高三数学指导：掌握常规数学思维模式

1、高三数学指导：掌握常规数学思维模式文科考生说，我们不考“数归法”，我告诉你：“归纳猜想验证”，这是一个解答题、体现思维能力的好的思维模式。分析、讨论、判断、取舍；归纳猜想验证；一般特殊相互转化，这些最基础、最常规的思维模式，妙用无穷，“看似寻常最奇崛，成为容易却艰辛”（王安石）。2、方程式函数化方程问题函数化，函数问题方程化，这两化把方程的思想，函数思想融为一体，相互转化，使“利用函数性质解题”这个数学的大课题生辉，诸如不等函数增、减等一系列的简单思维模式到处可用。二次函数y=ax2+bx+c（a0）求极值方法之一是判别式法（函数问题方程化）方程ax2+bx+（c-y）=0有实根，=b2-4a

2、（c-y）04ay4ac-b2 a>0时 y即y小=；a<0时，y即y大=例2.已知A、B是ABC的两个内角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根，求实数m的取值范围。韦达定理，和积关系常见转化方式A+B=45°x1=tanA<1，x2=tanB<1且都大于0。难点如何定m的范围：函数化。f（x）=x2+mx+m+1有二正根且都在（0，1）之间的条件：（0不能保证根的范围） 对照图象：（为什么不必0？你能很清晰吗？）解得：-1这是典型的方程问题函数化，确定参数取值范围的试题。例3.（2008上海 理11）方程x2+x-1=0的解可视为函数

3、y=x+的图像与函数y=的图像交点的横坐标，若x4+ax-4=0的各个实根x1，x2，xk（k4），所对应的点（x1，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是_。 答案：（-，-6）（6，+）解法1：依题意x4+ax-4=0x3+a= 由图示及奇函数y=x3的图像关于原点对称的性质，得知当y=x3+a的图像从过B点起，向下平移或向上平移时，交点均在y=x同侧。 A（-2，2），B（2，2），把A、B坐标代入y=x3+a得a=-6或a=6，故a<-6或a>6即为所求。解法2：依题意，结合图形分析，得y=a+8或y=a-8分别令y<2或y>-2，得a&

4、lt;-6或a>6。点拨评析作为一道综合性较强、分值不高的填空题，从“数形结合”的思想出发，通过作图开辟解题思路，简明、具体。试题本身就在提示你，“数形结合”可以作为一种思维模式，实现方程化函数化的完美结合。解题的通式、通法都可以从中提炼出可操作的模式，形成思维规律。如解不等式sinx>。如下思维操作定能“做一题，通一类”。1.结合周期T=2，可先找x（0，2）的解集，再一般化；2.结合函数值的符号先肯定或否定两个区间：sinx>，、象限均不是解；3.结合单位圆先找相等的界限sinx=，x=或x=；4.根据函数单调性，作取舍：高考在考什么【考题回放】0)的距离小1，则点P的轨

5、迹1、（2008北京理）若点P到直线x=-1的距离比它到点(2，为（ D ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线2、（2008浙江理）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ B ）（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线3、(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P的轨迹为C（）写出C的方程；（）设直线y=kx+1与C交于A，B两点k为何值时OAOB？此时AB的值是多少？解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0(0为焦点，y2=1 长半轴为2的椭圆它的

6、短半轴b=1，故曲线C的方程为x+42y2=1，x+（）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 4y=kx+1.2k3，x1x2=-2消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0，故x1+x2=-2 k+4k+4 OAOB，即x1x2+y1y2=0而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1， 233k22k2-4k2+1-+1=2于是x1x2+y1y2=-2 k+4k2+4k2+4k+4 114所以k=±时，x1x2+y1y2=0，故OAOB当k=±时，x1+x2= ，221712x1x2=-17AB=4243431322=而(x2-x1)=(x2+x1)-

7、4x1x2=2+4，所以AB= 21717174、 (2008湖北理)如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB=30°，曲线C是满足|MA|-|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若OEF的面积不小于l斜率的取值范围.（）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（,1），依题意得MA-MB=PA-PB(2+)+1-2-）+122AB4.曲线C是以

8、原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 2222x2y2-=1. 则c2，2a22，a=2,b=c-a=2.曲线C的方程为222222解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PB AB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.x2y2设双曲线的方程为2-2=1(a0，b0）. ab(3)21222xy-=1,22-=1. 则由 a2解得a=b=2,曲线C的方程为b222a2+b2=4.()解法1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E

9、、F， 2 1-k20,=(-4k)+46(1-k)>0,22 k±1,-3<k<.k（-3,-1）（-1，1）（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由式得x1+x2=22EF(x1-x2)+(y1+x2)=4k6,xx=-,于是 1221-k1-k(1+k2)(x1-x2)22+k(x1+x2)-4x1x2=+k而原点O到直线l的距离d22223-k2-k2. 2+k2，2112223-k22223-k+k=. SDEF=dEF=22+k2-k2-k2若OEF面积不小于22,即SOEF22，则有223-k2-k222k4-k2-20,解得-2k2. 综合、

10、知，直线l的斜率的取值范围为-2，-1(1-,1) (1, 2).解法2：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得（1-K2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， 1-k20,=(-4k)+46(1-k)>0.22 k±1,-3<k<.k（-3，-1）（-1，1）（1，）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x1-x2=(x1+x2)-4x1x2=2-k2=223-k2-k2. 当E、F在同一去上时（如图1所示），SOEFSODF-SODE=11ODx1-x2=ODx1-x2; 22当E、F在不同支上时

11、（如图2所示）.SOEF=SODF+SODE=综上得SOEF11OD(x1+x2)=ODx1-x2 221ODx1-x2,于是 2由OD2及式，得SOEF=223-k2-k2.若OEF面积不小于22,即SOEF22,则有223-k2-k222k4-k20,解得-2k2. 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-2，-1（-1，1）（1，2）.高考考什么【考点透视、方法指导】（2）求曲线方程的常见方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间

12、的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。【范例1】（1）一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。x2-y2=1有动点P，F1,F2是曲线的两个焦点，求PF1F2的重心M的（2）双曲线9轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆方程分别配方得：(x+3)

13、2+y2=4，y(x-3)2+y2=100，当 M与 O1相切时，有|O1M|=R+2 当 M与 O2相切时，有|O2M|=10-R 将两式的两边分别相加，得|O1M|+|O2M|=12，=12 P 1 2 x移项再两边分别平方得：=12+x 两边再平方得：3x2+4y2-108=0， x2y2+=1， 整理得3627x2y2+=1，轨迹是椭圆。所以，动圆圆心的轨迹方程是3627=12，由以上方程知，动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，2

14、c=6，2a=12，c=3，a=6，b=36-9=27， 2x2y2+=1。 圆心轨迹方程为3627（2）如图，设P,M点坐标各为P(x1,y1),M(x,y)，在已知双曲线方程中a=3,b=1，c=已知双曲线两焦点为F1(F2，PF1F2存在，y10x=x1=3x由三角形重心坐标公式有，即 。 y1=3yy=y1+0+03y10，y0。(3x)2-(3y)2=1(y0) 已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有9即所求重心M的轨迹方程为：x2-9y2=1(y0)。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。x2【范例2】设P为双曲线-y1上一动点，O为坐标原

15、点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程42是 。解析：（1）答案：x24y21设P（x0，y0） M（x，y） x=x0y,y=0 2xx0，2yy0 224y214x24x4y1 22点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。专题1: 选 择 题 的 解 法一、题型特点：1高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字准确、迅速.2选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方

16、面. 解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。3解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.

17、二、例题解析1.直接求解法 涉及数学定义、定理、法则、公式的应用的问题，常通过直接演算得出结果，与选择支进行比照，作出选择，称之直接求解法例1、 圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有（ ） .1个 .2个 .3个 .4个解 :本题的关键是确定已知直线与圆的相对位置,这就需对圆心到直线的距离作定量分析将圆的方程化为(x1)2(y2)2(22)2, r22. 圆心(1，2)到直线xy1|-1-2+1|0的距离d2,恰为半径的一半故选x2例2、设F1、F2为双曲线4y21的两个焦点，点P在双曲线上满足F1PF290o，则F1PF2的面积是（ ）.1 ./2 .2 .5解 |PF1|

18、PF2|±2a±4， |PF1|2|PF2|22|PF1|²|PF2|16，11S F1PF290o， FPF2|PF1|²|PF2|4(|PF1|2|PF2|216). 12又 |PF1|2|PF2|2(2c)220. SFPF121，选例3、 椭圆mx2ny21与直线xy1交于A、B两点，过AB中点M与原点的直线m斜率为2，则n的值为（ ）22.2 .3 .1 .2x2y2x2y22222分析:命题：“若斜率为k(k0)的直线与椭圆ab1（或双曲线ab1）相交于b2b222A、B的中点，则k²kOMa(或k²kOMa)，”（证明留

19、给读者）在处理有关圆锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应用运用这一结论，不难得到：12bmm122解 kAB²kOMamn, nkAB²kOM1²22，故选2.直接判断法涉及有关数学概念的判断题，需依据对概念的全面、正确、深刻的理解而作出判断和选择 例1、甲：“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面”，乙：“两个二面角相等或互补”则甲是乙的（ ）.充分而非必要条件 .必要而非充分条件.充要条件 .既非充分又非要条件分析 显然“乙甲”不成立，因而本题关键是判断“甲乙”是否成立？由反例：正方体中，二面角A1ABC与B1DD1A满足条件甲(图311)，但它

20、们的度数分别为90o和45o，并不满足乙，故应选例2、下列四个函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）x+1a+x.f(x)xlga-x .f(x)(x1)x-1 1+x+x2+1-x22.f(x)|x+2|-2 .f(x)1-x-x+1解 由于选择支给出的函数的定义域为1，1，该定义区间关于原点不对称，故选3、特殊化法（即特例判断法）例1如右下图,定圆半径为a，圆心为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0与直线 xy+1=0的交点在( B )A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限提示：取满足题设的特殊值a=2，b=3，c=1 2x-3y+1=0x-y+1=

21、0 得 解方程x=-2y=-1 于是排除A、C、D，故应选B 例2函数f(x)=Msin(x+) (>0)在区间a，b上是增函数，且f(a)=M，f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(x+)在a，b上（ C ）A是增函数 B是减函数 C可以取得最大值M D可以取得最小值M 解：取特殊值。令=0，=1,M=1，则f(x)=sinxf(-)=-1,f()=1a,b=-,2222，这时g(x)=cosx, 显然应选C 因，则例3已知等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ C ）A130 B170 C210 D260解：特殊化法。令m=1，则a1=S1=30，又

22、a1+a2=S2=100 a2=70, 等差数列的公差d=a2a1=40，于是a3=a2+d=110, 故应选C asin+bsinb=tan-=6，则a等于（ B ）例4已知实数a，b均不为零，acos-bsin，且33A3 B3 C3 D3=0,=提示：特殊化法。取b=tan=6，则a6 故应选B4、排除法（筛选法）2-x-1f(x)=12x例1设函数(x0)(x>0)，若f(x0)>1，则x0的取值范围是（ D ）A(1,1) B(1,+) C(,2) (0,+) D(,1) (1,+)例2已知是第三象限角，|cos|=m，且sin+cos>0cos222等于（ D ）

23、 ，则1+m+m1-m1-m2 B2 C2 D2 A例3已知二次函数f(x)=x2+2(p2)x+p，若f(x)在区间0，1内至少存在一个实数c，使f( c)>0， 则实数p的取值范围是（ C ）A（1，4） B（1，+） C（0，+） D（0，1）点评：排除法，是从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，逐个淘汰与题设矛盾的选择支，从而筛选出正确答案。5、数形结合法（图象法） 根据题目特点，画出图象，得出结论。31x+2，x24x+3中的较大者，则f(x)的最小例1对于任意xR，函数f(x)表示x+3，2值是（ A ）A2 B3 C8 D1 CA=)OB=(2,0)OC=(2,2)例

24、2已知向量，向量，向量，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是（ D ）555A0，4 B4，12 C12，2 D12，12例3已知方程|x取值范围是（ B ） N*)在区间2n1，2n+1上有两个不相等的实数根，则k的1Ak>0 B0<kC2n+1kD以上都不是6、代入检验法（验证法）将选择支中给出的答案（尤其关注分界点），代入题干逐一检验，从而确定正确答案的方法为验证法。例1已知a，b是任意实数，记|a+b|，|ab|，|b1|中的最大值为M，则（D ）AM0 B0M2 CM1 DM21解：把M=0代入，排除A、B；再把M=2代入检验满足条件，排除C。2f(x)=x+2(p-2

25、)x+p，若在区间0，1内至少存在一个实数c，使例2已知二次函数f(c)>0，则实数p的取值范围是（ C ）A（1，4） B（1，+） C（0，+） D（0，1）解：取p=1代入检验。2x+y122x+9y362x+3y=24例3(2004广东)变量x，y满足下列条件：x0,y0则使得z=3x+2y的值的最小的(x，y)是（ B ）A（4.5，3） B（3，6） C（9，2） D（6，4）解：一一代入检验。代入运算后比较大小。7、推理分析法通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，肯定正确支的方法，称之为逻辑分析法，例如：若“(A)真 (B)真”，则(A)必假，否则将与“只有

26、一个选择支正确”的前提相矛盾42例1 当x4，0时，a-x-4x3x1恒成立，则a的一个可能值是（ ）55.5 .3 .3 .5解 -x2-4x0， (A)真(B)真(C)真(D)真， (D)真.m-34-2m例3、已知sin m+5,cos m+5（2 ）,则tg2( ).m-3m-31.9-m .|9-m| .3 .5解 因受条件sin2 cos2 1的制约，故m为一确定值，于是sin 、cos 的值应与m无关，进而推知tg2的值与m无关， 2 ， 2(4，2)， tg21，故选()m-34-2m注:直接运用半角公式求tg2，将会错选()若直接计算，由(m+5)2(m+5)21，可得m0或

27、m8， 2 ， sin 0，cos 0，故应舍去m0，取m8，得5-12sin 13，cos 13,再由半角公式求出tg25,也不如上述解法简捷.三、练习1已知点P（sin-cos,tan）在第一象限，则在0,2)内的取值范围为（ B ）355(,) (,)(,) (,)4 B 424 A 243533(,) (,)(,) (,)42 D 424C 242一个直角三角形的三内角成等比数列，则其最小内角为（ B ） arccosA 5-15-11-1-arcsinarcsin2 B 2 C2 D2sin>tan>cot,(-3若2<<2，则（ B ） )(-A ,-)(-

28、,0)(,)(0,)24 B 44 C D 42y=6x+5(xR,x1)x-1的反函数为（ B ） 4函数y=A 6x+5x+5(xR,x1)y=(xR,x6)x-1x-6 Bx-15x-6(xR,x-)y=(xR,x-5)6x+56 D x+5 y=C5已知函数y=loga(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围为（ B ）A （0，1） B （1，2） C （0，2） D 2,+)112a=log1a =log1b =log2c2226设a，b，c均为正数，且，2则（ A ）a<b<c c<b<a c<a<b b<a<c bc7设

29、f(x)是定义在实数集R上的任意一个增函数，且F（x）=f(x)-f(-x),那么F（x）应为（ A ）A 增函数且是奇函数 B增函数且是偶函数C 减函数且是奇函数 D减函数且是偶函数解: 取f(x)=x，知F（x）=x-(-x)=2x，故选A。8定义在(-,+)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0,+)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式：1）f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 2) f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)3) f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 4) f(a)-f(-b)<g(b)-g

30、(-a)其中成立的是（ C ）A 1）与2） B 2）与3） C 1）与3） D 2）与4）sin+sin=9若13(cos-cos),(0,)，则-的值为（ D ）-A 22-3 B 3 C 3 D 310将直线3x-y+2=0绕原点按逆时针方向旋转900，得到的直线方程为（ A ）A x+3y+2=0 B x+3y-2=0 C x-3y+2=0 D x-3y-2=022，11已知集合A=(x,y)|x|+|y|1，B(x,y)|x+y1C(x,y)|x|1,|y|1的则A、B、C的关系是（ C ）.A.CAB B. CBAC.ABC D. BAC12集合P=x，1，Q=y，1，2，其中x，

31、y1，2，9且PQ，把满足上述条件的一对有序整数（x，y）作为一个点，这样的点的个数是(B)（A）9 （B）14 （C）15 （D）21313已知函数f(x)=-x-x，x1，x2，x3R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值(B)（A）一定大于零 （B）一定小于零 （C）等于零 （D）正负都有可能11a+b14已知1是a与b的等比中项，又是a与b的等差中项，则a+b的值是 (D) 221111- （A）1或2 （B）1或2 （C）1或3 （D）1或315平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（1，3），

32、若点C满足=+其中0，1，且+=1，则点C的轨迹方程为(C)1(x-)2+(y-1)2=252 （A）2x+3y-4=0 （B）（C）4x+3y-5=0（1x2） （D）3x-y+8=0（1x2）+)上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数，16已知定义域为R的函数f(x)在(8，则（ D ）f(6)>f(7) f(6)>f(9) f(7)>f(9) f(7)>f(10)17下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是(D)SPQPPSSPPPQSSRRPSQRRPQQRQPPSSRRQ（A） （B） （C） （D） 18如

33、图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是 ( D )QSSQRR19为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（B）（A）7,6,1,4 （B）6,4,1,7 （C）4,6,1,7 （D）1,6,4,72(x20关于x的方程-1-x2-1+k=0)2，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有2个不同

34、的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 （A）A. 0B. 1 C. 2 D. 32x1，xf(x)=x<1，g(x)+)0，x21设是二次函数，若f(g(x)的值域是，则g(x)的值域是（ C ）AC-1 1，+)(-， +)0， BD-1 0，+)(-， +)1，22如果ABCDA1BC11的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（ D ） A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形 A1B1C1是钝角三角形，A2B2

35、C2是锐角三角形 A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形ABAC (+).BC=0ABAC ABAB AC1.=.AC223已知非零向量AB与AC满足且则ABC为（A） （A）等边三角形 （B）直角三角形 （C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形x2y2-2=1(a>0，b>0)2FFab24已知双曲线的左、右焦点分别为1，2，P是准线上一点，且PF1PF2，PF1PF2=4ab，则双曲线的离心率是（ B ）2 3 25如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点pqM，若、分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（llM（p，q）是

36、点M的“距离坐标”pq已知常数0，0，给出p，q） 下列命题：若pq0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若（pq0，且pq0，则“距离坐标”为 p，q）的点有且仅有2个；若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是( D )（A）0； （B）1； （C）2； （D）326对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f'（x）0，则必有（ C ） f（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）2f（1）C. f（0）f（2）2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）高中数学易错、易混、易忘问题备忘录在应用条件ABAB

37、时，易忽略是空集的情况 求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称4求反函数时，易忽略求反函数的定义域-1f(b)=af(a)=b 5函数与其反函数之间的一个有用的结论：-1y=f(x)也单调递增；6原函数在区间-a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数y=但一个函数存在反函数，此函数不一定单调例如：1x.7根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)8. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示9. 用均值定理求最值

38、（或值域）时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件by=ax+(a>0,b>0)x10. 你知道函数的单调区间吗？（该函数在(-+)或上单调递增；在上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！11. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.12. 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性13. 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略14. 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q，则等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. ; ama

39、n=apaq15. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比的情况16. 已知Sn求an时, 易忽略n的情况17等差数列的一个性质：设Sn是数列an的前n项和, an为等差数列的充要条件是Sn=an2+bn（a, b为常数）其公差是2a.18你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若cn=anbn其中an是等差数列，bn是等比数列，求cn的前n项的和）111=-19. 你还记得裂项求和吗？（如n(n+1)nn+1）20 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？21. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现

40、特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）1(l=|r,S扇形=lr2） 22. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？23. 在2三2角中2，你2知道1等于什么吗？(1=sin+cos=sec-tan=tancot的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用 =tan4=sin2=cos0这些统称为1-24. 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是,0,(-,)2222 250与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。a b=0,但是由a b=0,不能得到a=0或b=0a b=0。 26a=0，则 。 ab时，

41、a b=c b,不能得到a=c,即消去律不成立。27a=c时，b)ca(b c),因为(a b)c与c平行，a(b c)与a平行，一般a,c不共线，故 28(a(a b)ca(b c)29在ABC中，A>BsinA>sinB30使用正弦定理时易忘比值还等于2R31. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示32. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即1111<>ab，ab33. 分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）34. 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的

42、单调性, 对数的真数大于零.）35. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是 或）1111111-=<2<=-n(n-1)n-1n 36.常用放缩技巧：nn+1n(n+1)n=<<=37.解析几何的主要思想：用代数的方法研究图形的性质。主要方法：坐标法。38.用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况39.用到角公式时，易将直线1、2的斜率1、2的顺序弄颠倒0,),(0,),(0,2。 40.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是41.函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公

43、式易混：（）函数的图象的平移为“左+右-,上+下-”；如函数y2x+4的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2（x2）+43即y=2x+5（）方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+”； 如直线2xy+4=0左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x2)-(y3)+4=0即y=2x+5（）点的平移公式：点P(x,y)按向量=(h，k)平移到点P/ (x/，y/)，则x/x+ h，y/ y+ k42. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及43. 对不重合的两条直线，值可要搞清） ，有；44. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.45. 处理直线与圆

44、的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷46. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.47. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.48.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？ca2,49.还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p,ac的意义吗？50. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？51离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？52. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.53. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（a，b，c）54. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.b2tan55. 点P在椭圆(或双曲线)上，椭圆中PF1F 2的面积2与双曲线中PF1F