第十五章第一讲第一节相似三角形的判定及其有关性质

1、高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学第十五章第十五章 选考部分选考部分第一讲：几何证明高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学考纲分解解读考纲分解解读 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.2.会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）5.了解下面定理定理：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于点O，其夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点、l为母线的圆锥面，任取平面，

2、若它与轴交角为（与l平行，记=0），则：（1），平面与圆锥的交线为椭圆；（2）=，平面与圆锥的交线为抛物线；（3），平面与圆锥的交线为双曲线.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学备考方略备考方略 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学 根据2010年高考所命的选做题来看，题目难度均为中等或容易题.预计2011年高考题中的选做题仍然是中等或容易题，因此在复习过程中，只要注意理解专题内容中的基本概念、定理、公式，以及掌握基本的解题方法即可，不宜钻得过深、过难，避免浪费许多时间和精力.但由于是容易题或中等题，应该志在必得. 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学第一节第一节 相似三角形的判定

3、及其有关性质相似三角形的判定及其有关性质高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学课前自主学案课前自主学案 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学1相似三角形的定义相似三角形的定义对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做两个相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）.2 相似三角形的判定相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）两角对应相等的两个三角形相似.（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.（4）三边对应成比例的两三角形相似.（5）直角三角形相似的判定如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么

4、它们相似.如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学3相似三角形的性质相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（2）相似三角形周长的比等于相似比.（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方.（4）相似三角形外接圆的直径比，周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学4有关比例的几个重要定理有关比例的几个重要定理（1）平行线等分线段定理：如果一组

5、平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一边.（2）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学（3）直角三角形的射影定理）直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直

6、角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项. 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学基础自测基础自测 1. 在四边形ABCD中，ADBC，E为AB的中点，DEC的面积为S，则四边形ABCD的面积为 _。 解析：解析：过点E作CD的平行线交DA或DA的延长线于点M，交BC或BC的延长线于点N，则四边形MNCD为平行四边形，其面积为2S.又易知四边形ABCD与四边形MNCD相等.故四边形ABCD的面积为2S。 答案是答案是2S 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学2.如右图所示，已知D是ABC中AB边上一点，DEBC且交AC于点E,EFAB且交BC于F，且SADE=1,SEFC=4，则四边

7、形BFED的面积等于 _。 解析：设四边形BFED的面积为x，DEBC，AED=ECF,ADE=ABC，又EFAB，EFC=ABCEFC=ADE，ADEEFC，则SADE /SEFC=(AE/EC)2=1/4，AE/EC=1/2,AE/AC=1/3，则SADE/SABC=(AE/AC)2=1/9，1/(1+x+4)=1/9，x=4. 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学2. (2009年湛江师院附中月考年湛江师院附中月考）如右图所示，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则BF/FC =_。 解析：设G是FC的中点，D是AC的中点DGAF又E是BD的中点，F是BG的中

8、点.BF/FC=BF/2FG=1/2.答案：1/2高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学3. (2009年广州模拟）如下图所示，在四边形ABCD中, EFBC，FGAD，则EF/BC+FG/AD=_。 解析：设EF/BC=,则 CF/CA=1-，即FG/AD=1-,EF/BC+FG/AD=+（1-）=1.答案：1 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学课堂互动探究课堂互动探究 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学平行线分线段成比例定理的运用 如右图所示,已知ABEFCD(1)求证: (2)若AB=8cm,CD=12cm,求EF的长. 111ABCDEF分析：分析：由于BC是ABC与DB

9、C的公共边,且ABEFCD,利用平行线分三角形成相似三角形的定理可证，进而可求EF的长. 证明：证明：在ABC中,EFAB, EFCFABCB在DBC中,EFCD, ，两式相加， EFBFCDBC1EFEFCFBFABCDCBBC111ABCDEF2 由 ，得 则EF=24/5cm 111ABCDEF111812EF高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学变式探究变式探究 1.如下图，在ABC中，D为BC的中点，E为AD上一点，延长BE交AC于点F，若AE/AD=1/4,则AF/AC的值为 =_。解析：解析：如右图，作DHBF交AC于点H，D是BC的中点，H是FC的中点.又AE/AD=1/4,

10、AF/AH=1/4，AF/FH=1/3,又FH=HC，AF/AC=1/7.答案：1/7高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学 1.证明：三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比 。三角形内（外）角平分线的性质 分析分析：原题可化为：已知，如右图所示，AD是ABC的角平分线，求证：BD/DC=BA/AC.要证比例式，可以考虑利用平行线，于是可以过点C作CEDA，与BA的延长线交于点E，这样就能用平行截割定理.证明：过点C作CEDA，与BA的延长线交于点E，CEDA，AEC=BAD,DAC=ACE.又AD是BAC的角平分线，BAD=DAC.ACE=AEC，AC=AE.由平行截线

11、定理知： BD/DC=BA/AE，即 BD/DC=BA/AC.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学点评：点评：在几何证明中，如果题目给的条件较为分散，可以通过添加辅助线，使分散的条件适当集中.如果能熟练掌握几个基本图形，把所要证明的图形转化为基本图形，可使证明思路更明确，更快捷. 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学2在ABC中，AD是BAC的外角CAE的平分线求证：AB AC=BD DC 变式探究变式探究 证明：如右图示，过点D作DECA，与BA的延长线交于点EDECA，DAC=ADE又AD是BAC的外角平分线，EAD=DAC，ADE=EAD，DE=AE.由平行线截割定理知：BACB

12、ED, ,BDBEBEDCAEDEBAACBEDEBABEACDEBDBADCAC高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学相似三角形的判定和性质 如右图所示，在梯形ABCD中，ABCD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：EDMFBM；（2）若DB=9，求BM 解析解析：（：（1）证明：E是AB中点，AB=2BE，又AB=2CD，CD=EB，又ABCD，四边形CBED是平行四边形，CBDE，DEM=BFMEDM=FBM，EDMFBM （2）EDMFBM，DM/BM=DE/BF，F是BC中点，DE=2FB，DM=2BM，BM=1/3DB=3 高考总复习高

13、考总复习.文科文科.数学数学变式探究变式探究 3.等边DEF内接于ABC,且DEBC,已知AHBC于点H，BC=4,AH= ,求DEF的边长. 3解析：解析：设等边DEF的边长为x,则它的高为：因为DEBC,所以解得：x=4/332x33243x高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学 如右图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交AD于点F,ECA=D.求证:ACBE=CEAD.三角形中等量关系的证明 证明：四边形ABCD是平行四边形,AFBC. 又AECD,AFEDFC,又ECA=D,CAF=DAC,AFCACD,ACBE=CEAD.CEEFBEEACEEFCF,=

14、BEEACDEAEFCDCF即ACCFACCE,ADCDADBE高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学变式探究变式探究 4. 如右图所示，在ABC中，AB=AC,AD是边BC的中线，P为AD上一点，CFAB，BP的延长线分别交AC,CF于点E,F，求证：BP2=PEPF. 证明：证明：连结PC，AB=AC,中线AD是此等腰三角形的对称轴.ABP=ACP，PB=PC,又CFAB，CFP=ABP=PCE.又CPF为两个三角形的公共角，CPEFPC, BP2=PC2=PEPFPCPFPEPC高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学温馨提示温馨提示 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学 在几何证

15、明中，如果题目给的条件较为分散，可以通过添加辅助线，使分散的条件适当集中.如果能熟练掌握几个基本图形，把所要证明的图形转化为基本图形，可使证明思路更明确，更快捷. 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学 题型展示台题型展示台 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学 （2009年江苏卷年江苏卷）如下图，在四边形ABCD中，ABC BAD。求证：ABCD证明：证明：由ABC BAD得ACB=BDA,故A、B、C、D四点共圆，从而CAB=CDB.再由ABC BAD得CAB=DBA.因此DBA=CDB,所以ABCD. 高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学 （2009年宁夏、海南卷年宁夏、海南卷

16、），如右图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B=60，F在AC上，且AE=AF.（1）证明：B、D、H、E四点共圆；（2）证明：CE平分DEF.证明证明：（1）在ABC中，因为B=60, 所以BAC+BCA=120. 因为AD，CE是角平分线，故 HAC+HCA=60AHC=120. 于是EHD=AHC=120. 因为EBD+EHD=180，所以B,D,H,E四点共圆.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学证明证明：（2）连结BH，则BH为ABC的平分线，得 HBD=30 由（1）知B，D，H，E四点共圆， 所以CED=HBD=30. 又AHE=EBD=60,由已知可得EFAD,

17、 可得CEF=30. 所以CE平分DEF.高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学题型训练题型训练 1.（2009年宁夏银川）自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点.求证：MCP=MPB. 证明：PA与圆相切于A，MA2=MBMC.M为PA的中点，PM=MA,PM2=MBMC，BMP=PMC,BMPPMC,MCP=MPB.PMMBMCPM高考总复习高考总复习.文科文科.数学数学2.（2009年江苏淮安年江苏淮安）如右图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D.（1）求ADF的度数；（2）若AB=AC,求AC/