湖南省师大附中2020届高三数学月考试卷(七)文(含解析)

1、湖南师大附中2020届高三月考试卷（七）数学（文科）第I卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1 .已知集合幺=之0,二9S 1,则（）A.寸一:B. C c C - cC.号三 JD. a 二。【答案】B【解析】集合A二同tg* >0 - xx21,日二xx El,两个集合有公共元素1,故A不对。两个集合也有不同元素。故答案选B。故答案选B。2 .若复数产满足&-3） = -1 + 3f （其中i是虚数单位），则/的虚部为（）A. 1B. 6C.忖D.【答案】A【解析】【分析】 利用复数的运算法则得出 z,结合

2、虚部的定义求得结果.【详解】.复数z满足i （z-3） =- 1+3i,“-1 + 3，(-1 +30C-0 ° .6 = 3 +：一 =3 +-= 6+i ./的虚部为1 .故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题.23 .函数人町=帆工+】广；的零点所在的大致区间是（A.B.C.D.【答案】B【解析】 试题分析：函数f （x） =ln （x+1）的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反.解： f (1) =ln (1+1) - 2=ln2 - 2<0,而 f (2) =ln3 - 1 > lne 1=0,函数f (x) =l

3、n (x+1)的零点所在区间是(1, 2),故选B.考点：函数的零点与方程根的关系.4 .七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率为(A.B.16D.分析：由七巧板的构造,设小正方形的边长为1,计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和。详解：设小正方形的边长为L M1,可得黑色平行四边形的底为 小,高为1;黑色等腰直角三角形的直角边为2,斜边为2.圈，大正方形的边长为 2显,所以故选C。1 ,通过分析观察，求点睛：本题主要

4、考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为 得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑 色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得 概率，属于较易题型。5 .设3和&为双曲线 4> 0力 > 优的两个焦点，若点|周0,2乩，是等腰直角三角形 1b2的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A.”土 加B./ 二土 -xC. D = ±D.【答案】C【解析】若P&物,设（-斓）巴（匚四，则产/ =4叫 4b2, .“1鸟#（07加是等腰直角三角形的三个顶 点，7# + 点=八 /

5、4 4/ 二 2e* ,+ 4（/口$ = 2/ , *，.3/=4口2 ，即,31 +补'4d=9，双曲线的渐近线方程为y= 土 "，即为/土邑，故选C.a 3a36 .给出下列四个命题：“若人为=灯的极值点，则1%）=0”的逆命题为真命题；“平面向量£方的夹角是钝角”的充分不必要条件是a 6<u；1 i若命题p： <0,则-I冏士。；jf1x1命题“ m*E也使得k2 +胃+ 1C0”的否定是：FeR,均有/ + K+ 130” .其中不正确的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】分别对进行真假判断，从而得到结论.【详解

6、】 “若 Xo为 y=f （x）的极值点，则1口）=0”的逆命题为："若"G"）=0,则xo为y=f （x）的极值点”，为假命题，即不正确；“平面向量”的夹角是钝角”的必要不充分条件是口，6 < U,即不正确；若命题p： 六 <0,则卢三>0,即不正确；特称命题的否定为全称命题 ，即正确.即不正确的个数是 3.故选A.【点睛】本题考查了四种命题的关系，充分必要条件，以及命题的否定，属于中档题.7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7,则判断框内m的取值范围是（A. J.O.门B.C.门!：D.【答案】A【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第

7、一次，5 = 0 + 2 x l = 2rJf = 2,满足条件，继续运行；第二次，$=2 + 2 乂2 = 6/=3,满足条件，继续运行；第三次，¥ = 6 + 2乂3=12K=4,满足条件，继续运行；第四次，5= 12 + 2x4 = 20及=5,满足条件，继续运行；第五次，5 = 20 +2x5 = 30> = 6,满足条件，继续运行；第六次，5 = 30 + 2 x 6 = 42 = 7,不满足条件，停止运行，输出 7.故判断框内m的取值范围为30 cm £42.选A.8 .如图，在四面体村日。中，若截面|PQMN是正方形，则在下列命题中，不一定正确 的是（A

8、. !B.必。截面PQMNC.，皿D.异面直线PM与此。所成的角为45【答案】C【解析】【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断.【详解】因为截面 PQMN正方形，所以 PQ/ MN QMT PN则PQ/平面 ACD QMZ平面BDA所以 PQ/ AC QMT BD由PCL QMR*彳导ACL BQ故A正确；由PQ/ AC可得AC/截面PQMN故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM斤成的角，故 D正确；综上C是错误的.故选：C.【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定

9、义及求法，属于基础题.9 .已知抛物线C： /二2PMp>0）的焦点为叫 准线-1,点M在抛物线C上，点M在直线F ：F二-1上的射影为阿，且直线百F的斜率为一同 则的面积为（）A.卜同B.而C.D.【答案】C【解析】【分析】画出图形，抛物线的性质和正三角形的性质计算出A, M的坐标，计算三角形的面积.【详解】因为抛物线的准线 4：二-1,所以焦点为F（1, 0）,抛物线C: y2 = 4x,点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA_ l ,且直线AF的斜率kAF二一福，准线与x轴的交点为NI,则AN= 2gHA（-l, 24t）,则M （3, 2号）， IlJ Sq=5 A AM<

10、; AN=5 x 4X 2 = 45. 上I占故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，三角形的面积计 算，属于中档题.10.若函数+ 23月%+ 在区间f-上单调递增，则正数 3的最大值为（A.1iiB.C.D.-f(吟=2tntxcostijx + 2sE*5ir+ 匚口占2山，=+ 1 在区间I-T?上单调递增,f - 3nm >正数31fu 三一 f 1故选：B.【点睛】本题考查三角函数中参数值的最大正值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注 意二倍角的正余弦公式、正弦函数单调性的合理运用.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何

11、体的三视图，则该几何体的体积【解析】【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是该几何体是如图所示的三棱柱DCC挖去一个三棱锥"一FCG|,进而得到答案.由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱1即DC。柩去一个三棱锥£_匹向，故所求几何体11123的体积为-x(2x2x 2)- x (-X 1 x 1) x 1 = ZaZ(i故选A.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体体积，考查空间想象能力，属于中档题.12.已知函数人，）在定义域无上的导函数为/&,若函数¥ =门打没有零点，且TT TT1“-2019。= 2019,当幻=$山XT第丘在一15上与（

12、X：在"上的单调性相同时，则实数A的取值范围是（）A. 一，,，'_B.,5.同c. 一md. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知：f (x)为R上的单调函数，则 f (x) - 2020、为定值，由指数函数的性质可知f(x)为R上的增函数,贝U g (x)在为单调递增，求导,则g (x) >0恒成立，则k居sin(x + -) m%根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围.【详解】解：若方程f (x) = 0无解，则f'仃)>0或(x)<0恒成立，所以f (x)为R上的单调函数,? xC R者B有201 %=2019,则/-2019'

13、为定值，设t =月，)-201寸；则f (x) =1+2019”，易知f (x)为R上的增函数，g (x) = sin x- cosx- kx,q'Cr) =+ sirix - k =- /r,又g (x)与f (x)的单调性相同， g (x)在R上单调递增，则当xe g (x) >o恒成立,ITx + -e4此时k< - 1,故选：A.【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助 角公式，考查计算能力，属于中档题.本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、

14、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，？t分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.已知等比数列 应的前行项和为3,且%=:，叼=或。力，则际n&=.920172-2【解析】【分析】根据题意，设等比数列an的公比为q,由等比数列的性质可得若a2a6=8 (a4-2),则有a：-8a4+16 = 0,解可得a4=4,进而计算可得q的值，由等比数列的前n项和公式计算可得答案.【详解】根据题意，设等比数列 an的公比为q,若 a2a6= 8 (a4 2),则有(ad)2= 8 (a4 2),即 a42 - 8a4+16 = 0,解可得a4=4,则 q3 = .= 1 = 8,

15、则 q= 2,2则 S2020 一型-S_ 22020 1-2*故答案为【点睛】本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，关键是求出等比数列的公比，属于基础题.1414 .设。为所在平面内一点，AD=-B 若此三项me曰,则X二. 口kJ【答案】-3【解析】【分析】直接利用向量的线性运算求出结果.【详解】D为山1加?所在平面内一点，- J 4-1八=AB + -AC33- 1 .1 一 1 ,=i)AB-AX 43，比较可得:. B, Q D三点共线.若血二，而泣用?三痴C一工疝,化为: 即答案为-3.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题.15 .记命题"为“

16、点M(应用满足/ + /(u > 0) ”，记命题q为满足1 jc-2y W 4x +: 若P是q的充分不必要条件，则实数 卜的最大值为 |4x-3y+ 4 >0【解析】【分析】a的最画出约束条件的可行域，户是4的充分不必要条件，判断圆与可行域的关系，然后求解大值即可.【详解】满足x - 21x + y<- 3y + 4> 0命题p为“点 呵砧；满足，+ /(白>0)的可行域如图:工-2y V 4,记命题q为满足 x + y <4 |4jc-3j4-4> 0若P是q的充分不必要条件，说明圆的图形在可行域内部，则实数a的最大值就是圆与直线3y +4 =

17、0相切时，半径取得最小值，即【点睛】本题考查线性规划的简单应用，充分不必要条件的应用，考查数形结合以及计算能 力.16.已知函数f(x) = *4| + / +小，若函数/在(0.3上有两个不同的零点，则实数 有的取值范围是.11【答案】a【解析】【详解】函数可化为：f(X)人年：3。晨3 ,若 m>0,当 0vxv2 时，f (x)递增，m当2wxv 3时，f (x)的对称轴是 x= -<0,4故函数f (x)在2 , 3)递增，f (x)在(0, 3)连续，. f (x)在(0, 3)递增；当mO0时，函数f (x)在(0, 3)不可能有2个不同的零点，当mi= 0时，f (x

18、)=在 © 3)上没有2个不同的零点，当mx 0时，f (x)在(0, 2)递减，当0 工一" M2即-8W mx0时，函数f (x)在2 , 3)递增，故函数f (x)在区间(0, 3)有2个不同的零点只需满足:即4>014 + 3m>0 4 + 2m < 014< m< - 2,当 2< - 一<3 即12V mK 8 时，4函数f (x)在(0, -7)递减，在(- 7,3)递增，44故函数f (x)在区间(0, 3)有2个不同的零点只需满足:I / 加 !<04>014 + 3m>0口 m4<08解得

19、14 m»712V mx8,所以不存在满足条件的当二之3即nm - 12时，函数f (x)在(0, 3)递减， 4函数f (x)在(0, 3)上不可能有2个不同的零点，14综上，-nm: - 2时，函数f (x)在区间(1,3)上有2个不同的零点.【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查分类讨论思想以及分段及二次函数的基本性质, 考查转化思想，是一道综合题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在中，内角/、B、。的对边分别是口、人、匕，且心fnZ + £*油。一加=、加5仕(力+刚.(1)求打的值；(2)若向量 由=(co54cn屋间，口二12,-5),

20、 口二4,当欣，金取得最大值时，求b的值.【答案】(1)(2)卜二+.4d【解析】【分析】(1)由已知利用正弦定理可求a2+c2- b2=,进而利用余弦定理可求cosB的值，即可得解B的值.(2)利用平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求二，； 结合已知可求sin A的值，利用正弦定理即可得解b的值.【详解】(1)因为IA/IBC中，卜巾5 +为=5M4,所以，变形为由正弦定理得：.由余弦定理得： c=t2tle 2,JT又因为0<8<斤，R = .(2)因为=-lOcos + IZeosA + 5 =4所以当coj/I =:时,5m 打取得最大值，此时5m4 =-5由正

21、弦定理得）=空叫=空inA【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换 的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.18.如图，四棱锥PTBCD中，AU = AD = 2HC = 2,西 八口 10。，APHD为正三角形.且 ，一,.£.（I）证明：平面 俨人0_1,平面川北；（n）若点P到底面71BCD的距离为2, £是线段PQ上一点，且PH平面,4C闿，求四面体再一 CDE 的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（I ）证明1 PH, AB 1 匚，可证平面母口 _L|平面因北；（n）如图，连接RD,“交于点。，因为口&

22、#163;川），由（I）点P到平面ARC。的距离为2,14所以点£到平面的距离为h = -x2 = -,所以由也_ £晒=% -心可求四面体A - CDE的体积.【详解】（I）证明：,H8i50,且。=2,，用）=2居，又APBD为正三角形，所以PG二PD=皿二2盘,又丁力8=2, P>1=2/,所以又.刀。J. AD, BC/ A。， ."B J. BL, PH 门 3。=" 所以/口！平面PB。，又因为ARC平面YB, 所以平面力!平面朋斗（n）如图，连接 肛 AC交于点。，因为G£'八D,且1D = 2H。所以0。= 2。5

23、，连接U£,因为PIM 平面4。屏 所以PB。屏 则DE = 2P屏由（I）点P到平面RBCD的距离为2,所以点£到平面的距离为力=（乂 2 = 331114 H所以办 BE = % 4c口=§5*18 力=§*（5乂2 乂 Z）Xg=g即四面体A - C0E的体积为5【点睛】本题考查面面垂直的证明以及锥体体积的实际，属中档题19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费X （单位：万元）对年销售量乂（单位：吨）和年利润|z （单位：万元）的影响.对近六年的年宣传费 号和年销售量Y（i= 1.2,3454）的数据作了初步统计，得到如下数据

24、:年份20132C14|2015|201612017|201B年宣传费K （方兀）|384A|586R7088年销售量y （吨）|16B10,8|20.7|22.4|24；0|25.5|经电脑模拟，发现年宣传费 X （万元）与年销售量y （吨）之间近似满足关系式 y = a xb（口加0）.对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：6加占.lny)y) a6t 16gd叫yi - 1|75.3|2410.3101.4(1)根据所给数据，求 卜关于J的回归方程;(2)已知这种产品的年利润 ，与4,)的关系为7 =、2/-息才若想在2019年达到年利润最大，请预测2019年的宣传费用是多少万元?附

25、：对于一组数据(叫叫)，*%),其回归直线着=/?，匕+。中的斜率和截距的最小二乘估计分别为1-1r=iit = vp u【答案】(1) 丁=0.、&(2)当2020年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值.【解析】【分析】(1)转化方程y = a.xJI,结合线性回归方程参数计算公式，计算，即可。(2)将z函数转化为二次函数，计算最值，即可。【详解】(1)对|y三it 3>O, b>0),两边取对数得 Iny = Ina + blnxW，= Inx； V； ? 24,6由题目中的数据，计算 = = 4,1 u18.3- = 3.0562(%卬=£(国囱坊户7羽i

26、 =1i =二 yflnjr,)2 = 101.4£ 占则Z"； 6，# 1=175,3 - 6 x 41 3,05101.4-6x4.10.27 _ 1(154-2得出力二所以J关于上的回归方程是产(2)由题意知这种产品的年利润z的预测值为* = e 必_R "14必)=-(行-7画必，所以当行 二7、即！=丽时,，取得最大值,即当2020年的年宣传费用是19H万元时，年利润有最大值.【点睛】考查了线性回归方程求解，考查了二次函数计算最值问题，关键结合题意，得到回归方程，第二问关键转化为二次函数问题，难度中等。20.如图，已知圆F1的方程为"+1)2+

27、必=/，圆&的方程为(靠-1产+ /=；,若动圆M与圆 F：内切，与圆心外切.(I )求动圆圆心 阚的轨迹。的方程；(n )过直线，=2上的点Q作圆0.x2 +/=2的两条切线，设切点分别是 M ,若直线MN与 轨迹C交于白，,两点，求|£P|的最小值.【答案】(1) L + / = i (2) /【解析】【分析】(I)设动圆的的半径为一由题动圆M与圆片内切，与圆七外切，则|MF；| +固产？ = 2衣:> IFF=2 ,由此即可得到动圆圆心 M的轨迹是以FjF工为焦点，长轴长为?国的椭圆，进而得到动圆圆心 M的轨迹。的方程；(n)设直线,二2上任意一点Q的坐标是(2，

28、)，切点坐标分别是口23),(丁主义)；则经过凹点的切线斜方程是 ,好+ 了4 = 2,同理经过N点的切线方程是 2 + 3 = 2, 又两条切线MQ, ZVQ相交于Q (2rt).可得经过MJV两点的直线I的方程是Zty = 2,对1t分类讨 论分别求出EF的值，即可得到|EF|的最小值.【详解】（I）设动圆M的半径为，;动圆用与圆Fl内切，与圆心外切,7隹 口在 工曰MF = -J-,且网&| 二彳+ J".于TE,所以动圆圆心 面的轨迹是以为焦点，长轴长为2眼的椭圆.从而，”二鹿1二1 , 所以b = 1.故动圆圆心m的轨迹q的方程为；_ + / = 】.（n）设直线卜

29、=2上任意一点Q的坐标是（2上），切点,M.N坐标分别是（与岁3），则经过M点的切线斜率k =方程是心工+ ¥才=2 , 四经过N点的切线方程是 qr + y4y = 2,又两条切线MQ , NQ相交于Q （2»则有 自:够二;，所以经过的亦两点的直线的方程是2x+ty = 2,则|即二隹;当 £二0时，有|N（L-1）, £口斗，F（】，-+ ty= 2当上于0时，联立,整理得(1 +助- 13+ 8-2d=0;x2 2+ ,一 二1216设技坐标分别为仍,（工通）,则I2 +8 8-2tz 号/二 t r + fl?L2 7 I5 2国1 + 4)所

30、以 | = Jl+t-)2' 限 +2=一.+ 8 二 综上所述，当f = 0时，|EF|有最小值虚.【点睛】本题考查点的轨迹的求法，考查直线与圆、椭圆的位置关系，属中档题如已知函数加工）=Hr?上，/（比）=x3+/ + ".（1）若fa_.在区间L2上不是单调函数，求实数 b的范围；（2）若对任意JTEL“，都有加的之一？ + 3+2及恒成立，求实数。的取值范围；（3）当b = 0时，设卜。）=。就nJ ,对任意给定的正实数d,曲线¥ =尸上是否存在两 点凡Q,使得liPQQ是以。（。为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点 在'轴上？请

31、说明理由【答案】（1） -16<6<-5； （2） Q <-1; （3）详见解析【解析】试题分析：（1）若可导函数在指定的区间。上单调递增（减），求参数问题，可转化为/（幻工0（或门：工区。）恒成立，从而构建不等式，要注意“=是否可以取到，若不是单调函数，则不恒成立；（2）含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，常用到两个结论：（1 ） 口之恒成立=口之/= ， （ 2 ）。王/（工）恒成立Q日E/（X）亡.（3）与函数有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第

32、二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点 试题解析：解：（1）由 /（x） = JT +i.x得 八工1三共工+2,2 ,因人工I在区间10上不上单调函数所以fix）=3/42, +占在1闵上最大值大于0,最小值小于0广Y1，'（川=3/+ 2=+5 三号 x+ +b-I 3；3/'（工乙= 16+占.,.*=5+匕由 g（x） > -x3 + （3 +2, 得 I m - lii xj）dr < x2 2-xe Le:/.ln x<<x ,且等号不能同时取，.In x

33、<x ,即 m-1uk>0二4工三上恒成立，即a<-x-liix屋/ 1 x* 2x /】、 if x lx11（x+ 2 2Inx令 = .（> e LeT）,求导得 七（工1二;jc-hi xWin幻当彳曰Lw时，x-1 >0=0<ln x<Lx4-2-21n .x>0 ,从而/（#）之。二1rf封在L 上是增函数，工（x） = r（l） = -l£1 三1（、 -XT 4k < 1由条件，FLrJn口In xtx>l假设曲线J'二FIhJ上存在两点满足题意，则EQ只能在工轴两侧不妨设尸匕尸(I)()01，则+广

34、)，且riSPOQ是以O为直角顶点的直角三角形，r.OP.OdO/.-r+F(r')|f3+f' 1 = 0(, 是否存在中,0等价于方程(*)在/。且才手1是否有解当0工工1时，方程1"1为二一J +(_/ +JJ 1=0，化简建一 J +1 =。,此方程无解；当 1时，方程(*)为-J + 4!n r|F + J I=0 ,即1=(e + 1旧r设 ， = +l)ln tit 1),则 /(。= In r + - + 1 t显然，当±i时，*()。，即方M在5+工上为增函数二的值域为 例1廿幻，即(0,+工：1,二当白二o时，方程1*)总有解二对任意给定的正实数 / 曲线y =网不上是否存在两点 R0 ,使得8P0Q是以。(。为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上考点：1、利用导数求参数取值范围；2、恒成立的问题；3、探究性问题请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清 题号。22.在直角坐标系中，圆G：/ + /=1经过伸缩变换二篇 后得到曲线G.以坐标原点为极 点，T轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线 t的极坐 标方程为 p(2co