值”问题的利器这个内容，是我在网上无意中看到的，觉得挺特别的，对某类问题不失为一种解决方法，只不过感觉

5、貌似计算多了些。89101112看到这里，我突然想到，在蜜蜂周报第二期的 15 题：15.主角在哪儿，你找到了吗辅助角公式的高级运用（五星）当时，褚小光老师也给出了一种解法，这个方法让人很纳闷的就是那个系数法。74是怎么来的，从恒等式角度，似乎也可以采用这种待定134.来者不善线段倒数和最值问题下面这个题：看完后，觉得这个题缺少一个长度的条件，没有任何约束条件不存在最值。搜了一下，发现这个类似题：这个题问的是线段的倒数和，于是，我用关键词“1/PB+1/PC 的最大值”、“线段的倒数和”进行了百度，搜到下面这个题：14这个解法的设变量方法很特别，它有个好处就是，从结果很容易判断，取得最大值时

6、APBC；在微信群“高中数学解题交流二群”有人提供了如下链接，原来这个题来头不小，它曾经过过张景中院士的手。以下资料来自公众号“叶军数学工作站”：张景中院士初数结构改革方案(重建三角)：张角定理与两线段的倒数和(差)问题(下)1516看到这里，我也突然想到，我一直在追寻的“两个线段的倒数和”在几何上的含义，在那个图里，线段与面积有关，如果只关注“长度”这视角，会比较窄，如果注意到一条线段可以充当“底”，那就自然和面积挂钩了。另外，这里提到了“张角定理”，我以前应该是看到过，但是因为这个不怎么用也就忘17记了，恰好当天晚上有人问一个问题，凑巧，用张角定理就可以解决，如下：除了用到张角定理，这个题

7、还用到外心的一个性质，就是性质 3:这样结合起来，就可以得到结果了，不过这个结论不怎么好看似乎18顺便吧，我把在对这个题搜索过程中一个很有趣的发现和大家分享。我搜到一个文件，是叶军老师写的几何问题中的线段倒数关系，很详细地介绍了在平面几何中线段倒数关系这个问题。我的平面几何很烂，不过有一道题我觉得很有意思： 问题 2：如图 4，梯形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，AD、BC 相交于 E，EO交线段 AB 于点 F，求证：AF=BF.本题的证明方法较多，除了上述的方法之外，还可以连续利用相似形，DH = ED = DC = DO = DH ,得 AF=FB.AF EA AB OB FB

8、 也可以直接在ABE 中使用塞瓦定理获得证明；还可以用面积方法证明.一个题目负载了众多不同的解法，且风格迥异，因此成为初等几何的一道典型问题.更何况它颇有来历：问题 3：(1978 年全国中学生数学竞赛)在平面上有两点 A、B 和 平行于 AB 的一条直线，只用直尺(不用圆规)作出线段 AB 的中点.该问题出自于苏步青先生，华罗庚先生在给出的证明中指出了本 问题包含了仿射几何的基本原理. 图 4 其实给出了作法：在 l 上任意取点 C、D，延 长 AD、BC 相交于 E,连接 BD、AC 相交于 O，连 接 EO 交线段 AB 于 F，则 AF=FB 问题2 的解法则证明了作法的正确性.图 4

9、这个题在我看来是很神奇的，只用到平行就证明了两条线段相等的证明！195.“超级”了反而简单了一个数列小题解答如下:这个小题的解决，发现规律不难；比较容易忽视的是 2,2020,2022.。这个数列，因为它的第二项就是 2020，是不符合前面的思路的。如果从一开始就分类讨论就比较好：（1） 第二项是 2020.。（2） 第二项不是 2020.。206.多解一小题三角形中带系数的线段和2122三角形两边之和大于第三边+极限想法，最小值大于 237.等差数列前 n 项和与通项公式的函数图像关系这个话题的由来，是我在看一个机构的网课时，老师提到这个公式：23等差数列中，根据S 的式子，快速地求出 a

10、，这个公式当然是有价值的，在考场上n n缩短几秒钟都是有价值的！不过，我还是觉得公式 a = 2An + (B - A) 还是不够“自然”，n或者说不太好记忆，这里面是不是有什么东西在隐藏着？当然，我们知道它其实是来自a = S - S - ，它是一个推导后的结果，它长的就是这样的！n n n 1正好两个公式放在一起，两项对比，容易发现 S =A n2 + B n如果对 n 求导得nS '=2An+ B，与 a = 2An + (B - A) ，很像但不完全一样，为什么不一样呢，二者有什么n n关系？我们在“中国数学解题研究会”QQ 群展开了讨论：【LV5】重庆 冉洪涌 2020/4/

11、7 22:06:49唐山齐建民那是因为求导后数列变了，【LV2】四川成都苏文玉 2020/4/7 22:09:28因为数列是差分【LV2】四川成都苏文玉 2020/4/7 22:09:41没有极限。【LV2】四川成都苏文玉 2020/4/7 22:10:19直线的差分任何地方斜率都相等，二次函数差分应该对应两个点中点的斜率【LV4】河南郑州刘登成 2020/4/7 22:11:32an 是 n 的一次函数，求导后 d；Sn 也是 an 的一次函数，求导后是 d/2，没什么毛病，因为函数的表达式不同，求导结果不同【LV4】河南郑州刘登成 2020/4/7 22:12:57数列本来就是函数图像上的

12、一点离散的点24【LV4】河北正中张书彬 2020/4/7 22:14:30数列离散函数，处处不可导【LV2】四川成都苏文玉 2020/4/7 22:14:38这个问题是一个很好的问题。【LV2】四川成都苏文玉 2020/4/7 22:14:48我明天问我高一学生最后，我的思考结果是这样的：258.有点怪的数列问题（本题来自“极优数学解题研究会”QQ 群，群号 472989459）269.一道错题（三角形内求角条件是角构成的不等式）也不知道是谁这么认真地编辑了一道错题。这里有人也许会问（其实是我想说）：你们这些老师为什么这么认真地做一道错题？回答： 我们对每一道遇到的数学题都是怀着虔诚的心的，

13、都力争给它一个完美的解答； 潜意识里，我们认为每一道题都应该是科学的，不存在瑕疵的。10.一道错题（二元条件最值）272 - x xf (x) = x(2 - x) + +2x 2 x2-我用上了新买的小米巨能写也没有做出来。下面是我做的几次尝试：28图像显示，是没法手工解出这两个极值点的。也就是说，这个是错题。11.这题很难的sinx+sin2x+sin3x 的上界（来自公众号杨志明数学角）293031323334我兴趣特别大的是这个细节：怎样把根号去掉，放缩， 2 1 2 5 (1 2 ) 4t -t £ -t + ，开始我以为是切线放缩，但仔细一看4 5 右边是二次，那肯定不是

14、了，画出图形是这样的：35探索这种放缩怎么来的，已经超出了我的能力范围，所以我决定还是按照切线放缩的方法来尝试一下：也就是设 2t 1-t2 £ at + b，那么切点选在哪儿就很重要，一个必须便于计算，二要接近极值点（计算可得极值点是 0.7 多）。考虑到左边求导含根式，而且根号里是1-t2 ，要便于开方，这样就想到了勾股数，取t = 0.8，最后计算失败！这个放缩不行。3612.原来你也在这里隐藏在双曲线里的米勒问题37直线 x=a 与 x 轴正好垂直，符合上面截 图里的结论适用条件：则有 2a(a + c) < b 解得e > 33813.一个很小巧的向量题很显然下

15、面的解法更简洁。怎么想到这个解法呢？还是回归到问题的情境中，要积极联想。外接圆，直径。直角。向量数量积的公式。射影。3914.同构一题同构的题，几乎每天都能遇到。4015.二元最值问题褚小光老师给出的 2 种解法，不愧是不等式专家，用的都是我学不会的方法 。41另外有老师说三角代换也可以，我没有做到底。然后我就看到一个类似题，同样也是换元，把两个变量求出来，方法有相似之处。解法如下：4216.椭圆中四边形面积问题（来自公众号“绍兴高中数学”）文中给出下面的解法一开始我看到这个解法的时候，我是有点诧异的，我有点怀疑的是：这样的解法能否保住满足那个条件“ PM = 2MQ ”，作者提供了“特别地。

16、”，是在说明解的存在性。43将问题转化后，我们要解决的问题是：椭圆上任意两点与中心构成的三角形面积的最大值，这是一个已有定论的问题，我搜到的信息如下：相关资料椭圆中的中心三角形题目一： y = kx + m 与椭圆x y2 22 + 2 =1交于 A ， B 两点，则a bb ab2k ×k = - Û k a + b = m Û S =2 22 2 2 2OA OB DOABa 2提示：记忆方式利用直线与椭圆相切的公式特点记忆。ì = +y kx míîb2 x2 + a2 y2 - a2b2 = 0， (b2 + k2a2 )x2

17、 + 2kma2 x + a2 (m2 -b2 ) = 0 ，D = 4a b (k a + b - m ) > 0 ，2 2 2 2 2 2-2kma2x + x =1 1 2 2 + 2k a b，a (m -b )2 2 2x × x =1 1 2 2 2k a + b，b y y b b2 2 2k ×k = - Û × = - Û kx + m × kx + m = - x x1 2 ( ) ( )OA OB 1 2 1 22 2 2a x x a a1 2b b a (m -b ) -2kma2 2 2 2 2 2(

18、k + )x x + km(x + x ) + m = 0 Þ (k + ) + km + m = 02 2 2 2a a k a + b k a + b2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2，化简得： k2a2 + b2 = 2m2 。+ - 2 2m ab 2m - m m1 1 2ab k a b m ab 2 2 2 22 2 2 2S = AB ×d = 1+ k × × = =2DOAB2 2 k a + b 1+ k 2m 22 2 2 2 2。题目二： y = kx + m 与椭圆x y2 22 2 1+ = 交于 A ， B 两点

19、，则a babSD £ ，当且仅当k2a2 + b2 = 2m2 时等号成立。 OAB21 1 2 2 2 + 2 - 2 1 2 2 2 + 2 - 2 2ab k a b m m ab k a b m m简证： = × = + × × = ×S AB d 1 k2 DOAB2 2 2 2 + 2 1+ 2 2 2 2 + 2k a b k k a b1 ab(k a b m m ) ab2 2 + 2 - 2 + 2£ × =2 k a b 22 2 + 2，当且仅当k2a2 +b2 - m2 = m ，即 k2a2 +

20、 b2 = 2m2 时均值不等式中的等号成立。441解法 2：设 A(acosa,bsina), B(acos b,bsin b) ，则 SD = x y - x yOAB 1 2 2 12 1 ab ab= abcosa sin b - absina cos b = sin(a - b) £ 。 2 2 2注意：椭圆参数方程中参数的几何意义不是极角。题目三： y = kx + m 与椭圆x y2 22 + 2 =1交于 A ， B 两点，则a b(k +1)a b ab a b ab2 2 2 2 2OA OB Û = m Û d = Û £

21、 S £2DOABa2 b2 a2 b2 a2 b2+ + +2ì = +y kx míîb2 x2 + a2 y2 - a2b2 = 0， (b2 + k2a2 )x2 + 2kma2 x + a2 (m2 -b2 ) = 0 ，D = 4a b (k a + b - m ) > 0 ，2 2 2 2 2 2-2kma2x + x =1 1 2 2 2k a + b，a (m -b )2 2 2x × x =1 1 2 2 2k a + b，OA OB Û (kx + m)×(kx + m) = -x x1 2 1

22、2a (m -b ) -2kma2 2 2 2(k 1)x x km(x x ) m 0 (k 1) km m 02 + + + + 2 = Þ 2 + + + 2 =，1 2 1 2 2 2 2 2 2 2k a + b k a + b化简得：(k +1)a b =2 2 2a + b2 2m2。4a b (k a +b -m ) (1+ k )(k a +b ) 4a b k a +b +(a +b )k 4a b2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 4 2 2 2AB = (1+ k )× = × = ×2 2(k a b

23、 ) (k a b ) a b k a b 2a b k a b2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 2 + 2 4 4 + 4 + 2 2 2 2 + 2(a - b ) k 4a b (a -b ) 4a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= (1+ )× = (1+ )× £ a + b， k a b a b k a b a b4 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2+ + 2 + + b + +k a 2a b2 4 2 2k2当且仅当k= b 时均值不等式中的等号成立。当 k b= 时 ABa a2³4a b2 2a +

24、b2 21 1 ab abSD = AB ×d £ × a + b × =2 2OAB2 2 22 + 2a b。当且仅当kb= 时面积取得最大值。aa b ab2 2£ S £a2 + b2 2DOAB，当 k = 0或 k 不存在时，面积取最小值。解法 2：极坐标法：x y2 22 + 2 =1的极坐标方程为a bcos sin 1a2 a 2+ = ，a b2 2 r 245cosa sina 12 2+ = ，a b r2 2 2Ap pcos(a + 2) sin(a + 2) sin a cos a 12 22 2+ =

25、+ = ，a b a b r2 2 2 2 2B两边相加得：1 1 1 1 1 1 2 1 a b + = + = + ³ = Þ S ³2 2a b r r OA OB OA × OB S a +b2 2 2 2 2 22 2 DOABA B DOAB，当且仅当 OA = OB 时，即 k = 0或 k 不存在时，面积取最小值。可以看到，这个三角形面积取得最大值时，是当 A，B 在长轴、短轴端点的时候，这是取的最值的点，是唯一的。那么看一下，这个时候是否能满足那个条件“ PM = 2MQ ”。那么 PQ 与 OA 的交点为 M,设 Q 点从 B1 位置

26、逆时针沿着椭圆运动， 则 PM 与 MQ 的比值从 1 开始，逐渐变大，中 间 一 定 会 有 个 位 置 满 足 二 者 之 比 为 2 ， 甚 至 为 3 ，。从这个题我想说到解题的逻辑，或者说流程，见到一个题，我们往往会把这个题不断转化，就是把一个复杂的问题，不断转化为一个一个小的，简单的问题，甚至会把原问题转化为一个变化比较大的新问题，把这个新问题解决了，再回到原问题。在这个过程里要注意等价。你的转化一定得是等价的。也就是新问题一定和原问题保持等价，等价转化，等价变形等。有些解题过程，只是利用了题目的一个必要条件，所谓“必要条件探路”，那这种解题思路，得到结论后，就必须进行检验。是否完全符合题意，所谓充分性的满足。4617.二次函数系数构成的最值问题（来自公