高三一轮学生自主复习资料-集合与简易逻辑（数学）

1、数学基础知识与典型例题第一章集合与简易逻辑集合1.元素与集合的关系:用或表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2,表示非负实数集，点集(x，y)|y=x2表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0，1，2，3，；描述法字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集；整数集Z；有理数集Q、实数集R;例1 下列关系式中正确的是（ ）(A) (B)(C)0 (D)0例2 解集为_.例3设,已知,求实数的值.子集集合与集合的关系:用，

2、=表示;A是B的子集记为AB；A是B的真子集记为AB。任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B；如果.n个元素的子集有2n个；n个元素的真子集有2n 1个；n个元素的非空真子集有2n2个.例4设，a=lg(lg10)，则a与M的关系是( )(A)a=M (B)Ma (C)aM (D)Ma例5集合A=x|x=3k-2，kZ，B=y|y=3n+1，nZ，S=y|y=6m+1，mZ之间的关系是( )(A)SBA (B)S=BA (C)SB=A (D)SB=A例6用适当的符号填空：_;3.14_;R+_R;x|x=2k+1,

3、kZ_x|x=2k1, kZ。例7已知全集U2，4，1a，A2，a2a2如果，那么a的值为_.交、并、补1.交集AB=x|xA且xB;并集AB=x|xA，或xB;补集CUA=x|xU，且xA，集合U表示全集.2.集合运算中常用结论:例8设集合A=x|xZ且-10x-1，B=x|xZ，且|x|5，则AB中的元素个数是( )(A)11 (B)1 (C)16 (D)15例9已知A=，B=x|，则AB=_。例10已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN。交、并、补例11若A =(x，y)| y =x+1,B=y|y =x2+1, 则AB =_.例12设全集，则例13设全集

4、U = 1，2，3，4，5，6，7，8，A = 3，4，5 B = 4，7，8,求：（CU A）(CU B), (CU A)(CU B), CU(AB), CU (AB).不等式1.绝对值不等式的解法：的解集是;的解集是 公式法:,.(2)几何法 (3)定义法（利用定义打开绝对值） (4)两边平方2、一元二次不等式或 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R 注:分式、高次不等式的解法：标根法不等式14.不等式的解集是,则15.分式不等式的解集为：_.16.求使有意义的取值

5、范围.不等式17.解不等式：|4x-3|>2x+1.18.解不等式：|x-3|-|x+1|<1.19.解不等式：.20.已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.命题1.命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；2.复合命题的形式：p且q，p或q，非p；(“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假即当q、p为真时，p且q为真；当p、q中有一个为假时，p且q为假。“p或q”形式复合命题当

6、p与q同为假时为假，其他情况时为真即当p、q均为假时，p或q为假；当p、q中有一个为真时，p或q为真；“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反即当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。例21写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。例22:“若” 是_命题.(填真、假)例23命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为_。例24：用反证法证明：已知x、yR，x+y2，求 证x、y中至少有一个不小于1。命题3.四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p

7、“。其中互为逆否的两个命题同真假，即Û。一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （否命题逆命题.）一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.（ 原命题逆否命题.）4.反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。例25已知设P：函数在R上单调递减.：不等式的 解集为R，如果P和有且仅有一个正确，求的取值范围.充分条件与必要条件充分条件与必要条件1.定义：当“若p则q”是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件;当“若p则q”的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件;当“若p则q”, “若q则p”均为真时，称p是q的充要条件；2.在判断充分条件及必要条件时，首先

8、要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充分条件;BA时，p是q的充分条件;A=B时，p是q的充要条件；注：当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。小范围推出大范围；大范围推不出小范围.例26:.(填,Ü)例27:条件甲:;条件乙:, 则乙是甲的_条件.例28“”是coscos”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件例29 已知p

9、：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件答案见下一页数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案例1选A;例2填(2，1) 注:方程组解的集合应是点集.例3解:,.若,则,此时,与已知矛盾,舍去.若,则当时,.B中有两个元素均为,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.当时,符合题意.综上所述,.点评本题考查集合元素基本特征确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。例4C 例5C 例6Ï, 例7填2 例8C 例9例10解：M

10、=y|y=x2+1，xR=y|y1，N=y|y=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合y|y=f(x)，xA应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合（x，y）|y=x2+1，xR是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如y|y1=x|x1。例11填注：点集与数集的交集是. 例12埴,R例1

11、3解：CU A = 1，2，6，7，8 ,CU B = 1，2，3，5，6,(CU A)(CU B) = 1，2，6 ,(CU A)(CU B) = 1，2，3，5，6，7，8, AB = 3,4,5,7,8,AB = 4, CU (AB) = 1,2,6 ,CU (AB) = 1,2,3,5,6,7,8例14;例15原不等式的解集是例16 例17分析：关键是去掉绝对值.方法1：原不等式等价于,即，x>2或x<，原不等式的解集为x| x>2或x<.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c，就同一样|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3&l

12、t;-(2x+1) x>2 或x<，原不等式的解集为x| x>2或x<.例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）当时，4<1当时，当时-4<1综上,原不等式的解集为也可以这样写：解：原不等式等价于或或 ，解的解集为，的解集为x|<x<3，的解集为x|x3,原不等式的解集为x|x>.方法2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点原不等式的解集为x|x>.例19答：x|x0或1<x<2例20解：要原方程有两个负实根，必须

13、:.实数k的取值范围是k|-2<k<-1或<k<1.例21解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5（真）否命题：若 x + y ¹ 5 则 x ¹ 3且y¹2（真）逆否命题：若 x ¹ 3 或y¹2 则 x + y ¹5（假）例22答:真 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.例23答:若a、b都不为0，则ab0例24解：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y2矛盾, 假设不成立 x、y中至少有一个不小于1注反证法的理论依据是：欲证