备战2014中考数学专题讲座第34讲：函数之二次函数问题探讨

1、福州五佳教育锦元数学工作室 编辑从27讲开始，我们针对中考数学中的热门考点，从数学的基础知识方面分26个专题进行探讨。二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，历来是中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，题量约占全部试题的1015，分值约占总分的1020。二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现；利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现题。近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴

2、近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中数学的所有数学思想和方法，全面地考查计算能力，逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力。一般地，把形如（其中a、b、c是常数，a0，bc可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图象是轴对称图形。对称轴为直线，顶点坐标 。二次函数除了以上一般式表示外，还可以表示为：顶点式，顶点坐标；交点式（仅限于与x轴有交点和的抛物线），与x轴的交点坐标是 。结合2013年全国各地中考的实例，我们从十方面进行二次函数问题的探讨：（1）应用

3、一般式解决二次函数解析式及定义型问题；（2）应用顶点式解决二次函数解析式及定义型问题；（3）应用交点式解决二次函数解析式及定义型问题；（4）二次函数图象问题；（5）二次函数图象与系数关系问题；（6）二次函数的平移和旋转问题；（7）二次函数与方程、不等式关系问题；（8）二次函数与一次函数综合问题；（9）二次函数在实际问题中的应用问题；（10）二次函数与平面几何的综合应用问题。一、应用一般式解决二次函数解析式及定义型问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年河南省4分）在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是【 】（A） （B） （C） （D）2.（

4、2013年陕西省3分）已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是【 】A B C D综上所得：。故选B。3.（ 2013年广西河池3分）已知二次函数，当自变量x取m对应的函数值大于0，设自变量分别取m3，m3 时对应的函数值为y1，y2，则【 】Ay10，y20 By10，y20 Cy10，y20 Dy10，y204.（2013年黑龙江大庆3分）已知函数y=x2+2x3，当x=m时，y0，则m的值可能是【 】A B C D是二次函数的是。故选C。6.（2013年湖南株洲3分）二次函数的图象如图所示，则m的值是【 】A8 B8 C±8 D67.（2013年江苏常州2分

5、）二次函数（a、b、c为常数且a0）中的x与y的部分对应值如下表：x321012345y12503430512给出了结论：（1）二次函数有最小值，最小值为3；（2）当时，y0；（3）二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧则其中正确结论的个数是【 】 A3 B2 C1 D08.（2013年江苏镇江3分）二次函数y=x24x+5的最小值是【 】 A1 B1 C3 D59.（2013年黑龙江牡丹江农垦6分）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标【答案】解：（1）二

6、次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，3），10.（2013年浙江湖州6分）已知抛物线经过点A（3，0），B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案。二、应用顶点式解决二次函数解析式及定义型问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年甘肃兰州4分）二次函数的图象的顶点坐标是【 】A（1，3） B（，3） C（1，） D（，）3.（2013年吉林省2分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=2（xh）2+k，则下列结论正确的是【】Ah0，k0 Bh0，k0 Ch0，k0

7、 Dh0，k0【答案】A。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】抛物线y=2（xh）2+k的顶点坐标为（h，k），由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，h0，k0。故选A。4.（2013年山东泰安3分）对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为【 】A1 B2 C3 D46.（2013年福建泉州9分）已知抛物线y=a（x3）2+2经过点（1，2）（1）求a的值；（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（mn3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小7（2013年江西南昌12分）已知抛物线抛物线（n为正整

8、数，且0<a1<a2<<an）与x轴的交点为An-1（bn-1,0）和An(bn，0)，当n=1时，第1条抛物线与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）； 依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）; 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 ；（3）探究下列结论： 若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出An-1An；是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线

9、的表达式；若不存在，请说明理由8.（2013年安徽省8分）已知二次函数图像的顶点坐标为（1，1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式。【答案】解：二次函数图像的顶点坐标为（1，1），设二次函数的解析式为。三、应用交点式解决二次函数解析式及定义型问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年江西南昌3分）若二次函数 (a0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1<x2，图象上有一点M (x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是【 】 Aa>0 Bb24ac0 Cx1<x0<x2Da(x0x1)(

10、 x0x2)<0四、二次函数图象问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年广西南宁3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列说法错误的是【 】A、图象关于直线x=1对称 B、函数ax2+bx+c（a0）的最小值是4 C、1和3是方程ax2+bx+c（a0）的两个根 D、当x1时，y随x的增大而增大2.（2013年湖北襄阳3分）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1x21，y1与y2的大小关系是【 】Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2【答案】B。【考点】二次

11、函数的性质。【分析】二次函数y=x2+bx+c的a=10，对称轴x=1， 当x1时，y随x的增大而增大。x1x21，y1y2。故选B。五、二次函数图象与系数关系问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年内蒙古包头3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；4a+2b+c0；ab+c0；（a+c）2b2其中正确的结论是【 】A B C D2.（2013年甘肃白银、平凉、酒泉、张掖、临夏3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，在下列五个结论中：2ab0；abc0；a+b+c0；ab+c0；4a+2b+c0，

12、错误的个数有【 】A1个 B2个 C3个 D4个3.（2013年甘肃兰州4分）二次函数的图象如图所示下列说法中不正确的是【 】A B C D 二次函数的图象与y轴的交点在x轴上方，故。说法C正确。 二次函数图象的对称轴在y轴右侧，故。说法D不正确。故选D。4.（2013年福建龙岩4分）若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列选项正确的是【 】 Aa0 Bc0 Cac0 Dbc05.（2013年福建漳州4分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论正确的是【】 Aa0 Bb24ac0 C当1x3时，y0 D【答案】D。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分

13、析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可：6. （2013年山东菏泽3分）已知b0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示根据图象分析，a的值等于【 】7.（2013年贵州黔西南4分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b24ac0；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0，其中错误的有【 】A1个 B2个 C3个 D4个8.（2013年贵州遵义3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若M=a+bc，N=4a2b+c，P=2ab则M，N，P中，值小于0的数有【 】A3个 B2个 C1个 D0个【答案】

14、A。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】图象开口向下，a0。对称轴在y轴左侧，a，b同号。a0，b0。图象经过y轴正半轴，c0。M=a+bc0。当x=2时，y=4a2b+c0，N=4a2b+c0。1，1。b2a。2ab0。P=2ab0。综上所述，M，N，P中，值小于0的数有M，N，P。故选A。9.（2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且2x11，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：abc0；b24ac；2a+b+10；2a+c0则其中正确结论的序号是【 】A B C D10.（2013年

15、湖北鄂州3分）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象中，观察得出了下面五条信息：ab0；a+b+c0；b+2c0；a2b+4c0；你认为其中正确信息的个数有【】A2个 B3个 C4个 D5个11. （2013年湖北十堰3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0）下列结论：ab0，b24a，0a+b+c2，0b1，当x1时，y0，其中正确结论的个数是【 】A5个 B4个 C3个 D2个【答案】B。12.（2013年湖南长沙3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是【 】Aa0 Bc0 Cb2

16、4ac0 Da+b+c0六、二次函数的平移和旋转问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年上海市4分）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是【 】（A） （B） （C） （D） 3.（2013年贵州毕节3分）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为【】A B C D4.（2013年黑龙江哈尔滨3分）把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是【 】(A) (B) (C) (D)5.（2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线

17、所围成的阴影部分的面积为【 】A2 B4 C8 D166.（2013年辽宁本溪3分）在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是 【答案】。【考点】二次函数图象与平移变换.【分析】抛物线的顶点坐标为（0，1），向上平移3个单位，再向左平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（1，4）。所得抛物线的解析式为。7.（2013年辽宁大连3分）如图，抛物线与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 8.（ 2013年广西崇左12分）

18、抛物线y=x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；（2）ACB和ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且CDP与ABC相似，求点P的坐标9.（2013年四川乐山13分）如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且。（1）求抛物线C的解析式；（2）将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线，抛物线与x轴的另一交点为A，B为抛物线上横坐标为2的点。若P为线段AB上一动点，PDy轴于点D，求APD面积的最大值；过线段

19、OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线OBA于E1、F1，再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边AE1E2、等边AF1F2，点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当AE1E2有一边与AF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值。七、二次函数与方程、不等式关系问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年黑龙江牡丹江市区3分）抛物线y=ax2+bx+c（a0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是【 】Ax2 Bx3 C3x1 Dx3或x1【答案】C。【考点】二次函数与不等式（组）

20、，数形结合思想的应用。【分析】根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（3，0）（1，0），关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是3x1。故选C。2.（2013年江苏苏州3分）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是【】 Ax11，x21 Bx11，x22 Cx11，x20 Dx11，x23【答案】B。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程。【分析】二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)， 。故选B。3.（2013年甘肃兰州4分）如图，以扇形OAB的顶点O

21、为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是.5.（2013年湖北荆门3分）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 根据题意得：=44m=0，解得：m=1。当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点。7.（2013年吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、C，则BC的长值为 8.（2013年江苏南京9分）已知二次函数 (a、m为常数，且a¹

22、;0)。（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。 当ABC的面积等于1时，求a的值： 当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值。【答案】解：（1）证明：， 令，即 当a¹0时，。 方程有两个不相等的实数根。 当a¹0时，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。 八、二次函数与一次函数综合问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究（2013年内蒙古呼和浩特3分）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=mx2+2x+2（m是常数，且m0）的图象可能

23、是【 】2. （2013年广东深圳3分）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的大致图像可能是【 】 由函数的，故它的图象经过第一、二、三象限。故选A。3. （2013年湖南张家界3分）若正比例函数y=mx（m0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是【 】4.（ 2013年广西贵港3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，P恒过点F（0，n），且与直线y=n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）5.（2013年湖北武汉12分）如图，点P是直线l：上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点（1）若直线m的解析式为，求A、B两

24、点的坐标； （2）若点P的坐标为（2，t），当PAAB时，请直接写出点A的坐标； 试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PAAB成立（3）设直线l交y轴于点C，若AOB的外心在边AB上，且BPCOCP，求点P的坐标6. （2013年湖北宜昌12分）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线（a为常数，a0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=时：请你验

25、证：抛物线的顶点在函数的图象上；当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当txt+4，|y2y1|的值随x的增大而减小，当xt+4时，|y2y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围【答案】解：（1）（t，4）：（k0）。（2）当a=时，其顶点坐标为。7. （2013年湖南湘西20分）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线

26、的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由8. （2013年湖南张家界12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由（4）如答图所示，作

27、点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度。利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF的周长最小。如答图所示，利用勾股定理求出线段CC的长度，即PCF周长的最小值。9. （2013年湖南株洲10分）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）将抛物线C1向下平移h个单位（h0）得到抛物线C2一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m0）来（1）求抛物线C1的解析式的

28、一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F求证：tanEDFtanECP=【答案】解：（1）设抛物线C1的顶点式形式（a0），抛物线过点（0，），解得a=。抛物线C1的解析式为，一般形式为。（2）当m=2时，m2=4，BCx轴，点B、C的纵坐标为4。10. （2013年江苏南通13分）如图，直线与抛物线相交于A，B两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设OCD的面积为S，且。（1）求b的值；（2）求证：点在反比例函数的图象上；（3）求证：。 九、二次函数在实际问题中的应用问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强

29、，转载必究（2013年山西省3分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DEAB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 m. 2. （ 2013年广西崇左3分）崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=x2+4x（单位：米）的一部分则水喷出的最大高度是 千米【答案】4。【考点】二次函数的应用。【分析】水在空中划出的曲线是抛物线y=x2+4x，喷水的最大高度就是水在空中划出

30、的抛物线y=x2+4x的顶点坐标的纵坐标。y=x2+4x=（x2）2+4，顶点坐标为：（2，4）。喷水的最大高度为4千米。3. （2013年湖北潜江、仙桃、天门、江汉油田3分）2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系，则羽毛球飞出的水平距离为 米4. （2013年浙江衢州4分）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种

31、 棵橘子树，橘子总个数最多5. （2013年湖北咸宁9分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=10x+500（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得

32、高于25元如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？6. （2013年湖北孝感10分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？7.

33、（2013年辽宁本溪12分）某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线ABBCCD所示（不包括端点A）（1）当100x200时，直接写y与x之间的函数关系式： （2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？【答案】解；（1）y=0.02x+8。8. （2013年辽宁抚顺12分）某服装店以每件40元的价格购进一批衬衫，在试

34、销过程中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（x为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55元时，月销售量为140件；当销售单价为70元时，月销售量为80件（1）求y与x的函数关系式；（2）如果每销售一件衬衫需支出各种费用1元，设服装店每月销售该种衬衫获利为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？【答案】解：（1）设y与x的函数关系式y=kx+b，由题意，得，解得：。y与x的函数关系式为：y=4x+360。9. （2013年辽宁铁岭12分）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价

35、x（x50）元/件的关系如下表：销售单价x（元/件）55607075一周的销售量y（件）450400300250（1）直接写出y与x的函数关系式： .（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？10. （2013年辽宁营口12分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品

36、的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=2x+80设这种产品每天的销售利润为w元（1）求w与x之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？十、二次函数与平面几何的综合应用问题：二次函数与平面几何的综合主要体现为动态几何在二次函数问题中的应用，本讲座16讲26讲对动态几何进行了详细探讨，这里只简单列举。典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究1.轴对

37、称（翻折）1.（2013年福建三明14分）如图，ABC的顶点坐标分别为A（6，0），B（4，0），C（0，8），把ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax210ax+c经过点C，顶点M在直线BC上（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P，使得PBD与PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由直线BC的解析式为y=2x+8。例9：（2013年福建晋江13分）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿

38、AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E（1）当m=3时，点B的坐标为 2 ，点E的坐标为 2 ；（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由（3）如图，若点E的纵坐标为1，抛物线（a0且a为常数）的顶点落在ADE的内部，求a的取值范围1.线动平移3.（2013年湖南湘潭10分）如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动

39、点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由4. （2013年甘肃天水12分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）1.面动平移5.（2013年江苏扬州10分）如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）有一宽度为

40、1的直尺平行于x轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0m3试比较线段MN与PQ的大小当2m30即m3时，则MNPQ0，即MNPQ。【考点】二次函数综合题，平移问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】（1）利用二次函数解析式，求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据M的横坐标和直尺的宽度，求出P的横坐标，再代入直线和抛物线解析式，求出MN、PQ的长度表达式，再比较即可。6.（2013年湖北宜昌12分）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半

41、轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线（a为常数，a0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=时：请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当txt+4，|y2y1|的值随x的增大而减小，当xt+4时，|y2y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围4.线动旋转7.（2013年四川南充8分）如图，二次函数y=x2+bx3b+3的图象与x轴交于A

42、、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b2，2b25b1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若DMF为等腰三角形，求点E的坐标.8.（2013年湖南张家界12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）

43、在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）C（0，1），OD=OC，D点坐标为（1，0）。 设直线CD的解析式为y=kx+b（k0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：。直线CD的解析式为：y=x+1。（2）设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3，5.面动旋转9.（2013年湖北咸宁12分）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90°后得到COD（1）点C的坐标是 ，线段AD的长等于 ；（2）点M在C

44、D上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由CP=CH=。（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式。（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可。10.（2013年山东德州12分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时

45、针旋转90°，得到DOC，抛物线经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当CEF与COD相似时，点P的坐标；是否存在一点P，使PCD得面积最大？若存在，求出PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由6.点动11.（2013年湖南岳阳10分）如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线经过A，B，C三点，顶点为F（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究

46、：使得以A，B，M为顶点的三角形面积与ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；若探究中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与E的位置关系，并说明理由12.（2013年湖南衡阳10分）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说

47、明理由【答案】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：，点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，解得：。抛物线的解析式为：。（2）四边形OMPQ为矩形，【考点】二次函数综合题，双动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分类思想的应用。【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的顶点式解析式。（2）当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解。AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，分类讨论，逐一计算。7. 最值13.（2013年四川达州12分）如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点

48、B，AO是M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、MD和OC。（1）求证：CD是M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求PDM的周长最小时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。14.（2013年重庆市A12分）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，0）。（1）求点B的坐标；（2）已知，C为抛物线与y轴的交点。若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。【答案】解：（1）A、B两点关于对称轴对称 ，且A点的坐标为（3，0）， 8. 面积15.（2013年河南省4分）如图，抛物线的顶点为P（2，2）与y轴交于点A（0，3），若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 .16.（2013年广东佛山10分）如图，已知抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴