322圆的切线的判定、性质和画法

1、点、直线与圆的位置关系，点、直线与圆的位置关系，圆的切线圆的切线本课内容本节内容3.23.2.2 圆的切线的判定、圆的切线的判定、 性质和画法性质和画法 工人用砂轮磨一把锉刀，火花是顺着工人用砂轮磨一把锉刀，火花是顺着什么方向飞出去的？什么方向飞出去的？观察观察画一个圆画一个圆O和一条半径和一条半径OA，探究探究过点过点A作直线作直线l与与OA垂直，如图垂直，如图3-32.图图3-32l（1）圆心）圆心O到直线到直线l的垂线段是什么？的垂线段是什么？垂线段是垂线段是 .半径半径（2）圆心）圆心O到直线到直线l的距离等于多少？的距离等于多少？距离等于距离等于 .半径半径（3）直线）直线l与圆与圆

2、O的位置关系怎样？的位置关系怎样？直线直线l是圆是圆O的的 线线.切切结论结论切线的判定定理切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线这条半径的直线是圆的切线.例例2 已知：如图已知：如图3-33，AD是圆是圆O的直径，的直径， 直线直线BC经过点经过点D，并且，并且AB=AC， BAD=CAD. 求证：直线求证：直线BC是圆是圆O的切线的切线.举举例例图图3-33证明证明 因为因为 AB=AC，( (已知已知) )所以所以ABC是等腰三角形是等腰三角形.因为因为BAD=CAD，所以所以AD是等腰三角形是等腰三角形ABC的顶角平分线的顶角平分线.

3、从而从而 ADBC.( (等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理) )于是于是 ODBC.又因为又因为OD是圆是圆O的半径，的半径，且且BC经过点经过点D，所以直线所以直线BC是圆是圆O的切线的切线.( (切线的判定定理切线的判定定理) )1. 垂直于半径的直线一定是圆的切线吗？垂直于半径的直线一定是圆的切线吗？练习练习答：答：不一定不一定. 如图如图2. 经过半径外端的直线一定是圆经过半径外端的直线一定是圆 的切线吗？的切线吗？答：不一定，答：不一定，如图如图3. 已知：如图已知：如图3-34，直线，直线AB经过圆经过圆O上的上的 点点C，并且，并且OA=OB，AC=BC. 求证：直线求证

4、：直线AB是圆是圆O的切线的切线.答：连接答：连接OC，由由OAC OBC得得ACO=BCO=90，OCAB于于C.直线直线AB是圆是圆O的切线的切线 ( (切线的判定定理切线的判定定理) ). . 如图如图3-35，直线，直线l是圆是圆O的切线，切点的切线，切点为为A，圆，圆O的半径为的半径为r.探究探究（1）圆心）圆心O到切线到切线l的垂线段的长度等于什么？的垂线段的长度等于什么？ 圆心圆心O到切线到切线l的垂线段的垂线段的长度是圆心的长度是圆心O到切线到切线l的距的距离离d，从而它等于半径，从而它等于半径r.图图3-35r（2）由于圆心由于圆心O到切线到切线l的垂线段的长度等于的垂线段的

5、长度等于 半径半径OA的长度，且点的长度，且点A在切线在切线l上，因此上，因此 圆心圆心O到切线到切线l的垂线段就是的垂线段就是 .圆的半径圆的半径图图3-35r结论结论切线的性质定理切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点圆的切线垂直于过切点 的半径的半径.例例3 如图如图3-36，直线，直线l是圆是圆O的切线，切的切线，切 点为点为A，OBA=40，求，求AOB.举举例例解解 由于线段由于线段OA是过切点的半径，是过切点的半径，因此因此OAl，从而从而OAB=90，于是于是 AOB= 90- -OBA= 90- -40= 50.图图3-36例例4 求证：经过直径两端点的切线互相平行求证：经过直

6、径两端点的切线互相平行. 已知：如图已知：如图3-37，AB是圆是圆O的直径，的直径，l1， l2 分别是经过点分别是经过点A，B的切线的切线 求证：求证： .举举例例证明证明 因为因为OA是圆是圆O的半径，的半径，l1是过点是过点A的切线，的切线，所以所以 l1 OA.( ( ) )同理同理 l2 OB.从而从而 l1 AB，且，且l2 AB.因此因此 l1 l2 .( ( ) )图图3-37l1l2切线性质定理切线性质定理 在同一平面内，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行例例5 过圆过圆O上一点上一点A画圆画圆O的切线的切线.举举例例分析分析 过圆过

7、圆O上一点上一点A的切线的切线l与半径与半径OA有什有什 么关系？么关系？作法作法：（：（1）连结）连结OA；据切线的性质定理，据切线的性质定理，lOA，由此受到启发，过点由此受到启发，过点A作一条直线作一条直线l与与OA垂直，据切线的判定定理，垂直，据切线的判定定理，l就是圆就是圆O的的切线切线（2）过点）过点A作直线作直线l与与OA垂直垂直.直线直线l就是所求作的切线，就是所求作的切线，如图如图.Al1. 图图3-39是某手表的圆形表盘的示意图，是某手表的圆形表盘的示意图， 两个圆的圆心都是两个圆的圆心都是O，大圆的弦，大圆的弦AB所所 在直线是小圆的切线，切点为在直线是小圆的切线，切点为C. 求证：求证：C是线段是线段AB的中点的中点.练习练习答：答：连接连接OA，OB，OC，则则OA=OB. AB是小圆的切线，是小圆的切线， OCAB. AC=BC.( (等腰三角形性质定理等腰三角形性质定理).).2. 证明：圆心到圆的割线的距离小于半径证明：圆心到圆的割线的距离小于半径.答：答：已知：如图，已知：如图， 直线直线PAB是圆是圆O的割线，的割线， OCPB，垂足为，垂足为C. 求证：求证：OCOB. 证明：证明：OC是垂线段，是垂线段， OCOB( (垂线段最短垂线段最短).).中考中考 试