2012版高考数学 3-2-1精品系列 专题05 平面向量

1、用心 爱心 专心120122012 版高考数学版高考数学 3-2-13-2-1 精品系列专题精品系列专题 0505 平面向量（教师版）平面向量（教师版）【考点定位考点定位】2012】2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布20122012 考纲解读考纲解读（4）平面向量的数量积 理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（5）向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题

2、.考纲解读：考纲解读：要掌握平面向量的概念与性质（共线、模、夹角、垂直等）；在选择填空中要重视平面向量的几何运算,也要重视坐标运算（有时要自己建系）；要注意三角形的重心、垂心的向量判断；在其它知识如解析几何中要注意平面向量的工具作用（如平行、垂直可转化向量的关系求解）。近几年考点分布近几年考点分布平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经

3、常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力在近几年的高考中，每年都有两道题目其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题【考点考点 pk】pk】名师考点透析名师考点透析考点一、向量的概念、向量的基本定理考点一、向量的概念、向量的基本定理例 1、如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角为 30,且且| |OA |OB |1，|OC | 32，若OC OA +OB （，R R）,则+的值为 .解解：过 C 作OA与

4、OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90角 AOC=30，OC=32得平行四边形的边长为 2 和 4，2+4=6用心 爱心 专心2【名师点睛名师点睛】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向本题考查平面向量的基本定理，向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。考点二、向量的运算向量的运算例 2 2、已知平面向量), 2(),2 , 1 (mba，且ab，则ba32 =（ ） A （-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）解解：由ab，得 m4，所以，b

5、a32 （2，4）（6，12）（4，8） ，故选（C） 。【名师点睛名师点睛】掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。例 3、已知平面向量a=（1，3） ，b=（4，2） ，ab与a垂直，则是（ ）A. 1 B. 1C. 2D. 2例 4、已知向量a和b的夹角为0120，| 1,| 3ab，则|5|ab解解：2222552510ababaa bb =22125 11

6、0 1 33492 ，用心 爱心 专心35ab7【名师点睛名师点睛】向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。考点三、向量与三角函数的综合问题三、向量与三角函数的综合问题例 5、已知向量( 3sin ,cos ),(cos ,cos )axxbxx ,函数( )21f xa b (1)求( )f x的最小正周期; (2)当, 62x时, 若( )1,f x 求x的值【名师点睛名师点睛】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不

7、大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.例 6、在ABC中，角ABC，的对边分别为tan3 7abcC ，（1）求cosC；（2）若52CB CA ，且9ab，求c解解：（1）sintan3 73 7cosCCC，又22sincos1CC 解得1cos8C tan0C ，C是锐角1cos8C（2）由52CB CA ， 5cos2abC，20ab 又9ab22281aabb2241ab2222cos36cababC6c 【名师点睛名师点睛】本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等

8、内容。用心 爱心 专心4考点四、平面向量与函数问题的交汇四、平面向量与函数问题的交汇例 7 已知向量a(cos23x，sin23x)，b(2sin2cosxx，)，且x0，2（1）求ba（2）设函数baxf)(+ba，求函数)(xf的最值及相应的x的值。解：（解：（I I）由已知条件： 20 x， 得：22)2sin23(sin)2cos23(cos)2sin23sin,2cos23(cosxxxxxxxxba【名师点睛名师点睛】本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意 sinx 的取值范围，否则容易搞错。平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次

9、函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。考点五、平面向量在平面几何中的应用五、平面向量在平面几何中的应用例 8 如图在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ以 A 为中点，问PQ与BC的夹角取何值时， BPCQ的值最大？并求出这个最大值。 解解：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则 A（0，0） ，B（c，0） ，C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点 P 的坐标为（x，y） ，则 Q（-x，-y） ，BPxcy （，），22.CQxybBCcbPQxy （，），（，），（，）2

10、2()()()().BP CQxcxyybxycxby 2cos.| |BC PQcxbyaBCPQ cx-by=a2cos.BPCQ=- a2+ a2cos.故当 cos=1，即=0（PQBC与方向相同）时，BPCQ的值最大，其最大值为 0.OxACBayACBaQP用心 爱心 专心5【名师点睛名师点睛】本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转

11、化为大家熟悉的代数运算的论证也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决【三年高考三年高考】 1010、1111、1212 高考试题及其解析高考试题及其解析20122012 年高考试题及解析年高考试题及解析一、选择题1 （2012 年高考（重庆文） ）设xR ,向量( ,1),(1, 2),axb且ab ,则|abA5B10C2 5D10【解析】0202aba bxx ,22| |(2,1)(1, 2)|3( 1)10ab 【考点定位】本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,本

12、题属于基础题,只要计算正确即可得到全分. 2 （2012 年高考（重庆理） ）设, x yR,向量 4, 2, 1,1 ,cybxa,且cbca/,则_ba（）A5B10C2 5D103 （2012 年高考浙江）设 a,b 是两个非零向量.（）A若|a+b|=|a|-|b|,则 abB若 ab,则|a+b|=|a|-|b| C若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 ,使得 b=a D若存在实数 ,使得 b=a,则|a+b|=|a|-|b|【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实 数,使得a=b.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,

13、b可为异向的共线向量;选项 B:若ab,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数,使得a=b,a,b可为同向的共线向用心 爱心 专心6量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.4 （2012 年高考（天津文）在ABC中,90A,1AB ,设点,P Q满足,(1),APAB AQACR .若2BQ CP ,则（）A13B23C43D25 （2012 年高考（天津理） ）已知ABC 为等边三角形,=2AB,设点 P,Q 满足=APAB ,=(1)AQAC,R,若3=2BQ CP ,则=（）A12 B122 C1102 D32 22 【解析】=BQ AQAB =(1)AC

14、AB ,=CP APAC =ABAC , 又3=2BQ CP ,且|=|=2ABAC ,0=60AB AC ,0=|cos60 =2AB ACAB AC ,3(1)()=2ACABABAC ,2223| +(1)+(1)| =2ABAB ACAC ,所以234 +2(1)+4(1)=2,解得1=2.6 （2012 年高考（辽宁文） ）已知向量 a = (1,1),b = (2,x).若 a b = 1,则 x = （）A1B12C12D17 （2012 年高考（辽宁理） ）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（）Aab Bab C0,1,3 Da+b=ab【解析】

15、法一：由|a+b|=|ab|,平方可得ab=0, 所以ab,故选 B 法二：根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|ab|,所以该平行四边形为矩形,所以ab,故选 B CBAPQ用心 爱心 专心7【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.8 （2012 年高考广东）(向量、创新)对任意两个非零的平面向量 和 ,定义 ,若平面向量a、b满足0ab,a与b的夹角0,4,且a b和b a都在集合2nnZ中,则a bA1

16、2B1C32D529 （2012 年高考广东) 若向量1,2AB ,3,4BC ,则AC （）A4,6B4, 6C2, 2D2,2【解析】4,6ACABBC 10 （2012 年高考（福建文） ）已知向量(1,2),(2,1)axb,则ab的充要条件是（）A12x B1x C5x D0 x 【解析】由向量垂直的充要条件得 2(x-1)+2=0 所以 x=0 .D 正确11 （2012 年高考（大纲文） ）ABC中,AB边的高为CD,若CBa ,CAb ,0a b ,| 1a ,| 2b ,则AD （）A1133abB2233abC3355abD4455ab用心 爱心 专心8【解析】由0a b

17、可得90ACB,故5AB ,用等面积法求得2 55CD ,所以4 55AD ,故4444()5555ADABCBCAab ,故选答案 D12 （2012 年高考（湖南理） ）在ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1 则_BC .（）A3B7C2 2D23【解析】由下图知AB BC = cos()AB BCB 2( cos)1BCB . 1cos2BBC.又由余弦定理知222cos2ABBCACBAB BC,解得3BC . 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B的外角. 13

18、（2012 年高考（安徽理） ）在平面直角坐标系中,(0,0), (6,8)OP,将向量OP 按逆时针旋转34后,得向量OQ则点Q的坐标是（）A( 7 2,2)B( 7 2,2)C( 4 6, 2)D( 4 6,2)二、填空题1（2012 年高考（浙江文） ）在ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC =_.【解析】由余弦定理ABC用心 爱心 专心9222222cos532 5 3cosABAMBMAM BMAMBAMB , 222222cos352 5 3cosACAMCMAM CMAMCAMC ,0180AMBAMC,两式子相加为222222222 (35 )6

19、8ACABAMCM, 2222221068 100cos222ABACBCABACBACABACABACABAC, 68 100cos162AB ACAB ACBACAB ACABAC .2 （2012 年高考（上海文） ）在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为 2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足|CDCNBCBM,则ANAM 的取值范围是_ .解析 如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1). 设tCDCNBCBM|0,1,则tBM |,tCN2|, 所以M(2,t),N(2-2t,1), 故ANAM =4-4t+t=4-3t=( )f t因为t0,

20、1,所以( )f t递减, 所以(ANAM )max=(0)f=4,(ANAM )min= (1)f=1. 3 （2012 年高考（课标文） ）已知向量a,b夹角为045,且|a|=1,|2 ab|=10,则|b|=_.【解析】|2 ab|=10,平方得224410aa b+b,即22 260 |b|b|,解得|b|=3 2或2(舍) 4 （2012 年高考（江西文） ）设单位向量( , ),(2, 1)mx y b。若mb,则|2 |xy_。【解析】由已知可得20 xy,又因为 m 为单位向量所以221xy,联立解得ABDCyx21(O)MN用心 爱心 专心10552 55xy或552 55

21、xy 代入所求即可. 【答案】5【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件.5 （2012 年高考（湖南文） ）如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,APBD,垂足为 P,3AP 且AP AC = _.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.6 （2012 年高考（湖北文） ）已知向量(1,0),(1,1)ab,则()与2ab同向的单位向量的坐标表示为_;()向量3ba与向量a夹角的余弦值为_.【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有 1 个,但与某向量共线的单位向量一般

22、有 2 个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.7 （2012 年高考（北京文） ）已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则用心 爱心 专心11DE CB 的值为_.【解析】根据平面向量的点乘公式| |cosDE CBDE DADEDA ,可知|cos|DEDA ,因此2|1DE CBDA ;| |cos| cosDE DCDEDCDE ,而|cosDE就是向量DE在DC边上的射影,要想让DE DC 最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为|DC,所以长度为 1 【考点定位】 本题是平面向量

23、问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. 8 （2012 年高考（安徽文） ）设向量(1,2 ),(1,1),(2,)am bmcm,若()acb,则a _.【解析】1(3,3 ),()3(1)3022acmac bmmma 9、 （2012 年高考（新课标理） ）已知向量, a b 夹角为45 ,且1, 210aab;则_b 22210(2)1044cos45103 2ababbbb10、 （2012 年高考（浙江理） ）在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB AC =_.【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设ABC是以AB=AC的

24、等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC=34. cosBAC=343410082 3417 .AB AC =cos16ABACBAC 11、 （2012 年高考（上海理） ）在平行四边形ABCD中,A=3, 边AB、AD的长分别为 2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足|CDCNBCBM,则ANAM 的取值范围是【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(21,23),C(25,23). 设tCDCNBCBM|0,1,则tBM |,tCN2|, 所以M(2+2t,23t),N(25-2t,23),xyABCDMN用心 爱心 专心12故ANAM =(2+2t)(

25、25-2t)+23t 23=)(6) 1(5222tfttt, 因为t0,1,所以f (t)递减,( ANAM )max= f (0)=5,(ANAM )min= f (1)=2. 评注 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!12 （2012 年高考（江苏） ）如图,在矩形ABCD中,22ABBC，点E为BC的中点,点F在边CD上,若2ABAF ,则AEBF 的值是_.13 （2012 年高考（北京理） ）已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE C

26、B 的值为_;DE DC 的最大值为_.【解析】 【答案】1;1根据平面向量的点乘公式| |cosDE CBDE DADEDA ,可知|cos|DEDA ,因此2|1DE CBDA ;| |cos| cosDE DCDEDCDE ,而|cosDE就是向量DE在DC边上的射影,要想让DE DC 最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为|DC,所以长度为 1 【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.14 （2012 年高考（安徽理） ）若平面向量, a b 满足:23ab;则a b 的最小值是_【解析】 2223494aba

27、ba b 用心 爱心 专心132294449448aba ba ba ba ba b 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析1、 （四川文 7 理 4）.如图，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF =(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D解析：BACDEFDECDEFCDDEEFCF .2、 （福建文 13.） 若向量a=（1,1） ， b （-1,2） ，则a b _.【解析】因为向量a=（1,1） ，b （-1,2） ，所以1 ( 1) 1 21a b 3（江苏 1010） 、已知、已知21,ee是夹角为是夹角为32的两个单位向量，的两个单位向量，12122,aee

28、 bkee 若若0ba，则，则 k k 的值为的值为 。4（广东文 3 3） 已知向量已知向量(1,2),(1,0),(3,4)abc，若，若为实数，为实数，()/abc，则，则= = （ ）A A14 B B12 C C1 D D2【解析解析】)2 ,1 ()0 ,()2 , 1 (ba，()/abc 210324)1 ( 所以选所以选 B.B.5（广东理 3 3） 若向量若向量 a a，b b，c c 满足满足 abab 且且 acac，则，则 c(a+2b)=c(a+2b)=（ ） A A4 4 B B3 3 C C2 2 D D0 06（全国文 3）设向量a b 、满足|a|=|b|=

29、1, a b 1=2,则2ab用心 爱心 专心14（A）2 （B）3 （C）5 （D）7【答案】B【解析】2222(2 )44ababaa bb 2244aa bb 114 ()4 132 故选 B7（课标文 13）.已知向量ba,为不共线的单位向量，Rk ，如果)()(bakba与垂直，那么_k8（湖北文 2） 若向量1,2,1, 1ab，则2ab与ab的夹角等于A.4B.6C.4D. 34解析：因为2(3,3),(0,3)abab,设其夹角为 r，故(2) ()2cos2|2| |ababrabab，即4r，所以选 C.9（辽宁文 3）已知向量 a a=（2,1） ，b b=（-1，k）

30、，a a（2a a-b b）=0，则 k=（ ）（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12解析：由题意，得 2a a-b b =（5，2-k） ，a a（2a a-b b）=25+2-k=0，所以 k=12. 答案： D10（湖南文 130设向量, a b 满足| 2 5,(2,1),ab且ab与的方向相反，则a的坐标为 解析：由题2|215b ，所以2( 4, 2).ab 11（安徽文 14、理 13）已知向量a a，b b满足26abab 且1a ，2b ，则a a与b b的夹角为 .12（江西文 11） 已知两个单位向量1e，2e的夹角为3，若向量1122bee，用心 爱心 专心15

31、21234bee，则12b b=_.【答案】-6【解析】要求1b*2b，只需将题目已知条件带入，得：1b*2b=（1e-22e）*（31e+42e）=222121823eeee其中21e=1，21ee=60cos21ee=1*1*21=21，122e，带入，原式=3*12*218*1=6.13（江西理 11）.已知2ab,(2 )abab（）=-2，则a与b的夹角为 14（重庆文 5） 已知向量(1, ),(2,2),ak baba且与共线，那么a b的值为A1 B2 C3 D4【命题意图】本题考查向量共线的充要条件、向量数量积的计算，是简单题.【解析】ab=(3,2k) ab与a 3 2(2

32、) 20k 解得k=1a b=1 2 1 2 =4 故选 D.15（北京文 11、理 10）已知向量( 3,1),(0 1),( , 3)abck。若2ab与c，共线，则k= . 【解析】：2( 3,3)ab由2ab与c共线得3331kk16（重庆理 12）已知单位向量,ijc c 的夹角为60，则2ijcc 解析： 22222444 1 4 cos603ijijijijccccccc c 17（湖南理 14）.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设,3,2CECABDBC则BEAD .解析：设,bABaBC则,21abBDABAD,313231baCABCCEBCBE且用心 爱心 专心16

33、21120cosba，所以BEADab21ba3132=4121313122baba，故填4118（福建理 15）.设 V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f VR满足：对任意向量11( ,),ax yV22(,),bxyV以及任意R，均有(1) )( )(1) ( )fabf af b则称映射f具有性质 P。现先给出如下映射：11:,( ),( , )fVR f mxy mx yV 222:,( ),( , )fVR fmxy mx yV33:,( )1,( , )fVR f mxymx yV其中，具有性质 P 的映射的序号为_。 （写出所有具有性质 P 的映射的序号）：(1) )fab1

34、212(1) (1) 1xxyy，11( )(1) ( )f af bxy221212(1)(1)(1)(1) (1) 1xyxxyy则(1) )( )(1) ( )fabf af b 故正确19（浙江文 15、理 140 若平面向量a、b 满足1,1，且以向量a、b 为邻边的平行四边形的面积为12，则a、b 的夹角 取值范围是 。用心 爱心 专心17【解析】：1112sin,1,1,sin222a bab 又，又0, ,5,66 20（辽宁理 10）若a、b、c 均为单位向量，且a b =0， （ac）（bc）0，则ab-c 的最大值为（A）1-2 （B）1 （C）2 （D）2解析：由a b

35、 =0， （ac）（bc）0，得-ac- -bc-b2 2=-=-1 1，2ab-c a2 2+ b2 2+ c2 2+2ab-2ac- -2bc=3=3+2（-ac- -bc）3-2=1，故ab-c 的最小值为 1.21（课标卷理 10）. 已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题12:10,3Pab 22:1,3Pab 3:10,3Pab 4:1,3Pab 其中的真命题是（A）14,P P （B）13,P P （C）23,P P （D）24,P P22（山东文、理 12）设1A，2A，3A，4A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A AA A (R)，1412A A

36、A A(R)，且112,则称3A，4A调和分割1A，2A ,已知点 C(c，o),D(d，O)(c，dR)调和分割点 A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点(C)C，D 可能同时在线段 AB 上 (D) C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上用心 爱心 专心18【解析】由1312A AA A (R)，1412A AA A(R)知:四点1A，2A，3A，4A在同一条直线上,因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,且112cd, 故选 D.23（全国理12）设向量a b c 、满足|

37、a|=|b|=1, a b 1=2,，,ac bc =060，则c的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1【答案】A【解析】如图，构造AB a, AD b, AC c,120 ,60BADBCD，所以, ,A B C D四点共圆，可知当线段AC为直径时，c最大，最大值为 2.24（天津文、理 1414）. .已知直角梯形已知直角梯形 ABCDABCD 中中,ADBC,ADBC,90ADC,AD=2,BC=1,P,AD=2,BC=1,P 是腰是腰 DCDC上的动点上的动点, ,则则|3|PAPB 的最小值为的最小值为 . .【答案】5【解析】画出图形,容易得结果为 5.2010201

38、0 年高考试题及解析年高考试题及解析5 一、选择题1 1（20102010 湖南文湖南文 6）若非零向量 a，b 满足| |,(2)0ababb，则 a 与 b 的夹角为A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500【解析】由(2)0abb得220a bb 于是22| |cos|0abb又| |,ab所以1cos2 故120选 C2 2（20102010 全国卷全国卷 2 2 理理 8）ABCV中，点D在AB上，CD平方ACB若CBauur，CAbuu r，1a ，2b ，则CD uuu r（A）1233ab （B）2133ab （C）3455ab （D）4355abABDC用心

39、爱心 专心193 3（20102010 辽宁文数）辽宁文数） （8）平面上, ,O A B三点不共线，设,OAa OBb ,则OAB的面积等于 （A）222()aba b （B）222()aba b （C）2221()2aba b （D）2221()2aba b 解析：2222111()|sin,| 1cos,| 1222| |OABa bSa ba ba ba ba bab 2221()2aba b 选 C4 4（20102010 辽宁理辽宁理 8）平面上 O,A,B 三点不共线，设,OA=a OBb，则OAB 的面积等于 (A)222| |()|aba b (B) 222| |()|aba

40、 b(C) 2221| |()2|aba b (D) 2221| |()2|aba b5 5（20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数） （10）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若CB = a , CA = b , |a= 1 ，b= 2, 则CD =（A）13a + 23b （B）23a +13b （C）35a +45b （D）45a +35b【解析解析】B】B：本题考查了平面向量的基础知识：本题考查了平面向量的基础知识用心 爱心 专心20 CDCD 为角平分线，为角平分线， 12BDBCADAC， ABCBCAab ， 222333ADABab ， 2221

41、3333CDCAADbabab 6 6（20102010 安徽文安徽文 3）设向量(1,0)a ,1 1( , )2 2b ,则下列结论中正确的是(A)ab (B)22a b (C)/ /ab (D)ab与b垂直【解析】11( ,)22ab =，()0ab b，所以ab与b垂直.【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.7（2010 重庆文数） （3）若向量(3,)am，(2, 1)b ，0a b ，则实数m的值为（A）32 （B）32 （C）2 （D）6解析：60a bm ，所以m=68 8 （20102010 重庆理重庆理 2）已知向量 a，b 满足0,1,2,a b

42、ab ，则2abA. 0 B. 2 2 C. 4 D. 89 9（20102010 山东文山东文 12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的( , )am n，( , )bp q，令abmqnp，下面说法错误的是(A)若 a 与 b 共线，则0ab (B)abba(C)对任意的R，有()()abab(D)2222()()| |aba bab 答案：B1010（20102010 四川理四川理 5 文文 6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216,BCABACABAC 则AM （A）8 （B）4 （C） 2 （D）1解析：由2BC 16，得|BC|4 ，ABACABACBC 4

43、而ABACAM 用心 爱心 专心21故AM 2 答案：C 1111（20102010 天津文天津文 9）如图，在 ABC 中，ADAB，3BC BD ，1AD ，则AC AD =（A）2 3 （B）32 （C）33 （ D）3【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。| |cos| cos|sinAC ADACADDACACDACACBAC sinB3BC 【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。1212（20102010 广东文数）广东文数）若向量a=（1,1）

44、，b=（2,5） ，c=(3,x)满足条件 (8ab)c=30，则x= A6 B5 C4 D31313（20102010 福建文数）福建文数）若向量(x,3)(x)aR，则“x4”是“| 5a ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件1414（20102010 全国卷全国卷 1 1 文文 11）已知圆O的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么PA PB 的最小值为(A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了

45、考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.用心 爱心 专心22【解析 1】如图所示：设 PA=PB=x(0)x ,APO=,则APB=2，PO=21x，21sin1x，| |cos2PA PBPAPB =22(1 2sin)x=222(1)1xxx=4221xxx，令PA PBy ，则4221xxyx，即42(1)0 xy xy，由2x是实数，所以2 (1)4 1 ()0yy 2610yy ，解得32 2y 或32 2y .故min()32 2PA PB .此时21x .【解析 2】设,0APB，2cos1/tancos2PA PBPAPB 2222221 sin1 2sincos2221 2

46、sin2sinsin22换元：2sin,012xx，11 21232 23xxPA PBxxx 【解析 3】建系：园的方程为221xy，设11110( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x， 2211101110110,001AOPAx yxxyxx xyx x222222221100110110221232 23PA PBxx xxyxxxxx 1515（20102010 湖北文湖北文 8、理 5.）已知ABC和点 M 满足0MAMBMC .若存在实m使得AMACmAM 成立，则m=A.2B.3C.4D.5PABO 22210110111001,2PA PBxxyxxyxx

47、xxy 用心 爱心 专心231616（20102010 山东理山东理 12）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，bp,q)（，令ab=mq-np，下面说法错误的是（ ）A.若a与b共线，则ab=0 B.ab=ba C.对任意的R，有a)b= (（ab) D. 2222(ab) +(ab) =|a| |b| 【解析】若a与b共线，则有ab=mq-np=0，故 A 正确；因为bapn-qm，而ab=mq-np，所以有abba，故选项 B 错误，故选 B。【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。1717（2

48、 2010010 湖南理湖南理 4） 、在Rt ABC中，C=90AC=4，则AB ACuu u r uuu r等于A、-16 B、-8 C、8 D、16二、填空题二、填空题1 1（20201010 浙江理浙江理 16）已知平面向量,(0,) 满足1，且与的夹角为 120，则的取值范围是_解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。 【答案】2 3(0,)32 2（20102010 陕西文陕西文 12.）已知向量2 , 1, 1,1, 2cmba，若ba c，则用心 爱心 专心2

49、4_m.3 3（20102010 江西理江西理 13）已知向量a，b满足1a ，2b ， a与b的夹角为 60，则ab 【答案】 3 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图,aOA bOB abOAOBBA ，由余弦定理得：3ab4 4（20102010 浙江文浙江文 17）在平行四边形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，P、Q、M、N 分别是线段 OA、OB、OC、OD 的中点，在 APMC 中任取一点记为 E，在 B、Q、N、D 中任取一点记为 F，设 G 为满足向量OGOE OF 的点，则在上述的点 G 组成的集合中的点，落在平行四边

50、形 ABCD 外（不含边界）的概率为 答案：345 5（20102010 浙江文浙江文 13）已知平面向量,1,2,(2 ), 则2a的值是 答案 ：106 6（20102010 天津理天津理 15）如图，在ABC中，ADAB,3BCBD ,1AD ,则AC AD .近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。用心 爱心 专心257 7（20102010 广东理广东理 10）若向量ar=（1,1,x）, br=(1,2,1), cr=(1,1,1),满足条件() (2 )cabrrr=-2,则x= .10C(0,0,1

51、)cax，() (2 )2(0,0,1) (1,2,1)2(1)2cabxx ，解得2x 8 8（20102010 上海文上海文 13）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为( 5,0)，1(2,1)e 、2(2, 1)e 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点P，若12OPaebe （a、bR） ，则a、b满足的一个等式是 4ab1 。三、解答题：三、解答题：（20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1515） （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。 （1） （求以线段 AB、AC 为邻边的平行

52、四边形两条对角线的长；（2）设实数 t 满足(OCtAB)OC=0，求 t 的值。解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14分。（1） （方法一）（方法一）由题设知(3,5),( 1,1)ABAC ，则(2,6),(4,4).ABACABAC （2）由题设知：OC=(2,1)，(32 ,5)ABtOCtt 。由(OCtAB)OC=0，得：(32 ,5) ( 2, 1)0tt ，用心 爱心 专心26从而511,t 所以115t 。或者：2 AB OCtOC ，(3,5),AB 2115|AB OCtOC 【两年模拟两年模拟】 20122012 年名校模拟题及

53、其答案年名校模拟题及其答案【浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考】已知向量a的模为 1，且ba,满足2| , 4|baba，则b在a方向上的投影等于_ 【答案】3【四川省南充高中 2012 届高三第一次月考】已知a、b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么 ba3A7 B10 C 13 D4 【答案】C【四川省成都市双流中学 2012 届高三 9 月月考】已知3,1 ,2,ab，若/ab，则实数的值为A23 B32 C 23 D32 【答案】C【四川省德阳市 2012 届高三第一次诊断】已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么26aa b等于（ ）A1 3 3B4C3D7

54、【答案】B【陕西省长安一中 2012 届高三开学第一次考试】若两个非零向量, a b 满足2ababa，则向量ab与ab的夹角（ ）A6 B4 C23 D56【山东省临清三中 2012 届高三上学期学分认定】已知向量 a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2)，用心 爱心 专心27若(a+b)c，则 m= .【答案】2【陕西省宝鸡中学 2012 届高三上月考】已知5, 3,415, 0,baSbabCAaCBABCABC中，则ba与的夹角为（ ）A65 B6 C6或65 D65【答案】D【陕西省宝鸡中学 2012 届高三上学期月考】已知o为平面内一定点,设条件 p:动点M满足ACAB

55、OAOM,R;条件 q:点M的轨迹通过ABC 的重心则条件p 是条件 q 的（ ）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【陕西省宝鸡中学 2012 届高三上学期月考】已知, 3, 2,baba且ba23 与ba垂直，则实数的值为 【答案】23【山东省冠县武训高中 2012 届高三二次质检】如右图，在平行四边形ABCD中，O 是对角线 AC，BD 的交点，N 是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交于点 E，则下列说法错误的是( ) A.ACABAD B.BDADAB C.11AOABAD22 D.5AEABAD3 【答案】D【山东省冠县武训高中

56、 2012 届高三二次质检】在ABC中，AB3,AC2，若 O 为ABC内部的一点，且满足OAOBOC0 ，则AO BC （ ） A.12 B.25 C.13 D.14【答案】C【安徽省六校教育研究会安徽省六校教育研究会 20122012 届高三联考届高三联考】连续投掷两次骰子得到的点数分别为nm,，向量( , )am n与向量)0 , 1 (b的夹角记为，则)4, 0(的概率为 （ ）（A）185（B）125（C）21（D）127【答案】B【湖北省武昌区湖北省武昌区 20122012 届高三年级元月调研届高三年级元月调研】已知| 1,|2,()abaab且，则向量用心 爱心 专心28a 与向

57、量 b 的夹角为（ ）A30 B45 C90 D135【答案】B【浙江省杭州第十四中学浙江省杭州第十四中学 20122012 届高三届高三 1212 月月考月月考】若 ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且 3450OAOBOC ，则 OC AB 的值为(A) 15 (B) 15 (C) 65 (D) 65【答案】A【甘肃省天水一中甘肃省天水一中 20122012 学年度第一学期高三第四阶段考学年度第一学期高三第四阶段考】已知 O 为ABC内一点，且OOBOCOA2,则AOC与ABC的面积比值是（ ） A. 21 B. 31 C. 32 D. 1【答案】A【黑龙江省绥棱一中黑龙江省绥

58、棱一中 20122012 届高三理科期末届高三理科期末】若向量0(1, 2)A ，0( 3,4)B ，则12AB 等于 A (-2,3) B (2,-3) C (2,3) D (-2,-3)【答案】A【北京市朝阳区北京市朝阳区 20122012 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试】已知平面向量(3,1)a，( ,3)xb，且ab，则实数x的值为 （）A9 B1 C1 D 9【北京市西城区北京市西城区 20122012 学年度第一学期期末学年度第一学期期末】已知向量( 3,1)a，(0, 2)b.若实数k与向量c满足2kabc，则c可以是（ ）（A）( 3, 1)（B）( 1,3) （C）

59、(3, 1)（D）( 1, 3)【答案】D【安徽省六校教育研究会安徽省六校教育研究会 20122012 届高三联考届高三联考】给出下列命题,其中正确的命题是（写出所有正确命题的编号） 非零向量 a b 、满足| | |abab，则a与ab的夹角为30； 已知非零向量 a b 、，则“0a b ”是“ a b 、的夹角为锐角”的充要条件； 命题“在三棱锥OABC中，已知2OPxOAyOBOC ，若点P在ABC所在的平面内，则3xy”的否命题为真命题； 若() ()0ABACABAC ，则ABC为等腰三角形用心 爱心 专心29【黑龙江省绥棱一中黑龙江省绥棱一中 20122012 届高三理科期末届高

60、三理科期末】设 M 是ABC内一点，且2 3AB AC ，030BAC，定义()( , , )f Mm n p，其中, ,m n p分别是MBC，MCA，MAB的面积，若1()( , , )2f Mx y，则14xy的最小值是 【答案】18【西安市第一中学西安市第一中学 20122012 学年度第一学期期中学年度第一学期期中】在正三角形ABC中，D是BC上的点，3,1ABBD，则AB AD 。【答案】152【北京市东城区北京市东城区 20122012 学年度学年度高三数第一学期期末高三数第一学期期末】若非零向量a，b满足baba，则a与ba 的夹角为 【浙江省名校新高考研究联盟浙江省名校新高考