初中数学千题解——最值问题100题(教师版)

1、初中数学千题解一一最值问题100题（教师版）1.如图3.1所示，在RtAABC中，Z A=30 °, AB=4,点D为边AB的中点，点P为边AC上的动点，则PB+PD 的最小值为（）A. 3B. 2. 2A. 2 .3A. 4,5，一 一一 _ -' ' 、"，、一| ' _ * 1 .解延长BC至点B ,使BC BC ,连接B P、B A,如图4.1所不， .AC 垂直平分 BB',B'A BA, .AC 平分 B'AB. 'I.、. 一 CAB 30 , B AB 60 ,ABB 为等边三角形. 点 P 为 AC

2、上一点,p PB PB' , . PB PD PB' PD B'D ,当且仅当b'、P、D在同一直线上时，如图 4.2所示，PB PD取得最小值.在 Rt ADB'中，AD 1 AB 2 , B AB 60 ,. BD AD g tan60 V3AD 2,/3 , 2故答案是C.思路点拨：这是典型的 将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点P所在直线的两侧；根据 两点之间线段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可拓展若点D为边AB上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和60°特殊角计算B'D的长度；若点 D是边.

3、. . . 、. AB上的一动点，则 BD将变为一条动线段，利用垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处 .一 一 .一12.如图3.2所不，在矩形 ABCD中，AB=5, AD=3,动点P满足Svpab=S矩形abcd ,则点P到AB两点距离3之和PA+PB的最小值为.AB图3.22.解令点P至ij AB的距离为d.15=5= 一 g d g 5 , d 2 ,2点P为到AB距离为2的直线k、l2上的点.直线L、l2关于AB对称，因此选其中一条进行计算作点B关于直线li的对称点B',连接BC、B,P、AB',如图4.3所示,PA PB PA PB AB ,当且仅当A、P、B&#

4、39;三点共线时取得最小值，如图 4.4所示. ''在 Rt ABB 中，AB 5 , BB 2d 4 ,ab TAB2Bb 旧4 ,故pa pb的最小值是74T.i、图43圄44思路点拨：这是典型的 将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点 P的运动轨迹为直线（或称为 隐线”）；利用轴对称的性质，构造对称点B',再运用线段公理获得不等式；根据勾股定理计算最值AB'.1 -3.如图3.3所不，在矩形ABCD中，AD=3,点E为边AB上一点，AE=1，平面内动点P满足&pab = - S矩形abcd，3则|DP- EP的最大值为.D

5、CA EB图3.33.解令点P到AB的距离为d. 1S PABS巨形ABCD， d 2，3点P在到AB距离为2的直线li、12上，如图4.5所示.作点E关于直线li的对称点E ,连接ED并延长交直线li于点P,连接EP,如图4.6所不， ' E P EP.当点 P在直线li上时，|DP EP DPE'PE'D,当且仅当D、E'、P三点共线时取得最大值EDi2 i22 .当点P在直线I上时，| DP EP ED ,当且仅当D、E、P三点共线时取得最大值，如图 4.7所示.在 RtAADE 中，AD 3, AE i ,，DE 732 i2 而，|DP EP ED 加

6、，当点P为DE的延长线与直线l2的交点时有最大值 屈.思路点拨：解法如题2,需要找出满足条件的点 P所在的 隐线"，这里两条直线均要考虑（因为图形不对称）.由于两边之差小于第三边，在共线时取得最大值，故遵循同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长 ”的规律，分别计算最大值并进行大小比较 .特别说明笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的隐线”，毕竟题中叙述点P时用的是 平面内”，而非 矩形内”.21.1, 1，则AB在x轴的两侧,4.已知y = Jx2- 2x+ 2+ Jx + 2x+ 2 ,则y的最小值为4 .解原式7 1 20 1 2 J x 1 20

7、建立平面直角坐标系，设 P x, 0 , A 1,1 , BPB x 1 2022 y x 10 1当A、P、B三点共线时, 思路点拨：y值最小，y minABPA PB AB , 2 2.若将式子看作函数，对于初中生来说解题难度较大.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离（距两点之间线段最离公式是平面直角坐标系中的勾股定理），则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型5 .已知 y= 7（x 3）2 + 9- J（x- 1）2 + 4 ,则 y 的最大值为.22"225.解原式0x3 0 3 x x 10 2 .建立平面直角坐标系，设P x,0 , A 3,3 , B 1,2 ,2

8、T22 . PA J x 30 3 , PB J x 10 2,2T22. y J x 30 3 x x 10 2 PA PB AB ,当A、P、B三点共线，即点 P在AB延长线上时y值最大，.二ymax AB 向思路点拨：阅读题目时需观察清楚斗”或切不可盲目下笔.本题与题4形式相似，解法相近，但是又有所不同将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等 找到最大值.6 .如图3.4所示，在等腰 RtAABC中，/ BAC=90°, AB=AC, BC=4J±,点D是边AB上一动点，连 接CD,以AD为直径的圆交 CD于点E,则

9、线段BE长度的最小值为.EAB解：连接AE,取AC得中点F,连接EF,如图4. 8所示.AD是圆的直径AED =90°AEC= 90°EF= - AC=22.点E的轨迹为以点F为圆心的圆弧（圆的定义） .BE 汨F EF当且仅当B、E、F三点共线时等号成立，如图4. 9所示在 RtAABF 中，AF=2, AB = 4BF = JAF2 + AB2 = 722 + 42 = 2而,BE min =BF-EF = 2 V5 -2思路点拨阅读题目时要找到三条关键信息：点E为圆周上一点，AD所对的圆周角是 90°, / DEC是平角，连接AE后就找到了定弦定角（或斜边上

10、的中线），若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角的顶点的轨迹为圆（根据题目需求判断是否需要考虑两侧）.因此判断出点E的轨迹是圆（不是完整的圆，受限于点D的运动范围）.根据三角形的三边关系，知 B、E、F三点共线时BE取得最小值.7 .如图3.5所示，正方形 ABCD的边长是4,点E是边AB上一动点，连接 CE,过点B作BGLCE于点 G,点P时边AB上另一动点，则 PD+PG的最小值为.解：取BC得中点F,连接GF,作点D关于AB的对称点D连接D'P、D'A,如图4.10所示.DP = D PBGC = 90°,点F为BC的中点 GF= - BC= 2 2

11、. , PD + PG= PD '+ PG 打G又 D'G+GF*'F .PD + PG+GFR'FGF如图4. 11所示，当且仅当 D'、P、G、F四点共线时取得最小值.根据勾股定理得 D F = 742 + 62 = 2炳 .PD + PG的最小值为 2 而 一2思路点拨不难发现/ BGC=90°是个定角，因此点 G的轨迹为以BC为直径的圆（部分），可以通过斜边上的中 线构造长度不变的动线段，再利用三边关系求解.8 .如图3.6所示，在矩形 ABCD中，AB = 2, AD=3,点E、F分别为边 AD、DC上的点，且 EF = 2,点 G为

12、EF的中点，点P为边BC上一动点，则PA+ PG的最小值为.解：作点A关于BC的对称点A,连接AB、AP、DG,如图4.12所示PA'= PAPA+ PG= FA + PG . / ADC =90°, EF = 2 DG= -EF= 1 2 , PA'+ PG+DG 泳 DPA'+ PG / D DG如图4. 13所示，当且仅当 A'、P、G、D四点共线时等号成立根据勾股定理得AD= x/AA2+ AD2 =PA+ PG的最小值为2AB22+ AD =54.思路点拨EF始终不变，线段EF所对的角与题7的已知条件是相似的，解法几乎一致，抓住核心条件，线段

13、 为直角，因此斜边上的中线 DG始终不变，从而判断出点 G的轨迹图形为圆.利用轴对称的性质将线段和 最小值问题转化为点到动点的距离最小值问题，再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解.9 .在平面直角坐标系中，A(3, 0), B(a, 2), C(0, m), D(n, 0),且m2+n2=4,若点E为CD的中点,则AB + BE的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 25解：: C(0, m), D(n, 0), m2+n2=4,.CD2=4, .CD = 2在RtACOD中，点E为CD的中点.OE=1,即点E在以。为圆心，1为半径的圆上.作图4. 14,连接OE,过点A作直线y=2的

14、对称点A：连接AB、AO，A' (3 4) .AB+ BE=AB+BE= A'B+ BE+EO EOO-EO如图4.15所示，当且仅当 A'、B、E、O四点共线时等号成立.根据勾股定理得 A O = 斤K = 5. AB+BE的最小值为 4思路点拨根据两点之间的距离公式 m2+n2=CD2,得到CD的长度；由已知条件判断出 OE为斜边上的中线，OE= -CD (定值)；根据圆的定义可知点 E的轨迹是以坐标原点为圆心、-CD为半径的圆；利用对称的22性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题.BCD,则AD的取值范围为.10.如图3.7所示，AB =

15、3, AC=2,以BC为边向上构造等边三角形解：以AB为边向上作等边 AABE,连接DE,如图4. 16所示 .AB=BE, CB=BD, Z ABC=Z EBD=60°-Z CBE在AABC和AEBD中AB BE,ZABE Z EBD,CB BD, AABg AEBD(SAS)DE = AC=2.点D的轨迹是以点 E为圆心，2为半径的圆.AE- ED<AD<AE+ ED如图4. 17和图4. 18所示，当且仅当 A、E、D三点共线时取得最值1<AD<5思路点拨这样理解AB=3, AC = 2这个条件：固定一边 AB, / CAB可以自由变化，因此点 C的轨迹

16、是以点 A 为圆心、2为半径的圆.通过构造全等图形找出点D的运动轨迹.利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题.拓展本题的解法较多，对于定点+动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形时直接的方法.11.如图3.8所示，AB=3, AC=2,以BC为腰(点B为直角顶点)向上构造等腰直角三角形BCD,则AD的取值范围为；图3.8解答：以AB为腰做等腰直角 那BE (/ABE=90°),连接DE,如图4.19所示,CAB图4.19AE=v2AB=3v2, / ABC=ZEBD=90° -Z CBE, 在AABC和AEBD中?= ?/ ?/ ?= ?ABCA EBD (SAS)ED=A

17、C=2.点D的轨迹为以点 E为圆心、2为半径的圆AE-ED<AD<AE+ ED如图4.20和图4.21所示，当且仅当 A, E, D三点共线时取得最值,图4.20图 4.21 3v2' 2<AD3v2'+ 2思路点拨：解题方法基本同上题，也是通过构造全等图形找出点D的运动轨迹上,上的距离最值来解决问题再利用圆外一点到圆周12.如图3.9所示，AB=4, AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD,则AD的取值范围为,图3.9解答:DCA图4.22AB为底边构造等腰直角 那EB (/AEB=90°),连接DE,如图4.22所示,v2一?=A/2

18、? ? VU, AE=yAB=2v, Z EBA=ZCBD=45°/ ?/ ?45 ° / ?/. ABCAEBDr l V21-DE=-2-AC= v2.点D的轨迹为以点 E为圆心、V2为半径的圆AE-EDAD 用E+ED如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值图4.23图4.24V2 <AD<3v2思路点拨：与前面两题不同的是，由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点，因此构造全等图形变成构造相似图形，从而找出点D的运动轨迹，最后根据圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题13.如图3.10所示，AB=4, AC=2,以BC为底边向上构造等腰直

19、角三角形BCD,连接AD并延长至点P,使AD=PD,则PB的取值范围为，图3.10解答：以AB为底边构造等腰直角 那EB (/AEB=90°),连接DE,如图4.25所示,图 4.25一 如 一 V2一,，一- AE=yAB=2v2, /EBA=/CBD=45 ?=v2.? ? V / ?/ ?45 ° / ? . ABCsebdDE="2AC=v2.点D的轨迹为以点 E为圆心、V2为半径的圆延长AE至点Q,使AE=EQ,连接PQ、BQ, AD=DP,DQ=2DE=2v2如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值 BE 垂直平分 AQ, AB=B

20、Q /QAB=45°,. ABQ 为等腰直角三角形，. BQ=AB=4BQPQ 印BBQ + PQ如图4.26和图4.27所示，当B、P、Q三点共线时取得最值图 4.26图 4.27 .42v2 印B9+2v2思路点拨：注意到点 P的产生与中点有关，点 P的运动与点D捆绑”在一起，故可通过构造中位线来判断 点P的运动轨迹，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题14.如图3.11所示，正六边形 ABCDEF的边长为2,两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点 D到 坐标原点O的距离的最大值和最小值的乘积为；连接DB、OD . DCB为等腰三角形 . /C=120°,，/

21、DBC=30°, DB = v3DC=2v3, ./ DBA=120° -30 =90°在 RtADGB, GB=1,DG = v/?,+ ?2?= V（2 v3） 2 + 12 = DG- OG<ODOG+ DG当且仅当O、G、D三点共线时取得最值4.29所示,D、G在点O同侧时取得最大值，在点O异侧时取最小值，如图图4.29V13 uodA3 + 1OD的最大值和最小值乘积为 （V13- 1）（ v13 + 1）=12思路点拨：这个是墙角”型问题，类似于梯子在墙角滑动，将墙角变为平面直角坐标系，这样移动的范围能扩大到负方向；利用 墙角”产生的直角，以及

22、AB边长不变的特点，作出 AB的中点G,利用斜边上的中 线OG和位置固定的两点 D、G来构造两条大小不变、位置变化的线段 OG、DG;利用两边之和与两边之 差得到OD的最大值和最小值；另辟蹊径：利用相对运动的知识，我们假设正六边形是不变的，坐标系可以绕着正六边形运动；利用AOB=90°, AB=2,判断出点O的运动轨迹为一个圆，如图 4.30所示，O2图4.30利用圆外一点到圆周上的距离最值解得OD的最大值和最小值；读者可以自行计算验证15.如图3.12所示，AB=4,点O为AB的中点，O O的半径为1,点P是。上一动点，APBC是以PB为 直角边的等腰直角三角形（点P、B、C按逆时

23、针方向排列），则 AC的取值范围为；OBQ,连接 OP、CQ、AQ;图4.31在等腰直角ORQ和等腰直角ABPC中,? ?= ?V2, /QBO=45°,，/CBQ=45 /QBP=/PBO, /.A CBQA PBO? ? v2= =，? ?2CQ=v2点C在以点Q为圆心，亚为半径的圆上,. OQ=OB=OA=2, /QOB=90° AQ=，？?+ ?冷2也 . AQQC 用C q Q+QC如图4.32和图4.33所示，当且仅当P图4.32图4.33V2必CW 3V2思路点拨：由于 HBC形状固定，两个动点P、C到点B的距离之比始终不变， 这是比较典型的位似旋转， 也可理

24、解为点 P、C捆绑”旋转；旋转过程中，点 C的轨迹与点P的轨迹图形相似，相似比为 我:1;利用 相似找出动点 C轨迹的圆心，AC的最值即定点 A到定圆上一动点的距离的最值16.如图3.13所示，O。的半径为3, Rt祥BC的顶点A、B在OO ±, / B=90°,点C在。0内，且tanA3=-.当点A在圆上运动时，OC的最小值为（）4A. 2 B. - C. 3 D. 5答案：连接 OB,过点B向下作BDXOB,取BD= 4 OB,连接AD,如图4.34所示. 3. Z CBA=Z OBD =90°, .OBC=90°-Z OBA=Z DBA.CB- =

25、 OB- = 3 ,OCBA DAB ,AB BD 4AD2DOA=、OBBD2-OA=2,OC 3- =.AD 4当且仅当O、A、D三点共线时取得最值,0c = AD><2 =图 4.34思路点拨又是比较典型的位似旋转问题，我们利用相似的性质将OC的最值问题转化为 AD的最值问题.通过旋转型相似构造 RtAOBD,其中/ OBD = 90°, / ODB = / CAB,因此点 D为定点.另外，由 AOCBADAB 得到OC和AD之间的固定比例，从而可利用AD的最值求解OC的最值.AD的最值即为圆外一点到圆周上 一点的距离最值.另辟蹊径根据直径所对的圆周角为90

26、6;,找到直径AD,而/ ACD=180° / ACB为定值，因此由定弦定角得出点C的轨迹为圆弧，可根据图 4.35所示计算0C的最小值.图4.3517.如图3.14所示，在平面直角坐标系中，Q(3, 4),点P是以Q为圆心、0), B(1, 0),连接 PA、PB,则 PA2+PB2 的最小值是 .2为半径的。Q上一动点，A(1,答案：连接 OP、QP、OQ,如图4.36所示.设P(x, y).根据两点距离公式得FA2= (x- 1)2+y2, PB2=(x+1)2+y2,FA2+ PB2= 2x2+2y2+2= 2(x2 + y2) + 2 °P= " X2y

27、2 ,OP2=x2+y2,FA2+PB2=2OP2+2,要求PA2+PB2的最小值，即求 OP2的最小值，也就是求 OP的最小值，OP2Q PQ,如图4.37所示，当且仅当 0、P、Q三点共线时取得最值，.-，OP=5-2 = 3,PA2+PB2=2OP2+2>2X2升 2=20.思路点拨根据PA2+PB2这样的形式，产生两个联想，一是勾股定理，二是坐标公式.要使用勾股定理，就得把PA和PB构造为两条直角边，在题图中难以实现，所以转而利用坐标公式表达，我们便发现PA2+PB2与0P2的联系，而 0P的最小值即圆外一点到圆周上一点的距离最小值弦外之音 我们会发现，虽然点 P在动，但0P始终

28、是 那BP边AB上的中线，且AB是个定值，我们可以直AB2接利用中线长公式得到 PA2+ PB2= 2OP2 +,接下来的计算和上面是一致的 .公式的应用有助于对思路4的拓展，因此学有余力的同学可以自行推导中线长公式(仅用勾股定理即可).18.如图3.15所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起, 绕直角顶点F旋转一周，在这个旋转过程中， B、BC=3, EF = 2, G为DE上一动点.将三角尺 DEF G两点的最/J、距离为 .答案：在 RtADEF 中，CE=2, /CDE = 30°, . DF = 2 百，DE = 4.如图4.38所示，当点G与点D重合时，CGmax=DF=2%

29、3 ,当 CGDE 时，CGmin=h= 2 SADEF =22，=、3DE4点 9GW2 技当CG = 3时，以C为圆心、CG为半径的圆恰好经过点 B.在4DEF旋转的过程中，点 G会经过点B.因此，当BG恰好重合时，BG取得最小值为0.思路点拨这是个 特别”的题，点G是DE上一动点，因此在转动的过程中，点G的轨迹不是线而是面，这个面的形状为以点 C为圆心、分别以 CGmin和CGmax为半径的同心圆环，点 B也在这个 面轨迹”中，因此BG 的最小值为0.19.如图 3.16 所示，在 RtAABC 中，ZABC=90°, / ACB= 30°, BC= 2 72 , A

30、ADC 与 AABC 关于 AC 对称， 点E、F分别是边 DC、BC上的任意一点，且 DE = CF, BE、DF相交于点P,则CP的最小值为（）A.1 B. 3C.3D.22答案：连接BD,如图4.39所示. ADC 与 AABC 关于 AC 对称，/ ACB = 30°, . . BC = CD , Z BCD = 60°, .BDC 是等边三角形，BD = CD, Z BDC = Z BCD = 60°.在4BDE 和 ADCF 中，BD = CD, /BDC = /BCD, DE=CF, BDEADCF(SAS), . / BED = / DFC. /

31、BED + / PEC =180°,/ PEC + / DFC = 180°, ./ DCF + / EPF = / DCF + / BPD= 180°. . Z DCF =60°, BPD=120°. 点P在运动中保持/ BPD = 120°,，点P的运动路径为以 A为圆心、AB为半径的120°的弧.当C、P、A三点共线时，CP能取到最小值，如图 4.40所示，CP9CAP=2,即线段CP的最小值为2.思路点拨B F C 图4.40需要熟悉等边三角形中的常见全等图形P的路径是一段以点 A为圆心的弧，于是将.因为点P在运动中

32、保持/ BPD = 120°, BD又是定长，所以点CP的最小值转化为圆外一点到圆上一点的距离最小值.20.如图3.17所示，sinO=3,长度为2的线段DE在射线OA上滑动，点C在射线OB上，且OC=5,则5CDE周长的最小值为.答案：过点 C作CC'/DE且CC'=DE,连接C'E,如图4.41所示， ，四边形CC'ED为平行四边形，C'E=CD.作点C关于OA的对称点 C,连接CE、CD、CC, . CE = CE, CD+ CE=C'E + CE=C'E+ C' EWC",当且仅当C'、E、C&

33、quot;三点共线时取得最值，如图 4.42所示.CC”关于OA对称，OA垂直平分CC",2 .CC" = 2CF=2OC sinO=6.在 RtCC'C"中，C'C"= Jcc'2 CC 2 = 2、.而,3 ACDE周长的最小值为 2 <10 + 2.思路点拨因为DE为定值，所以4CDE周长的最小值问题转变为 CD + CE的最小值问题.似饮马“非饮马”，注 意观察，这是一定两动问题 .利用平移将动线段 DE压缩”为一个动点；轴对称后根据两点之间线段最短找 到最小值线段，再根据勾股定理计算即可解决问题21、如图 3.18

34、 所示，在矩形 ABCD 中，AB=6,MN 在边 AB 上运动，MN= 3, AP= 2, BQ= 5,贝U PM+MN+NQ 的最小值是。解：作QQ MN 3 ,作点Q关于直线 AB的对称点Q ,连接PQ ,连接Q M、Q M ,作 Q''H DA于点H,如图4.43所示， 四边形MNQQ为平行四边形，Q'M Q'M , PM NQ MN _ ' _ " . . . . . " , " PM Q M 3 PQ 3,如图4.44所示，当P、M、Q三点共线时，PM Q M取得最小值。 ''''

35、'''''QQ 关于 AB 对称， QQ 2BQ 10 , AH=BQ= 5, PH=AP+AH= 2+5=7。在 RtAPH Q 中， HQ" AB QQ' = 3, PQ" VPH 2 HQ''2$72 32<58 , PM+MN+NQ 的最小值为 3+ V58 o图44W图444思路点拨：作 QQ / AB ,使得QQ MN 3 ,作点Q关于AB的对称点Q ,连接PQ ,当P、 M、Q''三点共线时，PM+MN+NQ 的值最小。作 Q'HDA 利用勾股定理求出 PQ即可解决问

36、题。22、如图3.19所示，在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB= 900, AB=6, D为AB的中点，E为CD上的 点，且CE=2DE, PQ为AB上的动线段，PQ=1, F为AC上的动点，连接 EQ、FP,则EQ+FP的最小值 为。图 3.19解：过点E作EE'/ PQ,取EE =PQ=1,作点E'关于AB的对称点E'连接E'RE'',P如图4.45所示， 四边形 EE' PQ为平行四边形，E' P=E P E' P=EQ EQ+FP=E P+FP=E ' P+FPE' ',F如图4.46所

37、示，当且仅当E''、P、F三点共线且E''AC时取到最小值。当E''小AC时，设E'E'与'AD的交点为G,E''国AD的交点为H,如图4.47所示。Q E'与E'关于AB对称，E' ' G=E G=ED= AG= 2, Q/A=45°,/FHA=/E' ' HG50,HG=E ' G=1, AH=AG HG= 1。在等腰直角 ZAFH 和 AHGE '中，AH= 1 , HG= 1 , FH= ,E''H=2,E&#

38、39;'F=E''H+FH=2, 当E''巾 AC 时，E''取得最22小值为3-2-0 2思路点拨：作 EE' / PQ,取EE' =PQ,构造平行四边形，将 EQ+FP的长度转化为E' P+ FP的长度来 找最小值。作对称点，构造 将军饮马”模型，再利用 垂线段最短”求出最小值。与题 21类似，本题也要将 线段PQ压缩”为一个点，属于平移后求垂线段长度的问题。23、如图3.20所示，在正方形 ABCD中，AB=4, E、F分别为AB、AD的中点，MN和PQ分别是边BC、CD上的线段，MN=PQ=1,依次连接EM

39、、NP、QF、EF,则六边形EMNPQF周长的最小值为 解：分别过点 E、F作BC、CD的平行线，截取 EE =FF' =MN=PQ,作点E'关于BC的对称点E' 点F'关于CD的对称点F'连接E' N E''、NF'R F'',珈图4.48所示， 四边形EENM和四边形FF'PQ为平行四边形，EM=E N , FQ=F P。Q点E'、E'关于BC对称，N为BC上的点，E' N=E '°N同理，F' P=F' o六边形 EMNPQF的周长=E

40、M+MN+NP+PQ+FQ+EF ,其中MN、PQ、EF为定值，要求周长最 小值即求 EM+NP+FQ 的最小值。Q EM+NP+FQ=E N+NP+F ' P E' ' F'如图 4.49 所示，当 E'、' N、P、F'四点共线时取到最小值。建立如图4.50所示的坐标系，由题意得点E的坐标为(0, 2),E' (1, 2),E，' F542 Q AE=AF= 2, EF= V2 AE= 2& ,六边形E' '(1, 2)。同理可得 F' '(6, 3), EMNPQF的周长最小值

41、为7，2+2。思路点拨：本题中有两条定线段平移，那我们就仿照上两题的方法平移两次即可。分别构造平行四边形EE' NM和平行四边形 FF' PQ将六边形EMNPQF的周长最小值问题转化为 E' ' N+NP+F '的最小值问 题(属于 邮差送信”问题)，依旧作出对称点，根据两点之间线段最短求出最小值。这里求解最小值时用到了平面直角坐标系，这是 谕懒”的一种计算方法，相当于在平面直角坐标系的背景下应用勾股定理，亦可 根据勾股定理求解 E' F：与题21,题22相比，本题是两次平移后的两点之间距离”问题。24、如图3.21所示，在矩形 ABCD中，AB

42、=2, BC= 4, E、F分别为AD、BC上的动点，且 EFXAC, 连接AF、CE,则AF+CE的最小值为 。图 3.21解：过点C作CG / EF,且CG=EF ,连接FG、AG,如图4.51所示， 四边形ECGF为平行四边形，EC=FG。在图4.52中，过点B作BH/ EF , 四边形BFEH为平行四边形，EF=BH 。Q EF± AC,AABCshab,BH： AC=EF ：AC=AB ：BC。综上所述， CGXAC 且 CG=EF= 55 ,G 为定点，AF+ CE=AF + FG AG,如图4.53所示，当A、F、G三点共线时取到最小值。 在矩形 ABCD中，AB= 2

43、, BC= 4,思路点拨：本题要求两条线段和的最小值，而对分开的两线段不易判断最值的问题，所以需要将它们合并起来，可采用的方法是全等转换，我们这里使用的是平移变换。将线段CE平移至以点F和另一个固定点G为端点的线段位置，即可根据两点之间线段最短解决最小值问题。25、如图3.22所示，在？ABCD中，AD=7, AB= 2<3 , Z B=600, E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将 “BE沿BC方向平移到4DCF的位置，得到四边形 AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为 解：如图 4.54 所示，将AABE 平移，AabeA DCF , AE=DF , BE=CF。在？ABCD 中，

44、AD=BC ,AD=EF , 四边形 AEFD的周长=2AD+2AE= 14+2AE。如图4.55所示，当 AEBC时，AE取得最小思路点拨：四边形 AEFD依旧是一个平行四边形，周长等于 2 (AD+AE),故将四边形 AEFD周长的 最小值问题转化为 AE的最小值问题。根据 熏到直线，垂线段最短”即可解决问题。26.如图1所示，在 RtAABC中，/ BAC = 90°, AB = 4, AC=3,点D、E分别是 AB、AC的中点，点 G、 F在BC边上(均不与端点重合)，DG / EF>ABDG绕点D顺时针旋转180°,将4CEF绕点E逆时针 旋转180

45、6;,拼成四边形 MGFN ,则四边形MGFN周长l的取值范围是.26.解：由题意得 ABGDAAMD,. . / M = / DGB , .AM/ / BG, 四边形MGFN为平行四边形，. .l = 2 (GF + GM). ，GF=MN=BG + CF= BCGF,15一 GF = _ BC=, GM = 2DG ,.，当DG取得最小值时，四边形 MGFN大.如图1和图2所示，当 DGLBC时，DG的周长最小；同理,当 DG取得最大值时，四边形 MGFN周长最取得最小值；若点G与点B重合，则DG取得最大值.当DGLBC时，/ B是公共角， ABDGABCA, BD : BC= DG :

46、AC,6 DG =一, 5 6 八一一=DG V 2,5 ,49 Mv 13 5思路点拨：四边形MGFN为平行四边形，而 GF为定值，所以将周长的取值范围问题转化为线段DG(EF)的取值范围问题，当 DGLBC时DG取得最小值；由于点 G、F与端点均不重合，因此最大值取不 到.27.如图1所示，在 RtAABC中，/ ACB=90°, CDAB.若CD = 3,则Szabc的最小值为图127.解：取AB的中点巳连接CE,如图1所示，图11-CE= AB.2CD± AB,.CE 式D,AB>CD = 6,- Saabc的最小值为9.当且仅当D为AB的中点时取到最小值,

47、思路点拨”，找CD为定值，则当AB最小时，S3bc取得最小值.根据斜边上的中线等于斜边的一半 ”和里线段最短 到当D为AB的中点时，AB取得最小值为2CD.直角三角形中斜边上的中线是一个比较容易被忽略的知识 点，尤其是在需要主动去构造的时候 .28.如图1所示，在平面直角坐标系中，以坐标原点 。为圆心、2为半径画。O, P是。上一动点且点 P 在第一象限内，过点 P作。O的切线与x轴相交于点B,与y轴相交于点A,则线段AB的最小值是图128.解：取AB的中点Q,连接OP、OQ,如图1所示，图1.OQ= - AB. 2. OPMOQ,1 八一 一AB P,2AB>4即AB的最小值为4,此时

48、AAOB为等腰直角三角形.思路点拨”，AB的最小值在要求AB的最小值，只需取 AB的中点，求出斜边上的中线的最小值，根据垂线段最OP与斜边上的中线重合时取到 .AC相切，且与AB、29.如图1所示，在矩形ABCD中，BC=8, AB=6,经过点B和点D的两个动圆均与 BC、AD、DC分别交于点 G、H、E、F,则EF+GH的最小值是 .29.解：设切点为 N,连接OD、ON,作出AC边上白高DM,如图1所示. / ADC = 90°,.EF 为。的直径，AC= 762 82 = 10, EF = OD + ONRM ,当且仅当切点为点 M时EF取到最小值，EFmin=DM=2gSVD

49、C=6-8=4.8. AC 10.矩形为中心对称图形，向理，GH min=EF min= 4.8 , .(EF + GH)mn=9.6.恩路点拨虽然目标式是 EF+GH的组合形式，但是观察后发现两个线段可独立求解最值.由于矩形为中心对称图形，因此EF和GH的最小值显然是相等的，于是将问题转化为求EF的最小值，注意到 EF是圆的直径，根据垂线段最短”，可知圆的最短直径是 9CD斜边上的高线.30.如图1所示，在那BC中，/C = 90°, AC=4, BC=3-忒D、E分别为 AC、BC边上的动点，且DE=3, 以DE为直径作。，交AB于M、N,则MN的最大值为 .30.解：过点。作O

50、GLAB,连接ON、CO,如图1所示,ON= r= 1 DE = 3 ,22,-.GN=GM= 1MN 2在RtOGN中，GN2= ON2 OG2,其中ON为定值，故当 OG取最小值时，GN取得最大值，即 MN取得 最大值.过点C作CHXAB.在 RtAABC 中，AC=4, BC=3,AB = 5. SAABC= 1AC BC= 1CH AB,2CH = - 5sCO + OG,5OG>12- 3= _9_ GNmax =,10(9)21012 . MN max= 2GNmax=5思路点拨DE为定值，即。O的半径为定值，故当弦 OG最短时垂足的位置.MN上的垂径最短时，MN取得最大值，

51、根据 里线段最短”找出31.如图3.28所示，在RtABC中,将点P绕点D逆时针旋转90得到点A P',90连接,AB 3, AC 4, D为AC的中点，P为AB上的动点,CP',则线段CP '的最小值为O解：如图4.62所示，过点 由题意可得DP P'D,ADP EP'D在 DAP和 P'ED中ADP EP'DA P'EDP'作 PE'PDP' 90AC于点P'ED 90DP DP'DAP 心 P'ED (AAS)P'ECP'AD 2P'E当AP DE 2,

52、即点E与点C重合时，CP'，线段CP'的最小值为2BA ON于点A,四边形 ABCD为正方形，P90得到CE ,连接BE。若AB 4 ,则BE的32.如图3.29所示，已知 MON 30 , B为OM上一点， 为射线BM上一动点，连接 CP ,将CP绕点C顺时针旋转最小值为PO图 3.29解：连接PD,如图4.64所示在正方形 ABCD 中，CD BC , BCD 90 。由题意得PC CE , PCE 90 ,BCE DCP 90 BCP在 BCE和 DCP中BC CDBCE DCPCE CP图 4.64 . BCE DCP (SAS) BE PD如图4.65所示，当PD 在

53、 Rt AOB 中， OOA 3AB 4 3在 RtODP 中，PDBE的最小值为2 J3OM时，PD取得最小值 3011L-OD (OA AD) 23 2, 222图 4.6533.已知梯形 ABCD 中，AD/BC, AB BC , AD 1 ,AB 3, BC 4。若P为线段AB上任意一点，延长 PD到点E ,使DE 2PD ,再以PE、PC为边作口 PCQE ,如图3.30所示，则对角线 PQ的最小值为 。图 3.30解：如图4.66所示PE /CQ , 2PD DE . PFD st QFC .DF PD PF 1 . -FC CQ FQ 31八1-PF PQ, DF DC 44即F

54、为DC的四等分点（定点）N,DM /FN，四边形 ABMD为矩形 DM AB 3 , BM AD 1MC 3F为DC四等分点N为CM四等分点3 MN 343 7 PF BN 1 -4 4PQ 4PF 7PQ的最小值为734.如图3.31所示，在 ABC中，点Q是射线PM上的一个动点。则BC图 4.67AiDbKc M NC图 4.684AC 10, BAC 30 ,点P是射线AB上的一个动点，cos CPM 4,5CQ长度的最小值是。如图4.67所示，当PF AB时，PF取得最小值，PQ也取得最小值如图4.68所示，过点D、F分另作BC的垂线段，垂足分别为点 M、解：如图4.69所示，当CP AN时， 同理，当CQ PM时，CQ最小A Q-_MAc cNP B 图 3.31CP最小由于cos CPM为定值，CP、在 RtAPC 中，AC 10,八1八CP -AC 5 2在 Rt CPQ 中，cos CPM PQ PC cos CPM 4CQ JCP2 PQ2 3CQ的最小值为3CQ同时取得最小值BAC 30/4bp图 4.69.一 一一一235.如图3.32所不，直线y x 4与x轴、y轴分别交于点 A和点B ,点D为线段OB的中点，点C、P 3分别为AB、OA上的动点。当PC PD最小时，点P的坐标为解：作点D关于x轴的对称点 PD PD'