高中数学知识点总结

1、高中数学知识点总结一、概念与符号L函数的概念一般地，我们有：设4 E是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系九 使对于集合力中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的 数/(鬣)和它对应，那么就称广AtB为从集合达到集合8的一个函数(function),记作：v= f(x)f xE A.2 .映射的概念一般地，我们有:设儿B是两个非空的集合，如果按某一个确定的 对应关系使对于集合总中的任意一个元素打在集合A中都有唯一 确定的元素产与之对应，那么就称对应八A t R为从集合4到集合B的 一个映射(mapping)3 .函数的最值一般地，设函数y =fG)的定义域为人如果存在实数M满足：(1)对

2、于任意的无EL 都有/Cx)之M)；(2)存在与E1.使得口)=四.那么称M是函数y = fa)的最大(小)值，通常记为：= M 或 TOOmax = M (ymln = M 或八工)min = M).I奇偶函数等式的等价形式：奇函数O /(-X)= -/(x) O /(-X)+ 八X)= 0f(-x)O 今一=-1(/ 0)：fw偶函数=/(-X)= fM = f (r) _ f CO = 0f(x)第二、常用公式1 .幕指数运算法则(l)d 出=Q+s,(Qr)s = QT (ab)r=arbr. (g > 0, r, s e Q)(2)当ri为奇数时，W = a；当九为偶数时，啊=

3、。之o， (a, a < 0.加(3)规定：an => 0, m, n C NS 且九> 1)；jn iQr=R(a>0, m, nE N",且n>l)； ana° = l(aw0).2 .对数恒等式alogaN = N, logfl a = 1, loga 1 = 0.(其中N > 0, a>0,且a?l)3 .对数运算法则 设a>0,且a#L M>0, N>0,则loga(MN) -loga M 十 loga N,10ga 得) = 10gaM-10gaM10ga Nn =71 log。N4 .对数换底公式10

4、grbr-log。b = (a > 0 且q w 1 ； c > 0 且c w 1 ； b > 0)logcQ一概念与符号1 .函数的零点对于函数丫 = /(%),我们把使f。)= o的实数算叫做函数)，=的零 点(zero)2 .二分法对于在区间匹 可上的连续不断且/(q) /(B) <。的函数、=/(%), 通过不断地把函数rw的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)。二、常用公式L二次函数式：/(%) = ax2 + b尤 + c = a(x x1)(x x2) = a (% h.)2 +

5、k (其中a *0, h =且,k = 2a4a /2 .二次函数图象在x轴上两点间的距离，以1 一兀21 = >/01 + 小)2 4%2 = b 4"， |G|3 .方程a/ + 2x +。=0(a 丰 0)：(1)判别式A=b? 4ac；(2)求根公式0,2= 士包(A之0)；(.b11 + 勺=，(3)根与系数的关系 、0Mx?= 'a三、常用定理1 .零点存在定理一般地，我们有：如果函数),=(尤)在区间原 刊上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有f(G)ro)<o,那么，函数y = r。)在区间 (Q, b)内有零点，即存在c£(Q, b),

6、使得/(c) = 0,这个。也就是方 程/(无)=。的根62 .二分法的操作步骤给出精确度口用二分法求函数/(%)在区间a,同上零点近似值的步 骤如下：(1)确定区间a, b9验证/(a)，S)<0,给定精确度z；(2)求区间(q, b)的中点C；(3)计算“C);一、常用公式S图柱全=27rr(r + Z), % =S/i；S国锥=7rr(r4-Z),喉=;5h；S图台=兀(r'2 + 厂2 +厂，+打)，% =；(S + 6W + S')/i；S球=4/tR2,= 7i2-二、常用定理(1)用一个平面去截一个球，截面是圆面.(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面.(3)

7、球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r有下面关系：r = /R2 - dz.(4)球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截 面截得的圆叫做小圆.(5)在球面上两点之间连线的最短长度，就是经过这两点的大圆在 这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离.一、概念与符号平面a、尸、y,直线a、b、c, 点B、C.A e a点1在直线a上或直线a经过点4a u °直线a在平面a内.a C (3 = a平面a、尸的支线是a.a£平面a、/?平彳亍.Z? -L y平面z?与平面Y垂直.二、常用定理L异面直线判断定理过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不

8、过该点的直线是异面 直线.2 .线与线平行的判定定理(1)平行于同一直线的两条直线平行.(2)垂直于同一平面的两条直线平行.(3)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平 面相交，那么这条直线和交线平行.(4)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平 行.(5)如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个 平面的交线.一、常用公式1 .设 Q = （。1,。2，Q?） 9 b （&_,与，匕3），A（%, 3，i , zj jB（x2f y2, z2> 则（Dim = Vai+g2 a3 ； 8S（Q, b）= 1;3 bg ；/+名+WJb

9、-布画= TV +。公 一 内尸 + Q1 22）2.2 .中点坐标公式已知力。±,凫，zj B（x1, y2, z2）,若M（£, y, z）是线段的中点，则有无=也当，y =红空23 .异面直线所成的角设异面直线CD所成角为8,则cos0 = |cosMB, CD） =1Asyd |4.直线与平面所成的角如图，已知P4为平面仪的一条斜线，九为平面a的一个法向量，过P作平面a的垂线P。，连接。4则NP4。为斜线P4和平面a所成的角，记 为以 易得：sin8= sin（； 伍，前）|=|cos< 费）| = J；需" 5.二面角的向量求法基向量法，如图，二面

10、角4 -BD- C中，AE LBD,CF 1 BD,AC.EF. AE、CF长度已知，则由同广=（标十加十定产可求出cos（荏，FC）, 从而求得（荏，FC）,则二面角力一夕。一。的大小即为九一（霹，FC）.法向量法，已知二面角a-1-0的平亘角为6,贝I|cos &| = |cos<n1, n2）|（其中叫,%分别是两平面a、0的法向量）.再结合直观图确 rlris 定6是锐角还是钝角，从而去掉绝对值号，结合反三角函数求出夕6 .点尸到平面a的距离设点P到平面a的距离为乩 则d = 臀（其中h为a的法向量，M为平 Ini面a内任一点）.7 .异面直线间的距离设异面直线/B、CD

11、间的距离为心则|BC-w| BD n=手?= 里W（其中n满足4用 =0,且相而 = 0）. Ini n注意？异面直线间的距离问题在新课标中有所淡化，此公式仅作了解即可.要注意体会点到平面的距离公式与该公式的联系，从而体会点面之距、异面直线之距间的相互转化.二、常用定理1 .设a =(工i j y，b = (x2 y2 则(Da | bb 工 0) o= A%2,% =到2,Z =9若尢2yzz2丰0,则。II b=m=区=幺天(3)。JL h 0 x±x2 + 3jr2 十 ziz2 = 02.共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量。、力共面的充要条件是存在唯一的一

12、对有序实数无、y,使c = xa + yb.一、概念与符号L倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与尢轴相交的直线，如果把工轴绕着交 点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为处 那么a 就叫做直线的倾斜角，当直线和工轴平行或重合时，规定其倾斜角为0、 因此，倾斜角的取值范围是a v 180°.2.斜率倾斜角不是9(r的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常 用k表示，即左=tan a,常用斜率表示倾斜角不等于9。的直线对于轴的倾斜程度.、依逆时针方向旋转到与%重合时所转的角.44和巳所成的角。和%相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角， 简称夹角.三、常用定

13、理两直线位置关系的判定与性质定理如下:( 1 )当，=4工“+ b» l2：y = k2x-F b2平行；k=化n，旦dX b2垂直：k=k? = 1本目交：k* K k2重合：k± 一】。2且/一久(2 ) 当工工：4工工+ 8工37+ C=0> Z2：42x + B2y + G平行:AA2£±垂直：241y+ B8n = 0相交：力工邑大冬氏重合：d = 3,且2 = 1(/4既=应8工，曰N1C2 = A2C-i)一、概念与符号1 .曲线的方程、方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C (若做适合某种条件的点的集合或 轨迹)上的点与一个二元

14、方程/(t, y) = 0的实数解建立了如下的关 系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解：以这个方程的解为坐标的 点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.二、常用公式2 .圆的标准方程方程(X a)2 +。 b)2 = *是圆心为(a, b),半径为r的圆的标准方 程.其中当a - b -。时，X2 4- y2 产表示圆心为(0, 0)，半径为7的 圆.3 .圆的一般方程方程/+* +。X+ £)/ + /7 = 0,当。2 +方4F>0时，称为圆的一般方程.其中圆心为(？， 半径D2 4- E2 4F4 .圆的参数方程设C(a, b),半径为此

15、则其参数方程为仅=a+ Rcos6s*袅拓、ty=b + Rsin8(°为参数'°a°<2兀).4,直线与圆的位置关系设直线I： +=0,C： (% - a)2 + (y bp = r2.C(Q,。至”的距离为d =”:嘉°则d>T与圆C相离;d = r 0 I与圆C相切;4<丁。1与圆。相交.D.与圆的位置关系设圆Ci： (x-aj2 + (y-bj2 = r2,圆G： (x-a2)2 + (y-fc2)2 =R2.设两圆的圆心距为d,则当d>H+r时，两圆外离;当& = 7?+厂时，两圆外切;当|Rr| <

16、;d< R + r时，两圆相交;当d=|R-r|时，两圆内切;当d< |R川时，两圆内含.一、椭圆1.椭圆马 += l(a > b > 0), c2 = a2 - b2(c > 0),焦距| = 2c.2.如图 5-3TL椭圆'十匕0)的离心率有：e = ( = Jl-.二、双曲线1 .双曲线J 今=1(。0, /? 0),有小=2 +)2,焦距 a2 b21尸£| = 2乙且诜”)，笈(尢2，%)，力笈所在直线的倾斜角为巴则尢1 "*2 =V1 V2 = -P2-4|/F| = x1 4- |BF| =9 十 AB | =+ %2 +

17、 P = sj：8 -特别地，当时8 =多 弦长I川=2小 此时即为抛物线的通径长.以。8 =熹V过8作BC尢轴，点C在;隹线上，贝1力、B、尸三点共线=/、0、C三点共线.四、直线与圆锥曲线的关系1 .弦长公式：AB | = V1 + 2|%! - x21 = Jl 4- |yt y2 |.2 .抛物线的焦点弦|4B| =4- x2 4- p.3 .抛物线的通径|/8| = 2p.一、常用符号无平均数，S2方装，s标准差，Z求和符号二、常用公式无=芯 O, + *2 + + xQ, S2 =专d（Xj 正）2s = 式符一无）z，b =强曹#, a = y-bx回归方程歹=a + bx其中f

18、r = 211（匕一元）一50 =/”一小八下< 2以式七一无）2- 2n iX2 _2 '（ a, = y 2?元.相关.系数r =一 %” V：元刀J（2K 一九五 2）. 6 乂2 一九产）一、常用公式1 .随机事件/的概率：P（A）满足0 W尸（力）$ 1.2 .互斥事件的概率加法公式：（1）女口果力、8是互斥事件，贝！J尸（4U E）=尸小）+尸（B）.（2）如果/、B是相互独立事件，贝UPG48）=尸（/尸（B）.（3） 口果事件/工，幺2，/1fl两两目斥，贝！JPQA1UA2UA3U-UAn =尸 Q4 工）+ PQ4z）+ +3 .互为对立事件概率加法公式，尸（

19、方）+ FQ4） = 1.4 .古典概型，尸5=事件4包含的基本事件数5 .几何概型：尸”）=构成聿件q的区t或长度（面枳或体积）« , 一 试验的全部结果所构成的区I或长度（面积.或体积）.特别地：(1)若X服从两点分布，则JO(X) =p(lp)(2)若XBg p),贝llO(X) = np(l p)(3) O(aX+匕)=Md(X)8.正态变量概率密度曲线的函数表达式：J(工一口产式工)=春。"Z , xGR其中出(J是参数,且(T > 0, 8 < P < 4-00,式中和CT分别是正态 变量的数学期望和标准差.期望为，标准差为。的正态分布通常记作

20、NQt, a2).当 =0,。=1时，正态，总体称为标准正态分布，记作N(0, 1).标准正态分布的函数表示式是/(x) = -；=e_2, x e R.一、常用概念1 .角的概念及推广(1)一条射线由原来的位置04 绕着它的端点。按逆(顺)时针方向 旋转到另一位置。8,就形成角a.旋转开始时的射线。4称为角a的始 边，旋转终止时的射线。8称为角a的终边，射线的端点。称为角a的 顶点(如图).、a(2)逆时针方向旋转所形成的角称为正角，按顺时针方向旋转所形成 的角称为负角，当射线没有旋转时，称为零角.2 .弧度及弧度制长度等于半径长的弧称为一弧度的弧，一弧度的弧所对的圆心角是一 弧度的角，这种

21、度量角的制度称为弧度制.3.三角函数的定义如图，在a的终边上取一点尸O，y), OP = r = yjx2 + y2 > 0,定义：sin a = -, cos a = -f tan a =- rrx二、常用公式1.孤长公式：I = aR, A为圆弧所在的半径，a为圆弧所对圆心角的弧度数，工为弧长.2 .扇形的面积公式,S = -Z/?, R为圆的半径，L为弧长.23 .同角三角函数的关系式(1)商数关系：tana =迪士， cos a(2)平方关系：sin26r + cos2a = 1(3)诱导公式：X函数sinxcos Xtanxa + k 2nk e Z)sinacos atan

22、ait + a- sinacos atan orasin acos a tan aft - <xsina- cos atanaIT 2-acos asinarr2+acos a sin a三、常用结论1 . 一些特殊角的集合表示 与a终边相同的角的集合，伊|/? = 2左加+匿fceZ）；终边在第一、三，二、四象限的平分线上的角的集合: a|a = kn + / k e zj,a | a =, k £ z；pp = kn-, k e z；终边在坐标轴上的角的集合,终边在四个象限的平分线上的角的集合，aa =竺十 二% EZ).24)2 .度与弧度的换算及特殊角的三角函数值度(T

23、30145160*90*1802701360*0JT6n46n2n3jt2 IT正交012成VJT10-101V3T色 T120-101正旬0T1V30IB0一、常用图形1 .三角函数线2 .三角函数的图象（如图9-2-23）二、常用性质函数名称正弦困数余弦函数正切函数解析式y = sin3y = cosxy- unx定义城RRxx 6 R且彳工 kn + j'k ® z值域-1，1H，1R奇偶性奇函数偶函数奇函数有界性有界函数有界函数周期性T = 2ttT=2jtT = 7T单谒性增区间r7TJT12kn-, 2fc7r + d 乙乙城区间rn37rl卜"+之，2

24、丘+彳CkeZ)增区间 2kn - it, 2kn (keZ) 城区间 2kji 2kn + tt (kWZ)增区间(kTT-g, 汀 +g) (fceZ)三、常用公式1 .正弦函数y = A sin(a)x +仍和余弦函数y = A cos(a)x +卬)的周期丁 271丁=疏2 .正切函数y = A tan(wx + 9)的周期为T =亩一、常用公式1.两角和(差)公式sin(a ±/?) = sin a cos 0 士 cos a sin 0；cos (a ±0) = cos a cos /? + sin a sin/?；tan(a ± 0)二tan cr+

25、tan 011tana tan R2 .倍角公式:sin 2a = 2 sin a cos a；cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 2 sin2 a；tan 2a =2 tan a1tan2 a3 .倍角公式的逆用:tan-2=土1-cosa1+cosa一、常用公式1.三角形面积公式S»abc =三底 X 高 =-absmC = - be sin/ = - acsin B =-UAQL 22224Z2其中H为力EC的外接圆半径.二、常用定理1.正弦定理，=-=-=2R. sin A sin B sin C2.余弦定理：a2 = b2

26、 4- c2 2 de cos A, £2 = a2 4- c2 - 2 accos B,c2 a2 -+- b2 2 ab cos C.一、常用公式设q、b表示向量，且a =(%，%), b = (x2,%)，入表示实数.1 .加法原理：a + b =(九 + %2> % +)，2).2 .减法原理，a-b= (%i-x2, % -")3 .数乘，Aa =(Ax1,入%).4 .数量积：a - b = x1x2 + yry2- a b = abcos0 (其中6为a与b的夹角)5 .平行关系：a II b a xrx2 jy2 = 0-（1） |a| = yjx2

27、4- y2,其中Q =（工，y）；2） ImI = 盯）2 + 61 2尸,其中A（x” ”），B（%2, y2）.10 .角度公式：8s6 =/ =亍叁笃用=,其中。为a与力的夹角. la,lbl二、常用定理L平面向量基本定理如果用、.是同一平面内的两个不共线向量.那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入！、七，使a = %一十 ”.11 两向量共线定理向量力与非零向量a共线的充要条件是有且仅有有个实数兀 使b =入口12 两向量垂直定理向量a与向量b垂直的充要条件是a b = 0.一、常用公式1 .等差数列、等比数列等差数列等比数列定义*1-4 =d八十1- q an通项公式an

28、 = at + (n l)d, an =+ (n- m)dan = at Qn_1, 5 = amqn-m公差（比）d = =y(nw D， n-1 v,ta九一Cm，一、a =(n 亍 m)n Tnq3=当 An-m 4%q - -前711页和公式n(at + an)勿一2n(n -1) =na. Ha2Sn = nat(Q = 1)中项公式a + BA =2G = +Vab(ab > 0)m + n=p + q=+%=' + %"a” =2 .在等差数列中，(l)an = m, am = n, mrt,贝戊粗+九=0；(2)若S九=m, Sm = n, m * ri

29、, 贝USm+n = (m+ n)；(3)右Syj Sm 9 771 W 71 f 则5工+八0.3 .若Q。与%均为等差数列，且前九项和分别为Sn与,则署=A bm 弓m一工4 .项数为2九5 GN")偶数的等差数列a J有： s2n =九（Q1 + a2n）=n（an + Q+DSn，Qrz+l 为中间的两项）;ana7l+l项数为奇数271 - 15 £ V)的等差数列Q/有，Sm =(2九一 1) 0n 为中间项)；S奇一 5偶=Q3S奇、S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.5 .常见数列的前九项和的公式1 + 2 + 3+九=9* 21 + 3 + 5

30、 +1- (2n - 1) = n2*F十22十32十十/:613 + 23 + 33 + . + / =二、常用结论LA是a, b的等差中项的充要条件悬4=空与 22. G是a, b的等比中项的充要条件是G2 = ab,其中ab > 0.L不等式的性质 a > b 0 b v a：q > b9b>c =>a > c:q > b =>a+ c >b + c a > b,c>0 =>ac > be； a> b, c < 0 => ac < bea > b,c>d na c >

31、bda > & > 0, c > d > 0 => ac > bda > Z? > 0 => an > bn (n E N, n > 2) a > b > 0 => ya > e N, n > 2)2.一元二次不等式, ax2 -¥ bx + c > 0(a丰0),设与、七是方程+ bx+c = 0的解,且%! < %2,若Q > 0,则A> 0, xx < x13 或% >%2卜A=0,a bx x ER,且工。一二一 2 aA<0, r

32、 6 R.3.基本不等式, yab <（其中q>0, b>0,当且仅当Q = b时取一、常用符号pVqp或q,pAqP且q，非PV任意7存在A = B是B成立的充分条件B = A是B成立的必要条件A = B4是E成立的充要条件二、常用结论1.2.在p或q命题中，一真为真.3 .在p且q命题中，一假为假.4 .在非p命题中，与p的真假相反.5 .全称命题p： V% 6 M, p(x),它的否定叩：3xEM, p(x).6 .特称命题q：G M,式兀),它的否定VxE M, q(x).一、常用公式1 .常用函数导数公式(1) C = 0(C为常数):C2) Qxny =九'

33、;二】(其中71 e R)；C3) (sinx)z = cos x：(4) (cosx)f = sinx；(5) (InxY =i;X(loga x = -7； xna(7) (exy = ex(8) (a» = ax Ina.(9)复合函数y = f(g(x)的导数和函数y =间的关系为：=此'巩/.2 .函数的和、差、积、商的导数/(x)±g(x), = r(%)±g,(x)； t/3) g(x)f=ru)g(x)+gwco；(3)ya)，_ /g'GfcoLg(r) Jg2 w3 .定积分的线性性质(1) . kf(x)dx = k/(x)d

34、x；<2)rfOO ± g(x)dx = C/(x)dx ± r g(x)dx： +。f (x)dr (a < b <u = g(x)的导数c).(3) J/(x)d% = J/(x)dx二、常用定理L函数的单调性与其导函数的正负的关系在某个区间(q, b)内，如果广(乃>0,那么函数y = r在这个区间 内单调递增；如果/'(乃<0,那么函数丫 = 尢)在这个区间内单调递2, 一般地，求函数y = f(x)极值的方法是：解方程广(乃=0,当尸(与)=0时：如果在/附近的左侧尸(工)> 0、右侧尸(x) V0,那么了(%)是极大如

35、果在与附近的左侧广< 0,右侧广> 0,那么f &)是极小3, 一般地，求函数y = /(%)在如可上的最大值与最小值的步骤如 下：求函数y = /(6在(a,匕)的极值；将函数y = /(x)的各极值与端点处的函数值/(a),颁比轨其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.4,微积分基本定理如果/6) = /&),且/1(%)在如匕上可积，则(劝dx = F(x)|： = F(b) F(a),其中F(x)叫做/(%)的一个原函 数一、帛用公式1 . (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + by) a + di)

36、 = (a c) + S - d)i(a 十 bi)Co + aii) = Que bd)十 Qad 十 bc)i9a -f bi c +diac+ Ddife 十 di K 0)(以Jta、b、 c、 d e R).2 ' Z ，Z 2, Z ，Z 2 >z 1 z2. = Z1. Z2，百一袋a2 r 0),z - z = z2 , z = z.3. IzL zz M |z工 士 N2| M |n" + zz,|NNnI = Izi»IIzn|s冲I = yl-2r2 I In? Iz n = zn I，Vm = |Wi|.一、常用公式1 .排列数公式：A

37、1 = 7i(n l)(n- 2)- (n -771+ 1) = r n，. (m、且山式孔). (n-mJ!2 .排列数性质：£ =曲二3 线1 ="iA鲁二；+缥_i(m、nEN”且mMn)3 .阶乘：？1! = 1 X 2 X 3 X X 兀；=n!；规定0 ! =1；常用变形:n-n! = (n + l)!-n!.(ne N4)4 .组合数公式，C兽=箓=胞匚丝产吧2 =需/；规定£ = l.(m、7i£Ammi7n!1Ti-7nJ!N*且m < n)5 .组合数性质：Cm _ pn-m n ，rm _ rm pm-1.Ln un-l 丁

38、un-l ，pm _ 2im-1.j -mJT 'C兽=C1 + C- + C霖1 + + Cz二;.(以上m、n E N*且m < n)6 .二项式定理：(a + b尸=C°an + C 浓 71Tb + + Can-rbr + + Cbn(O <r <ri, reN, neN C；叫做二项式系数)，a、b是任意的数、代数式. 特别地，(l + x)n = 1 + Cx + cx2 + + C*厂+ + Cxnf(a - b)n = Can "*q”t+ Can-2b2 一 + (-l)rC；an-rbr +(-i)y煦7 .二项展开式的通项公式

39、，Tn =。+-丁/（0Wti，t£N，ri £N）8 .+禺+啜+.+大=2,或+第+第+=C +第+/+=2f （ri & N*）二、常用结论1.含有n（riEN）个元素的集合的子集数为2%真子集数为2”-1.2,组合数恒等式MEN）（叱¥+ （禺产+ （鬃尸+. +（5尸=pn _（2乳）!2n =丽L极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x, y),极坐标为(p,。).由 图可知下面的关系式成立：% = pcos0 J p2 = X2 +y2,y 二0sin 9 =2 w 0)顺便指出，上式对p < 0也成立,这就是极至标

40、与直角坐标的互化公式.2,圆的极坐标方程圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为° = R.心在极轴上的点(Q, 0)处且过极点。的圆的极坐标方程为p = 2a cos 9.圆心在点(a,习处且过极点的圆的极坐标方程为 =2asi 0 < 0 < 7T.注：当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程, 通常把极点放置在圆心处，极轴与支轴同向，然后运用极坐标与直角 坐标的变换公式.X =X(> + PCOS(9_(P2 = a %)2 + 6一 %)2y = y0 + p sin 0 0 tan 0 =3 .直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化

41、而来，设直线的点斜式方程 为y 一 比=Q -x0).其中k = tana, a为直线的做斜角，代人上式，得y-y0=（x-%0）,呜艮乃=?.记上式的比值为t,整理后得卜为+3 %（y = y0 + tsina.这是直线的参数方格其中参数陌明显的几何意义.在直角三角形M泗中，M川=|工-端，|MA| = |y-%|, |%M| = |t|,聊|表示直线上任一点M到定点M。的距离.4 .圆的参数方程若圆心在点场（如y0）,半径为R,则圆的参数方程为0 < t < 2ti.x = xo + /?cos0, y = y0 + /?sine,5 .椭圆的参数方程若梅的中心不在原点，而在点

42、M。（卬%）,对称轴与野轴平行的 的胭的参教方程为:i = io + acost, y = %+bsint,高考数学终极版知识清单L集合与常用逻辑用语笠合亡兀灰的粒性R集外的含乂1友小元素与集合的关嘉T确定性，T(异性T无序性L卜屈hj t不植T e一列书法 t|加合的表不法I T描述法L，面那法集合同的基本关匐值 三B0Tk立川一工会丹 t 真?第集 合 与 第 用 期 舞 用一画T尖合的基本运卧T网 幽eA-iiA = Hnjidi-AA U 8=r| 工w Aot-XE 团 月门丹-旧工亡AatidxB i A邛|心"泌dx w可里如否俞昱园用命屋及其关系JL力逆互力为也总J

43、I -.赛哲命题 P出必为充分上必要条件0 pnq、qf ?f ；市用逻辑河讲f|四肝条件|p*刊为必要.充分条件Q中*外9 pp是H的充要条仃。/n5.W网充要条ft 1前互的)P心裕设仲充分工非必要条件o广于小g W pf或(山：pv(f -翼则M一匿函邈函卦，1 1的力；pngf-龈氏-非(not)：1产p与p真假相反IYY司；一全称量词：Mr全称命题.况代同一口(工)【序误提醒】(1)所究一个第合普光要看秦台中的代表元亦 然E野看元素的限制条件：当集合用描述法表示时,注意弄清其 元素表示的赛义常见几种桀自及其含义;集合x|/W>0比=/(切含义方程的解集不等式./a)>u的

44、解集函数了=/5)的定义域集合川尸/(必(w):/")L j引,)二0| 。；州乙x AUi(xj) = Oj含义函数)=/(1)的值域曲线，=/(工)曲线工(KJ) = 0与/；(&» =。交集<2>在解决含参数的集公问题时,要注意枪舱集合中元索的互异牝！<3)在进行集合的运算时婆尽可能地借助【加”图和数轴，使抽象佝题直观化：一般地，集合元素需散时用密必图表示，集合元素连续时用数轴表示，用数粕表示时注意端点是实心还是空心！(4)在解决有关/u8MU6 = BMn8 = /Mn8 = 0等集合问题N，务必要考虑4("8) = 0是否苻合题

45、恚！ <6)令题的否定与否命题:命题命题的令命题命题4的否定-4着。，则。若、p,则4若P.则。(6注意区九：p是q的充分*必要条件(P = q,q® p)'Jp的充分*必要条件是q( P中q,qnP)的不同!(7) (pvq)二(p)A( q). (p八夕)(p)v(1).【必记结论】L常用数集及表示:集合自然数集正蝴竦赛集有理教集春都理81集实数集正实数集复效失表示NN, "V20(XRR.C2. (1) 0cA 0(4±0)(2)若集合4的元素个数5=八则/的子集个数为2。算子集个数为2.,非空自子能个数为2"-2.4U0 = 0U乂

46、=1./U/ =4.1U8 = BU/；3. (1> 4rl0 = 0。4=0.4。/=4/0夕=8,4：4 U &乂)=. A fl C") = 0, % (* 由二 4(3)川8 =304曰0箱8 = 4【必各方法】(1)利用“农力逆台命题的两个含宓具有相同的且假件/这衿等价关系群段:充分条件、必要条件的判定方潟 定义法、桀合温等价法.具体如下;0条（版g对鹿的奥会分发加k B. QI由I77A U B. B z .4用夯介I/密在伴 夕是冏充分且必要条件世决勺旧）无分又小必1条仲 勺是冲战；充分N?Z甚条件P收的信要手充分条件 ?即T；玄分三必表备作p是盛充分丰必

47、要每付9即倒必要寺充分条件qn P，0%是狗必要+充分条件 3,厂窗;充分主办要&体戏的充分，必曼条件 O毅或必更充分笑作-系，的有分习必藜条M oq定/qt勺.1Z条件一夕星一4与凤丁充5）又甘必要条件 o命题名称真假定义法等价法全称命题：丸集合M中每一个元素工，恒有p（x）成立假Vr.W,/Kx)假集合A,中找到一个元素餐,使行双天）不成立否a/E特S冷黑真集合M中找到一个兀索X，使得p（x）成立为假m%wA7,p(*假集合M中使得p（x）成M符元索x不4 4a唯淮电）充分又。办装条件（3,¥称命题真假的判定方；：（4）含有一个一词的命题的否定（交换最讯 否定结论上命题命

48、题的否定全称命题；Vr«A/» p（x）特称命眼：认eM>k）特砍命题：以el工双）全称命题:VxeA/t p(x)2 .函数的概念及其表示【易遇提醒】（I）函数与映射的芳异:映射中两个非空集合4月特例成非空教集就是函教.（2）曲数的定义域知值域都是空致集！（3）解决与函数有关的一切问题的原则：定义域优先！（4）分段函数:定义域等各段函数的定义域构许出（各内定义域不饯伊5市!）：值域等各段函数的僧城的井泉：福图象时注意是否含揣点.若含端点用实点,否则用空心点!设a房是两个去空优缶 如果按束一个确定的对应美和；使对r狄格卜的任意,个元、 索工，在集合心，都仅隹哧定的元物

49、与之对应，则利：.4t8为从/倒找J 个映射.，设4 8是两个非空数集，如果按某种偷定的对应关於，使MJ,集合:的任意、 个数工农集合用科fi唯确定的数_/U）和它对应.则称/ 4 T网从4L 硼一个函数,4M做定义域，八。加/叫做值域.丽数的相念及其去示f解析法T图象法f列表法T 陋定义域和对应美系都相同的两个小数叫做相等函数>1分段函数r具体函数的定义域（分式、偶次根式、*指对、三角等）一实际函数的定义域（使得解析式及实际问题都有意义）一复合函数的定义域荒/（r）的定义域为川，她：/lg（x）的定义域为.r|g（rR a hH【g3l的定义域为labj,则/W的定义域为烈训证与t|对

50、应关系K利用配送法、换无法、待定系数法、密方程组法、赋侑法等求解析式）研讨利用苣接法、配方法、换无法、法本不等式法、单调性法、数形结合法、分离常 数法、导数法等求值域.3 .函数的性质【易俣提醒】（|）单调区间是定义域的子集,所以求单调区间时要先确定函数的定义城:（2）的调区.间只储用区间表示.不能用不等式或集合的描述法表示：若单调搀（减）区间不止一个,应分机写出用逗号，”分开,不能用“或”联结,也不傕用并集符号“U”联结！【必记结论】1 .（1）若/a）.g（K）均是区间d上的增（减）函数,则幻+奴工）也是/）上的增（减）函数：2 2） h/（x）与/（灯的单调性当内>0时相同,当上&

51、lt;0时相反：<3），a）（/（x）>o）在公共定义域内q_L的单调性相反：/（X）（4） /（x）（/（x）20）在公共定义城内与师T的单调性相同.对定义域内某个区间上任意两个口变k妁值斗士且受 j/伪） （）/（&）。/（X）在 l-Ji增（减）由数=，.？必 «）0V« -O（工】-2） 1/（巧）- /（、2 ）1 （W'对/定义域内某个区间。上门左至右看图象是逐渐上升（卜降）0 /（刈、在D上是增（减）函数,t|攵合函数法|'/|g（X）W单调性：内（g（X»外夕）单调性相同则珀,内（g（x）外'单调性相反则

52、诚）T叵豳对口。）定义境内某个区向WUT）（）0,则f（x）4：/川出（减）卜I解不等式住要是利用生调性将函数符号“脱拉，转化成白变量的不等关系 用 1比较大小心要坦通过物击单调由数,将自变丫转化到同一个单调区间内，利出单调性 M 1南丽主要是利用“闭区网匕的单调函数在端点处双待最侑”-I含参数问的F要是先碓定由数的单调区间,然后勺已知单调区间比较解决参数问!g而 数 奇 鸽 ,空 判 定数 周f期 性 判 定定义法/（灯的图象关于，细对称o 灯是？函数 原点奇“奇士奇”是奇,“奇X小奇”是偶 画四T“偶士x+4T是偶T “奇X偶”是奇（，仁）定义域为，若存在非零常数7；对Yxc/*Mj/a

53、+ r）-/m）=力图fixr）=f（xr则/为周期函数，7为/（幻的一个周期22/'小用好（若在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，则这丫1个最小正数叫做/（x/J最小正周期）,T |怪象法| W的图。呈现“周而复始”的变化，则K）是周期函数2.函数中的存在性与任意住问题:已知函数/（外在。上连续函数g在外上连续,则(1> V.rw/)| J(x)N 恒成。9/(刈皿 >a,xe D: Vxw J(x) 4。恒成 No /(g <a,xe D:W"",/(%)N。成比= /(x)m Na、xwR ： %£%,/(%)“成立o/(x)

54、 1Tm “，卜七 A .(2) VreflD2),/(x)>g(x)恒成立c/(r)-g(K)K >0,xw(功f)D?)；% g( A n d:)j(x()> g(/)成立 o if(x)- g.)L >o,r(onft). 3xID,3r2Z)2 .使得/(M = g(三)o /OOIxwDjnk口工。：5wQ坦 g/)；,使得/«) = g(x：)o /(x)|xw/)Ju|g|xc/)J； Vr eDj,Ve/A ,使得/«)>g。/2 >g(x)1r“ ； 加心叫wo1,耳w。,使fg/a)>g区)。/侬乂叱 双4 m£>2(5)Vr,6 ",训 ",使 ft) f(x.) > g伍)o /(x)g > "). ；叫牛也心,使得/(Xj>