《圆的参数方程》(优质课)

1、sincosrbyrax（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标标x 、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并且对于并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的的每一个允许值，由上述方程组所确定的点点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的做这条曲线的参数方程参数方程 ，联系，联系x、y之间关系的变数之间关系的变数叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。参数方程的参数可以是有。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的物理、几何意义的变数，也可以是没有

2、明显意义的变数。变数。)()(tgytfx（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。即的函数都是纵坐标、的横坐标点根据三角函数定义圆半径为的坐标为如果点,),(0yxPOPPryxPsincosryrx并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组所由方程组所确定的点确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上. o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？的圆的参数方程是什么呢？-555-5rp0P(x,y) 我们把方程组

3、叫做圆心在原点、半径为我们把方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，的圆的参数方程，是参数是参数.?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaOsincosrbyrax例例1 1、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它，将它化为参数方程。化为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)练习：

4、练习： 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是sin5cos5yx(0 2 )如果圆上点P所对应的参数 ，则点P的坐标是 35 5 5 32,22QQ如果圆上点 所对应的坐标是则点 对应的参数 等于235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 选择题：参数方程为参数 表示的曲线是圆心在原点 半径为 的圆圆心不在原点 但半径为 的圆不是圆以上都有可能A半径为表示圆心为参数方程、填空题sin2cos2) 1 (:3yx的圆，化为标准方程为化为参数方程为把圆方程0142)2(22yxyx（2，-2）112222yxsin22cos21yx例3例例2. 如图如图,

5、已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为例例2. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+

6、y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得: 点点P的坐标为的坐标为(2x- -12,2y)(2x- -12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x- -6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例2. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的

7、一个动点, 点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动上动点，求（点，求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3）P到直线到直线x+y- 1=0的距离的距离d的最值。的最值。 解：圆解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为sin2cos3yx由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2

8、+sin），），（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).13(其中其中tan =3/2) x2+y2 的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14- 2 。1313(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）24 x+y的最大值为的最大值为5+ ，最小值为，最小值为5 - 。 22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（ + ）= 1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ， 。4122221小小 结结: :1、圆的参数方程、圆的参数方程2、参