一个广告投入对销售影响的数学模型

1、第卷第期年月佳木斯大学学报（自然科学版）（）文章编号：（）一一个广告投入对销售影响的数学模型孙淑兰，王玉花（佳木斯大学理学院，黑龙江佳木斯）摘要：通过分析广告投入对销售的影响，建立广告投入策略的模型，讨论了不确定环境下的最优最小二乘法；销售的饱和水平；衰减因子；参数估计文献标识码：广告投入量，并用模拟近似法进行应用实例分析，从而得到模型参数的变化对最优策略的影响关键词：中图分类号：引言随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为一种重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放都是千差万别的现在，广告研究出

2、现了明显的以信息传播研究为主的态貌，将课题范围几乎完全收拢于广告信息传播本身，以研究广告中的某一信息要素为主，强调信息对于受众（潜在消费者）认知、态度、行为的影响，试图得到一些局部适用的广告传播规律而我们从另一角度结合数学知识研究了广告投入策略对销售量的影响，这个问题对于生产企业，以及那些为推销商品作广告的企业尤为重要，象医药、家电、化妆品等日用消费品行业，广告是最重要的促销手段下销售（件）广告费（元）“告费一面，我们就以某种家电为例，研究广告对销售的影响销售量一实例下面是某种洗衣机从年月到年月在某城市内做广告的投入和销售量的调查数据，如图所示从图中我们可以看出随着广告费用的增加，销售量也明显

3、增加，但并不成正比下面我们就根据图设计一个依据这些数据的算法，给出最优广告费用；并把算法推广到任意商品的情况图广告投入与销售量图示合理假设我们假设商品销售与广告之间满足如下条件：）商品的销售速度是因为做广告而增加的，但是这种增加有一定限度当商品在市场上趋于饱和时，销售速度也趋于它的上限值，当销售速度到它的上限值时，无论再用何种形式做广告，销售速度都将减慢）自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售率的增加而减小）令（）为时刻商品的销售速度，（）为时刻广告水平（以费用表示）；为销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力它表示销售速度的上极限；为衰减因子，即广告作用随时间增长而自然衰减的速

4、度，显然且为常数实验要求我们解决问题描述中的两个问题，并利用结论和给出的数据来估计参数，和可能引入收稿日期作者简介：孙淑兰（一），女，黑龙江佳木斯人，佳木斯大学理学院副教授万方数据第期孙淑兰等：一个广告投入对销售影响的数学模型的其他参数问题分析与建立模型根据上面个假设条件，我们引入响应系数，即（）对（）的影响能力为常数，销售量的下降速度与销售量成正比，广告宣传可给销售量增加一个增长速度，它与广告费成正比，但是广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分，根据这些假设，我们建立数学模型：宝雕（一等）“（）【（）。解得。（）：一（掣川（）（掣川。（）为了方便，我们选择一个广告策略（）：（）【其中口表

5、示在时（，）内得广告中费用胆故有。（）髭志“堞）一“船“（）（）“面对（）式中第一个式子对求导，得，、（）址尚时，掣她殿掣枷塞一（秘¨磊五“显然，从（）式的第二个式子看出，当广告费用停止投入时，销售速度明显减少；当投入广告的周期为时，只有当（）式成立时，销售速度才是增加的因此，为了提高经济效益，应在每个投入周期结束后，就立即进行下一轮的投入（初始值。用上一轮的（）代替），这样能够保证销售速度的持续增长但从（）式看出与每个周期的初始值。有关，当。很大时，的值也很大，此时可能致使厂家的销售利润不及广告费用，所以，决策者在每次投入广告费用之前应考虑到上述问题，选择合适时机投入广告费用模型参

6、数估计和检验下面我们就用上面洗衣机调查数据来说明参数估计，其调查结果（每月调查一次），为了便于估计参数，我们将（）式离散化，得（）一（凡）（凡）（一掣）一（儿）（）（）式关于参数，叉是线性方程，把个月调查的结果代入（），利用最乘法可以得到，把参数代人（），得塞（）（一并茄）一（）（）则（）是关于洗衣机的广告模型我们检验模型的精度，尸（）式对年月洗衣机的销售量做了预测，计算结果为台，而调查的实际销售量是口，畀。面矿×，可得相对误差为，这就说明模型与实际销售情万方数据佳木斯大学学报（自然科学版）年况基本相符，可见模型对短时期的预测还是比较有效的模型讨论和结果分析）销售量与广告的投入关系式

7、建立之后，我们就可以对商品的销售量作出预测与实际销售量进行误差分析，我们不难发现关系式（）在广告策略（）的作用短时间预测是有效的）生产企业若保持稳定销售，即塞，那么我们可以根据（）估计采用广告水平（），得到（）一墨！旦（一器）参考文献：姜启源数学模型北京：高等教育出版社，数学模型编写组数学模型广州：华南理工大学出版社，张志让数学实验北京：科学出版社，即瞰（田匮“一。扯，锄，。）：，；：（上接页）参考文献：著，裘光明译群论北京：科学出版社，咖删瓜唧：一÷仳。一（卟仉？巳呵岫，）：儿（）凡（一）（，一）舭：；万方数据一个广告投入对销售影响的数学模型作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：孙淑兰， 王玉花佳木斯大学,理学院,黑龙江,佳木斯,154007佳木斯大学学报(自然科学版)JOURNAL OF JIAMUSI UNIVERSITY (NATURAL SCIENCE EDITION)2004，22(3)2次参考文献(3条)1.姜启源 数学模型 19932.数学模型编写组 数学模型 2