2013年天津市高考数学试卷（文科）解析版

1、2013年天津市高考数学试卷（文科）解析版参考答案与试题解析一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1（5分）已知集合AxR|x|2，BxR|x1，则AB（）A（，2B1，2C2，2D2，1【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出AB即可【解答】解：Ax|x|2x|2x2ABx|2x2x|x1，xRx|2x1故选：D【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题2（5分）设变量x，y满足约束条件3x+y-60

2、x-y-20y-30，则目标函数zy2x的最小值为（）A7B4C1D2【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】先根据条件画出可行域，设zy2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线zy2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：设变量x、y满足约束条件 3x+y-60x-y-20y-30，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y2x0经过点A（5，3）时，y2x最小，最小值为：7，则目标函数zy2x的最小值为7故选：A【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思

3、想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定3（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A7B6C5D4【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S2，因此输出的n4【解答】解：由程序框图可知：S20+（1）1×1+（1）2×2+（1）3×3+（1）4×4，因此当n4时，S2，满足判断框的条件，故跳出循环程序故输出的n的值为4故选：D【点评】正确理解循环结构的功能是解题的关键4（5分）设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充

4、分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解【解答】解：a，bR，则（ab）a20，ab成立，由ab，则ab0，“（ab）a20，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，bR，则“（ab）a20”是ab的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题5（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x1）2+y25相切，且与直线axy+10垂直，则a（）A-12B1C2D12【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系；J9：直线与圆的位置关系菁优

5、网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线axy+10的斜率，然后求出a的值即可【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x1）2+y25的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x1）2+y25相切，且与直线axy+10垂直，所以切点与圆心连线与直线axy+10平行，所以直线axy+10的斜率为：a=2-02-1=2故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力6（5分）函数f（x）sin（2x-4）在区间0，2上的最小值是（）A1B-22C22D0【考点】HW：三角函数的最值菁优网版权所有【专题】5

6、7：三角函数的图象与性质【分析】由题意，可先求出2x-4取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值【解答】解：由题意x0，2，得2x-4-4，34，sin(2x-4)-22，1函数f(x)=sin(2x-4)在区间0，2的最小值为-22故选：B【点评】本题考查正函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值7（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（log12a）2f（1），则a的取值范围是（）A12，2B1，2C(0，12)D（0，2【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4H：对数的运算

7、性质菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（log12a）2f（1）化为：f（log2a）f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（log12a）f（log2a）f（log2a），则f（log2a）+f（log12a）2f（1）为：f（log2a）f（1），因为函数f（x）在区间0，+）上单调递增，所以|log2a|1，解得12a2，则a的取值范围是12，2，故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题8（5分）设函

8、数f（x）ex+x2，g（x）lnx+x23若实数a，b满足f（a）0，g（b）0，则（）Ag（a）0f（b）Bf（b）0g（a）C0g（a）f（b）Df（b）g（a）0【考点】57：函数与方程的综合运用菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）0，g（b）0判断a，b的取值范围即可【解答】解：由于yex及yx2关于x是单调递增函数，函数f（x）ex+x2在R上单调递增，分别作出yex，y2x的图象，f（0）1+020，f（1）e10，f（a）0，0a1同理g（x）lnx+x23在R+上单调递增，g（1）ln1+1320，g（

9、3）=ln3+(3)2-3=12ln30，g（b）0，1b3g（a）lna+a23g（1）ln1+1320，f（b）eb+b2f（1）e+12e10g（a）0f（b）故选：A【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）i是虚数单位复数（3+i）（12i）55i【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：（3+i）（12i）36i+i2i255i故答案为55i【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键10（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的

10、体积为92，则正方体的棱长为3【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：3a，正方体的外接球的半径为：3a2，球的体积为：43×(3a2)3=92，解得a=3故答案为：3【点评】本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力11（5分）已知抛物线y28x的准线过双曲线x2a2

11、-y2b2=1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为x2-y23=1【考点】K8：抛物线的性质；KB：双曲线的标准方程菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的标准方程y28x，可得p2=2，故其准线方程为x2由题意可得双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一个焦点为（2，0），即可得到c2再利用双曲线的离心率的计算公式可得ca=2，得到a1，再利用b2c2a2可得b2进而得到双曲线的方程【解答】解：由抛物线y28x，可得p2=2，故其准线方程为x2由题意可得双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一个焦点为（2，0），c2

12、又双曲线的离心率为2，ca=2，得到a1，b2c2a23双曲线的方程为x2-y23=1故答案为x2-y23=1【点评】熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键12（5分）在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60°，E为CD的中点若ACBE=1，则AB的长为12【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出【解答】解：BC=AD，EC=12ABACBE=(AD+AB)(BC-EC)=(AD+AB)(AD-12AB)=AD2+12ABAD-12AB2=12+12|AB|&#

13、215;1×cos60°-12|AB|2=1，化为2|AB|2-|AB|=0，|AB|0，|AB|=12故答案为12【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键13（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，ABDC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E若ABAD5，BE4，则弦BD的长为152【考点】HR：余弦定理；NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】连结圆心O与A，说明OAAE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出BAE的余弦值，然后求解BD即可【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长

14、线交于点E所以OAAE，因为ABAD5，BE4，梯形ABCD中，ABDC，BC5，由切割线定理可知：AE2EBEC，所以AE=4×9=6，在ABE中，BE2AE2+AB22ABAEcos，即1625+3660cos，所以cos=34，ABAD5，所以BD2×ABcos=152故答案为：152【点评】本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力14（5分）设a+b2，b0，则12|a|+|a|b的最小值为34【考点】7F：基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由题意得a+b2=1代入所求的式子，进行化简后，再

15、对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值【解答】解：a+b2，a+b2=1，12|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，b0，|a|0，b4|a|+|a|b1（当且仅当b24a2时取等号），12|a|+|a|ba4|a|+1，故当a0时，12|a|+|a|b的最小值为34故答案为：34【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标Sx+y+z评价该产品

16、的等级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率【考点】BE：用样本的数字特征估计总体的数字

17、特征；C1：随机事件；CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（）用综合指标Sx+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解【解答】解：（）计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为610=0.6从而可估计该批产品的一

18、等品率为0.6；（）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9共15种（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7则事件B发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共6种所以p（B）=615=25【点评】本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题16（13分

19、）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知bsinA3csinB，a3，cosB=23（1）求b的值；（2）求sin（2B-3）的值【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理；HU：解三角形菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】（） 直接利用正弦定理推出bsinAasinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（） 利用（）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解sin(2B-3)的值【解答】解：（）在ABC中，有正弦定理asinA=bsinB，可得bsinAasinB，又bsinA3csinB，可得a3c，又a3，所以

20、c1由余弦定理可知：b2a2+c22accosB，cosB=23，即b232+122×3×cosB，可得b=6（）由cosB=23，可得sinB=53，所以cos2B2cos2B1=-19，sin2B2sinBcosB=459，所以sin(2B-3)=sin2Bcos3-sin3cos2B=459×12-(-19)×32=45+318【点评】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力17（13分）如图，三棱锥ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E

21、，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（）证明EF平面A1CD；（）证明平面A1CD平面A1ABB1；（）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5Q：立体几何【分析】（I）连接ED，要证明EF平面平面A1CD，只需证明EFDA1即可；（II）欲证平面平面A1CD平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；（III）先过B作BGAD交A1D于G，利用（II）中结论得出B

22、G面A1CD，从而BCG为所求的角，最后在直角BGC中，求出sinBCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值【解答】证明：（I）三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，ACA1C1，连接ED，可得DEAC，DE=12AC，又F为棱A1C1的中点A1FDE，A1FDE，所以A1DEF是平行四边形，所以EFDA1，DA1平面A1CD，EF平面A1CD，EF平面A1CD（II）D是AB的中点，CDAB，又AA1平面ABC，CD平面ABC，AA1CD，又AA1ABA，CD面A1ABB1，又CD面A1CD，平面A1CD平面A1ABB1；（III）过B作BGA1D交A1D于G，平面A1CD平面A

23、1ABB1，且平面A1CD平面A1ABB1A1D，BGA1D，BG面A1CD，则BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=52a，由A1ADBGD，得BG=55a，在直角BGC中，sinBCG=BGBC=55，直线BC与平面A1CD所成角的正弦值55【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题18（13分）设椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433（）求椭圆的方程；（）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与

24、椭圆交于C，D两点若ACDB+ADCB=8，求k的值【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；IG：直线的一般式方程与直线的性质；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）先根据椭圆方程的一般形式，令xc代入求出弦长使其等于433，再由离心率为33，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程（）直线CD：yk（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由y=k(x+1)x23+y22=1消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k260，再由韦达定理进行求解求得ACDB+ADCB，利用ACDB+ADCB=8，即可求得k的值【

25、解答】解：（）根据椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为433，当xc时，a2-b2a2+y2b2=1，得y±b2a，2b2a=433，离心率为33，ca=33，解得b=2，c1，a=3椭圆的方程为x23+y22=1；（）直线CD：yk（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由y=k(x+1)x23+y22=1消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k260，36k44（2+3k2）（3k26）0，x1+x2=-6k22+3k2，x1x2=3k2-62+3k2，又A（-3，0），B（3，0），ACDB+ADCB（x1+3，y

26、1）（3-x2y2）+（x2+3，y2）（3-x1y1），6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2，6+2k2+122+3k2=8，解得k=±2，满足0，则k±2【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质19（14分）已知首项为32的等比数列an的前n项和为Sn（nN*），且2S2，S3，4S4成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 证明Sn+1Sn136(nN*)【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和菁优网

27、版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】（）由题意得2S32S2+4S4，变形为S4S3S2S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；（）根据（）求出Sn=1-(-12)n，代入Sn+1Sn再对n分类进行化简，判断出Sn随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出Sn+1Sn的最大值【解答】（）解：设等比数列an的公比为q，2S2，S3，4S4等差数列，2S32S2+4S4，即S4S3S2S4，得2a4a3，q=-12，a1=32，an=32(-12)n-1=(-1)n-132n；（）证明：由（）得，Sn=321-(-12)n1+12=1-(-12)n，Sn+1Sn=1-(-12)n

28、+11-(-12)n，当n为奇数时，Sn+1Sn=1+(12)n+11+(12)n=1+12n+2n1+2n=2+12n(2n+1)，当n为偶数时，Sn+1Sn=1-(12)n+11-(12)n=2+12n(2n-1)，Sn+1Sn随着n的增大而减小，即Sn+1SnS1+1S1=136，且Sn+1SnS2+1S2=2512，综上，有Sn+1Sn136(nN*)成立【点评】本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力20（14分）设a2，0，已知函数f(x)=x3-(a+5)x，x0x3-a+32x2+a

29、x，x0（） 证明f（x）在区间（1，1）内单调递减，在区间（1，+）内单调递增；（） 设曲线yf（x）在点Pi（xi，f（xi）（i1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x30，证明x1+x2+x3-13【考点】62：导数及其几何意义；63：导数的运算；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】（）令f1(x)=x3-(a+5)x(x0)，f2(x)=x3-a+32x2+ax(x0)分别求导即可得到其单调性；（）由（）可知：f（x）在区间（，0）内单调递减，在区间(0，a+36)内单调递减，在区间(a+36，+)内单调递增已知曲线yf（x）在点Pi（xi，f（xi）（i1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得f'(x1)=f'(x2)=f'(x3)不妨x10x2x3，根据以上等式可