线性代数§6.3

1、 在上一节中，数域在上一节中，数域F上的任一二次型，都可经过上的任一二次型，都可经过适当的非退化线性变换化为标准形。但标准形不唯一。适当的非退化线性变换化为标准形。但标准形不唯一。问题：能否找到有关标准形的不变量？问题：能否找到有关标准形的不变量？一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为

2、下面我们限定所用的变换为实变换实变换，来研究，来研究二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质定理定理：（惯性定理）：（惯性定理）对于一个对于一个 n 元二次型元二次型，Tx Ax不论做怎样的可逆变换使之化为标准形，其中正平不论做怎样的可逆变换使之化为标准形，其中正平方项的项数方项的项数p和负平方项的项数和负平方项的项数q都是唯一确定的。都是唯一确定的。或者说，对于一个或者说，对于一个 n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，不论取怎样，不论取怎样的可逆矩阵的可逆矩阵C，只要使，只要使1100ppTp qdddC ACd0(1,2,),idipqpqn成立，则成立，则 p 和和 q 是由是由

3、A唯一确定的唯一确定的.证明：设证明：设 中的正数个数为中的正数个数为p，而，而 中中的正数个数为的正数个数为q，则，则p=q.用反证法：由用反证法：由 故有故有即即 设有实二次型设有实二次型 它的秩为它的秩为 ，有两个实的，有两个实的可逆变换可逆变换 及及 使使及及 则则 中正中正数与数与 中正数的个数相等。中正数的个数相等。 Tfx Ax rxP y 1xP z 2 rrifk yk yk yk22211220 rrifzzz22211220,kkr1,r 1,kkr1,r 1,xp y xp z 12p yp z 12即即 且且 zpp y 121pppprrqqqqrrk yk yky

4、kyk yzzzzz 2222211221122222112211设设nnnnnnllllllpplll 111212122212112（*）故有故有qqqqppnnqqqqqqqqqqppqnnqqqqqqqqqqppqnnnnnnqqzlylylylylylyzlylylylylylyzlylylylylylyzlylyly 11111221111111122111111221111111122nqqnppnnnlylyly 11（1）考虑方程组考虑方程组nnqqqnnpnlylylylylylyyy 1111221112210000即即qzzz 120（2）由方程组（由方程组（2）含有）

5、含有n个未知量，而含有个未知量，而含有q+(n-p)=n-(p-q)q 不正确，从而我们有：不正确，从而我们有： pq 同理可证：同理可证： 所以所以 qp pq 由定理知：由定理知：1）在实可逆变换下，二次型标准形中的）在实可逆变换下，二次型标准形中的正项与负项数是确定的常数，不因变换的改变而改变，正项与负项数是确定的常数，不因变换的改变而改变，正、负项数之和为正、负项数之和为()r Ar 2）在实可逆变换下，若正、负项之和为）在实可逆变换下，若正、负项之和为 ，则，则A的特征值中的特征值中0特征值的个数为特征值的个数为 个。个。()r Ar ()nr Anr 定义：定义：二次型二次型Tx

6、Ax的标准形中，正平方项的项数的标准形中，正平方项的项数（即与（即与A合同的对角阵中正对角元的个数），称为二合同的对角阵中正对角元的个数），称为二次型（或次型（或A）的）的正惯性指数正惯性指数；负平方项的项数（即与负平方项的项数（即与A合同的对角阵中负对角元的个数），称为二次型（或合同的对角阵中负对角元的个数），称为二次型（或A）的）的负惯性指数负惯性指数；正、负惯性指数的差称为；正、负惯性指数的差称为符号差符号差；正、负惯性指数的和为矩阵正、负惯性指数的和为矩阵A的秩，也是二次型的秩的秩，也是二次型的秩. 设设n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的秩为的秩为r，正惯性指数为，正惯性指数为p，则负，则

7、负惯性指数为惯性指数为qrp，与，与A合同的对角阵的零对角元的合同的对角阵的零对角元的个数为个数为nr. 有定义和定理知，二次型的正、负惯性指数有定义和定理知，二次型的正、负惯性指数以及符号差是惟一的。以及符号差是惟一的。从这里知道，要求二次型的秩，有两种方法：从这里知道，要求二次型的秩，有两种方法：（1）求二次型对应的矩阵的秩；）求二次型对应的矩阵的秩；（2）将二次型化为标准形）将二次型化为标准形(用可逆变换用可逆变换)，标准，标准形中的项数即为二次型的秩形中的项数即为二次型的秩.例例1：求二次型求二次型(,)()()()f x xxxxxxxx222123122331的秩的秩.解：解：(,

8、)()()()f x xxxxxxxx222123122331xxxx xx xx x222123122313222222f 对应的矩阵为对应的矩阵为211121112A 下面求矩阵下面求矩阵A的秩，的秩， 因为因为213012即即A中有一个非零中有一个非零2阶子式阶子式且且|A|=0,所以所以r(A)=2,从而二次型的秩为从而二次型的秩为2.也可用初等变换的方法求也可用初等变换的方法求A的秩的秩另解：另解：(,)()()()f x xxxxxxxx222123122331xxxx xx xx x222123122313222222()xx xx xxxx x2221121323232222(

9、)xxxxxx xxxx x 2222212323232323111122222222222123232311332()32222xxxxxx x 22123231132()()222xxxxx 即做可逆线性变换即做可逆线性变换1123223331122yxxxyxxyx即即11232233312xyyyxyyxy得到的标准形中只有两项，所以秩为得到的标准形中只有两项，所以秩为2.推论：推论：设设A为为n阶实对称矩阵，若阶实对称矩阵，若A的正、负惯性指数的正、负惯性指数分别为分别为 p 和和 q，则，则(1,1, 1, 1,0,0)Adiag其中有其中有 p 个个 1，q 个个 1，n（pq）

10、个）个 0.或者说：对于二次型或者说：对于二次型Tx Ax,存在坐标变换存在坐标变换xCy，使得，使得222211ppp qAyyyyTxx =事实上：任一二次型事实上：任一二次型( ,)TTTTf x x xx Axy p Apyyy 123其中其中(, )pprdiag kkkk 1100取取(, )prpQdiagkkkk 11111111则则(,)TTTTTTTpprf x xxx Axy p Apyyyz QQzz Dzzzzz 123222211其中其中TQQ 111100定义：定义：若若222211Tppp qx Ax = yyyy则称二次型则称二次型222211ppp qyyy

11、y为二次型为二次型ATxx的标准规范形的标准规范形, 称对角矩阵称对角矩阵(1,1, 1, 1,0,0)diag为矩阵为矩阵A的合同规范形的合同规范形.(1)两个两个n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A与与B合同合同A和和B有相同的正惯性指数和负惯性指数有相同的正惯性指数和负惯性指数.(2)全体全体n阶实对称矩阵，按其合同规范形分类，共有阶实对称矩阵，按其合同规范形分类，共有(1)2n n 类（不考虑类（不考虑1，1，0的排列次序的排列次序).等价（相抵）变换等价（相抵）变换保秩。保秩。相似变换相似变换保秩，保特征值，保行列式。保秩，保特征值，保行列式。合同变换合同变换保秩，保正、负惯性指数，保秩，保

12、正、负惯性指数， 保对称性，保正定性。保对称性，保正定性。例例2 设设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正、负是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正、负惯性指数均为惯性指数均为1，且满足，且满足 计算计算| |AIAI 0|AI 32解：解：由题设知，二次型的符号差为零，且由题设知，二次型的符号差为零，且, 1211都是二次型矩阵都是二次型矩阵A的单特征值，故二次型的标准形为：的单特征值，故二次型的标准形为：fyyy2221230所以所以 是其另一个特征值，是其另一个特征值， 30 又又 的特征值为的特征值为 ： 即为即为32AI 321,2,3ii 2, 1,5 所以所以 |32 |2 (

13、 1) 510AI 例例3 求二次型求二次型 的惯性指数。的惯性指数。(,)f x xxxx x21231232解：作变换解：作变换|xyxyyxcycxyy 112233230所以所以 故二次型的正、负惯性指故二次型的正、负惯性指数分别为数分别为2，1 fyyy2221232将一个二次型化为标准形将一个二次型化为标准形, 可以用可以用正交变换法正交变换法, 也也可以用可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法, 或者或者其它方法其它方法, 这取决于问题这取决于问题的要求的要求. 如果要求找出一个正交矩阵如果要求找出一个正交矩阵, 无疑应使用正交无疑应使用正交变换法变换法; 如果只需要找出一个可逆的线

14、性变换如果只需要找出一个可逆的线性变换, 那么各那么各种方法都可以使用种方法都可以使用. 正交变换法的好处是有固定的步正交变换法的好处是有固定的步骤骤, 可以按部就班一步一步地求解可以按部就班一步一步地求解, 但计算量通常较大但计算量通常较大; 如果二次型中变量个数较少如果二次型中变量个数较少, 使用拉格朗日配方法反使用拉格朗日配方法反而比较简单而比较简单. 需要注意的是需要注意的是, 使用不同的方法使用不同的方法, 所得到所得到的标准形可能不相同的标准形可能不相同, 但但标准形中含有的项数必定相标准形中含有的项数必定相同同, 项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩. f = x1x2 + x1x3 + x2x3化二次型化二次型为标准形为标准形, 并求所用的线性变换矩阵并求所用的线性变换矩阵. 33212211yxyyxyyx由于所给二次型不含平方项由于所给