浅谈美育在数学教学及解题中的作用

1、浅谈美育在数学教学及解题中的作用云和中学 梅林峰摘要：本文通过对数学教学中体现出的美育教学及解题方式的整理与归纳，初步分析了数学美在教学中的潜在作用及其在解题中的宏观指导作用，通过对数学美感的分析、挖掘，使学生在解题中感受、发现数学美，促进学生思想素质的培养与训练。关键词：数学美、学生、宏观指导数学美这一名词在数学教育界已不是什么新概念了，和任何感觉一样，人们对于美感也具有强烈的感情色彩。我们已经知道，数学具有简单美、和谐美、奇异美、对称美等特征，但由于数学美蕴藏于它特有的抽象符号、严格语言、演绎体系中，没有象音乐中抒情的旋律、美术中鲜艳的图画、文学中动人的诗歌那样有华丽诱人的服饰，因此，一般

2、人往往觉得数学单调枯燥、神秘莫测，难以唤起审美的情趣，给美育在数学教学的实施带来不小的难度。那么，如何实现数学美在教学及解题中的潜在作用呢？本文通过数学教学的现状及数学美在具体解题过程中的指导作用出发，对此作一初步论述。一.数学美在教学中的潜在作用(一) 激发求知兴趣凡是有兴趣于某事物，人们总是会想办法去接近它、认识它、获得它，并对它产生愉快情绪的体验。因此，兴趣是求知的重要动力，没有兴趣，人们是不可能积极主动的学习的。数学教学的成败，很大程度上取决于能否激发起学生对数学学习的兴趣。这种兴趣产生于教学过程中学生对艺术性、趣味性、惊奇性等的精神感受。学生对数学学习的主动性、积极性固然与他们的正确

3、的学习目的和方法有关，但是也与兴趣密不可分。而所学内容中的数学美因素，能使学生产生兴趣，从而刺激和调动他们学习数学的主动性和积极性。因此教师应充分运用数学美的感染力，以引起学生浓厚的学习兴趣、强烈的探求欲望。(二)启迪思想活动 开发智力，提高能力的核心是发展思维。在数学学习中，一个数学题的解法是否合理，除了有实际标准和逻辑标准之外，还有美学标准。当一种解法尚未达到数学美的境界时就必须按照美的规律加以改进。学生对于解法美的追求，启迪和推动了他们的数学思维活动，使逻辑思维、灵感思维交融促进，使他们的聪明才智获得充分的发展。通过具体的例子，说明了学生在求“真”和求“善”的基础上，刻意求“美”，在追求

4、解法最优，结论最美的思维活动中发展了自己的创造能力。（三）深化理解知识在数学学习中，数学美作为一种诱因，往往能促进学生对数学知识的理解和掌握。根据数学美的和谐性特征，让学生对前、后知识进行比较，理解他们的内在联系，从而形成知识的有序结构和解题方法体系，这对减轻他们的学习负担、提高学习效率无疑有积极的意义。具体生动的数学美不但可以给学生以美的享受，而且还能启迪学生思维深化的方向，对深入理解所学的数学知识起到了促进作用。（四）陶冶思想情操爱美是人的天性，人之爱美，在青少年时期尤为突出。因此，审美教育必须抓住这个最佳时期，当然，审美教育在形式上应是自由的、生动活泼的，它不应带有法制教育、那种强制性，

5、也无须带有道德教育那种约束性。事实上，审美教育是让学生在美的享受之中开启心灵，引起精神的升华。数学美是美的一种高级形式，如果教师能在课堂教学中利用生动的材料，以数学美的魅力拨动学生的心弦，使他们在享受数学美的愉悦中增长知识、受到教益，并在情感上产生共鸣，就能收到陶冶情操的良好效果。 二、解题中的宏观指导作用（一）简单美 简明就是一种美。法国哲学家狄德罗说过：“数学中所谓美的问题，是指难解决的问题，而所谓美的回答，则是指对难解决问题的简单回答。”有很多数学题，其表面形式很复杂，但是，其本质总是存在简单的一面，在解题过程中，应当引导学生认真观察、分析问题，找到问题的本质特征，寻求简洁解法。 例1

6、已知：方程 (a2-2b2) x2 + (2b2-2c2 ) x + 2c2- a2 = 0 有两个相等的实数根， 求证：a2=b2+c2 .析证：这类问题一般是用判别式解证，但运算繁琐。经过观察可以发现方程各项系数和等于零，从而知方程必有一根为1，又因为方程两根相等，故两根均为1，于是由韦达定理，得 a2-2b2= 2c2 èa2=b2+c2 .这种证法一举抓住了问题的关键，证题过程明快、流畅、简洁、透彻，能给人一种美的享受。例2 现用一扇形卷成一圆形容器，欲使该容器的容积等于2，扇形半径至少等于多少？解题思路：求出当扇形半径为r时，所卷成的圆锥形容器容积的最大值，再令此最大值等于

7、2，解出r.说明：这是一道条件与结论都非常简洁的题目，把一个求最值的问题，统统隐含在“至少”二字当中。略解：设扇形半径为r，圆心角为，则所卷成的圆锥形容器的容积为V=·2 求得 Vmax = ，令 =2 得 r = 3（二）和谐美希腊数学家裴安认为，和谐是复杂的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。在教学中不断向学生揭示和谐的数学美，使其明确数学内容尽管丰富多彩，却处于和谐的统一体中，教学方法虽然绚丽多姿，却能互相转化、结合。让学生在品味和谐美的同时，养成对一个问题能从多方面考虑，对一个对象能想出不同的解法。从而为打通解题途径奠定基础。一个和谐的数学命题往往可启迪我们的

8、解题思路。例1 已知：数列an为等差数列（公差d=0），an的部分项组成的数列ak1，ak2，ak3，ak4，。，akn，恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17 求：k1+k2+k3+。+kn 。说明：此题将等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式的应用有机的综合在一起，毫无拼接的痕迹，给人以一气呵成的感觉。略解：ak1=a1，ak2=a5=a1+4d=a1q，ak3=a17=a1+16d=a1q2，由以上式子可得 a1=2d，q=3 所以 akn=a1+(kn-1)d=( kn+1)d 又 akn=a1qn-1=2d·3n-1 所以 (kn+1)d=2d·3n

9、-1 kn=2·3n-1-1 所以 k1+k2+k3+。+kn = -n=3n-1-n 例2 已知： + + + =1； + + + =1；+ + + =1； + + + =1 。求： x2 + y2 + z2 + w2 的值析解：已知的四个方程井然有序，给人以和谐的美感，于是凭直觉能预感到，如果贸然通分，分别求解x2，y2，z2，w2，就会破坏这种美的形式，势必运算浩繁！但从方程严整的规律中发现22，42，62，82这四个数可以看成是关于t的方程 + + + = 1 的四个根。把这四个方程去分母，整理，得 t 4- ( x2 + y2 + z2 + w2 +12 + 32 + 52

10、 + 72 ) t3+。= 0 由四次方程的韦达定理，得 x2 + y2 + z2 + w2 +12 +32 +52 +72 = 22 + 42 + 62 + 82 è x2 + y2 + z2 + w2 = 8+7+6+5+4+3+2+1=36 从命题的美中得到启示，在和谐美的指引下，就找到了美的解法。(三)奇异美大发明家爱迪生叫他的助手计算一只灯泡的容积，由于灯泡不是规则的几何体，这位助手算了半天也没有结果，而爱迪生用灯泡装满水后倒入量筒，一下子就得出了灯泡的容积。两种方法，繁简竟有天壤之别，爱迪生的方法之妙出人意料，令人拍案叫绝。这就是解法的奇异美。数学题有一般的规律和解题模式

11、，但每道数学题又都有各自特殊的性质，这些特殊的性质构成了数学的奇异美。用数学的奇异美思想作指导，在求解某些问题的时候，可突破常规思路，找到别开生面、出奇制胜的解法。例1 比较 ，的大小。析解：用常规方法是化为同分母后比较分子的大小，但运算量太大！从问题的方面着手，通分子，思想豁然开朗。四个数分别是，结论自明。由本题可以看出：奇异之美在于敢“异想天开”，独辟蹊径。例2 已知椭圆中心在坐标原点O，一条准线的方程是x=1，倾斜角为45o的直线L交椭圆于A 、B两点，设线段AB的中点为M，直线AB与OM的夹角为a，（1）当a = arctan2时，求椭圆方程。（2）当arctan2 < a &l

12、t; arctan3时，求椭圆短轴长的范围。分析：此题是一道求椭圆标准方程的题目。第一个条件很普通，第二个条件具有一定的奇异美。我们知道椭圆的一组平行弦的中点轨迹是椭圆的一条直径，因此尽管L不定，但因L的倾斜角已定，故OM的斜率仍然是确定的（可用方程中的待定系数表示），题中的第(2)小题与第(1)小题配对是很和谐的，第(1)小题中的a是一个确定的角，因而椭圆也就确定了，便存在一个求椭圆方程的问题，第(2) 小题中a在某一范围内变化，便产生了求短轴长的范围的问题。略解：（1）由已知得 = 1 ，可设椭圆的方程为 + = 1.(*) 设L 的方程为 y = x + m.(*)由（*）（*）消去y

13、得 ( 2 c ) x2 + 2mx + m2 + c2 c = 0由上式可得 M ( ， ) 所以 kom = c - 1 而 | | = 2 所以 | = 2 解得 c = 故椭圆方程为 + = 1(2) 由 2 < | < 3 解得 < c < 而 b = 所以 < 2b < 1 。 (四) 对称美数学中的对称因素俯拾即是，对称式、对称图形、对称结构、对称变化等无不显示数学美的魅力。在教学中引导学生追求对称美，启发学生认识和掌握它的规律，发掘图形和数量之间对称的特点，可以使思维的合理性得到培养和训练。对称的条件能够导致对称的结论，也可以运用对称的方法求

14、解。例如在平面几何中，当图形是轴对称，或图形的某些部分关于直线对称时，我们常通过对称变化构造对称图形，使分散的条件相对集中，以沟通已知和未知的关系，打通解题途径。例1 如图，CD和BE分别是ABC中ACB和ABC的外角平分线，CDAD，AEBE，若BC=a，CA=b，AB=c，求ED的长。 A E DF B C G 析解： 从图形上看，EB和BC可能是平行的，于是猜想ED是某个三角形的中位线，但如何构造出猜想的三角形呢？由于已知中有对称的条件，由对称美的追求不难想到把BEA沿BE翻折到BEF，把CDA沿DC翻折到CDG，得AFG，容易证明ED就是AFG的中位线。所以ED= 。例2 已知： 0

15、< a < 1，0 < b < 1，0 < c < 1 求证：abc(1 a )(1 b)(1 c) ()3分析 ：由于 abc(1 a )(1 b)(1 c) ()3左边是对称式，所以只要能证明 a (1 a ) 即可。 因a和1-a 都是正数，所以有 2 a+(1-a) = 1即 a (1-a ) 由对称性直接可得 b (1-b) ； c (1-c) 故 abc(1 a )(1 b)(1 c) ()3 。由以上例题和分析可知，用数学美的思想方法指导解题，不仅可以提高学生的解题能力，而且可以培养学生的创造性思维能力和审美能力，数学教材中关于数学美的素材非常丰富，作为教师，我们应该深入挖掘和精心提炼这些美的因素，培养学生用数学美的思想方法指导解题，使学生从行之有效的数学方