中考数学与圆与相似有关的压轴题附详细答案

1、中考数学与圆与相似有关的压轴题附详细答案一、相似1 .如图，在於，曲中，%'，点M是AC的中点，以AB为直径作日， 分别交AC,刚于点。，E .sC11）求证：M ；（2）填空：|若出当M 珈时,DE ；连接如，金，当 的度数为 时，四边形ODME是菱形.【答案】 （1）证明：Z ABC=90 , AM=MC , . . BM=AM=MC , ，/A=/ABM. .四边形 ABED 是圆 内接四 边形， ，/ADE+/ ABE=180° , 又 / ADE+/ MDE=18CT , . / MDE=/MBA,同理证明： /MED=/A, . . / MDE=/MED, . M

2、D=ME 2;倒【解析】【解答】解：（2）由（1）可知，/A=/MDE,DE/ AB, . . Ab =. AD=2DM, DM: MA=1 : 3, DE= i AB= ' X 6=2故答案为：2. 当/A=60°时，四边形 ODME是菱形.理由如下：连接OD、OE.OA=OD , Z A=60 °,.AOD 是 等边三 角形， ，/ AOD=60 °,DE/ AB ,，/ODE=/ AOD=60 ； / MDE=/MED=/A=60 ； .ODE, DEM 都是等边三角形， .OD=OE=EM=DM, .四边形 OEMD 是菱形.故答案为：60

3、6;.【分析】（1）要证 MD=ME,只须证/MDE=/MED即可。根据直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半可得BM=AM=MC ,则/ A=Z ABM ,由圆内接四边形的性质易得 /MED=/A, ZMDE=Z MBA,所以可得 /MDE=/MED;DE 妈(2)由(1)易证得DE/ AB,可得比例式AB .明，结合中的已知条件即可求解； 当/A=60°时，四边形 ODME是菱形.理由如下：连接OD、OE,由题意易得 AODE, DEM都是等边三角形，所以可得 OD=OE=EM=DM,由菱形的判定即可求解。2.如图1,在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=8cm, E、F分别

4、是 AB> BD的中点，连接 EF, 点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为 1cm/s,同时，点Q从点D出发，沿DB方 向匀速运动，速度为 2cm/s,当点P停止运动时，点 Q也停止运动.连接 PQ,设运动时间 为t (0vtv4) s,解答下列问题：BlK2青用及(1)求证：ABEFADCB;(2)当点Q在线段DF上运动时，若4PQF的面积为0.6cm2 ,求t的值;(3)当t为何值时，4PQF为等腰三角形？试说明理由.【答案】(1)解：二四边形ABCD是矩形，. 助"& AD/BC,力=%：在Ri 板中,BD 10区F分别是陶航的中点，1133S =-PF X

5、 QM = -(4 - t) X -(5 - 2t) =0.6 二二QOr -. 二(舍)或f 二二秒(3)解：当点Q在DF上时，如图2, PF g当点Q在BF上时，FF ,如图3,.二-；七田凡时，如图4,杼时，如图5,，一）1962G综上所述，t=1或3或7或6秒时，4PQF是等腰三角形【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得 4BEF和4DCB中的两角对应相等，从而 可证BEQ4DCB; （2）过点 Q作QMLEF于 M ,先根据相似三角形的预备定理可证 QMF s BEF;再由QM F s BEF可用含t的代数式表示出 QM的长；最后代入三角 形的面积公式即可求出t的值。（3）由题

6、意应分两种情况：（1）当点Q在DF上时，因为/PFQ为钝角，所以只有 PF = QF。（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所 以有PF=QF； PQ = FQ PQ = PF三种情况，因此所求的 t值有四种结果。3.已知在 ABC中，/ABC=90°, AB=3, BC=4点Q是线段 AC上的一个动点，过点 Q作AC的垂线交线段 AB （如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P(1)当点P在线段AB上时，求证： APQsABC;(2)当4PQB为等腰三角形时，求 AP的长.【答案】(1)证明： Z A+Z APQ=90 , /A+/C=90, . . / APQ=/ C.在

7、APQ与ABC中，. /APQ=/C, / A=Z A, .APQsMBC.（2）解：在 RtABC中，AB=3, BC=4,由勾股定理得： AC=5./BPQ为钝角，当APQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，由（1）可知， APQABC,PA PQ 3 - PB PB4F - T - pb -吟即 5 ,解得： 目.45AP - AB - PB - 3 -3 J .（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图 2所示， BP=BQ,/ BQP=Z P. / BQP+Z AQB=90 ； / A+Z P=90 ； ：. / AQB=Z A。. BQ

8、=AR.AB=BP,点B为线段 AB中点。.AP=2AB=2 X 3=6.综上所述，当4PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.【解析】【分析】（1）由两对角相等（/APQ=/ C, /A=/A）,证明APQsABC。(2)当4PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论 .(I)当点P在线段 AB上 时，如题图1所示.由三角形相似(APQsABQ关系计算 AP的长；(II)当点P在线 段AB的延长线上时，如题图 2所示.利用角之间的关系，证明点 B为线段AP的中点，从 而可以求出AP.4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=匕x2+ & x- 2与x轴交于A, B两点(点A在点B

9、的左侧)，与y轴交于点C,直线l经过A, C两点，连接BC.(2)若直线x=m (m<0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点 D,连接OD.当ODLAC时，求线段DE的长；(3)取点 G (0, - 1),连接 AG,在第一象限内的抛物线上，是否存在点P,使/BAP=/ BCO- / BAG?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：二抛物线y=工x2+ 士 x2,，当 y=0 时，得 xi =1, x2= - 4,当 x=0 时，y= - 2, i S抛物线y= - x2+上x- 2与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C, .点

10、A 的坐标为(4, 0),点 B ( 1, 0),点 C (0, - 2),直线l经过A, C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b,4kb = G /一三'白=T ,得小，/即直线l的函数解析式为y=(2)解：直线ED与x轴交于点F,如右图1所示,AO=4, OC=2, /AOC=90°, .AC=2 ., x 2 a/3.OD=,. ODXAC, OAXOC, /OAD=/ CAO, .AODAACO,AD A6.元一元，AD _ 4队后即 / - 得 AD= T ,. EFLx轴,/ ADC=90 ；.EF/ OC,. .AD。ACO, AF DF AL.M OC M

11、 ,H 0解得，AF= 5 , DF=4,B 士OF=4 LH=, * m= - $ ,当 m= $时，y=上 x(- J ) 2+ J x( J) 2=心,，ef=:,72 8 32DE=EF- FD=(3)解：存在点 P,使/ BAP=/ BCO- / BAG,理由：作GM LAC于点M,作PN±x轴于点N,如右图2所示,图2 点 A ( 4, 0)，点 B (1, 0)，点 C (0, - 2), .OA=4, OB=1, OC=2,OC 21OB i . tan / OAC=由/, tan Z OCB=8 £ , AC=2t后, . / OAC=Z OCB, / B

12、AP=Z BCO- / BAG, / GAM=Z OAC- / BAG,Z BAP=/GAM, 点 G (0, - 1) , AC=2k 方，OA=4,，OG=1, GC=1,AC * GM a； , OA. 1X4.AG=1叼，22,即？ J解得，GM= ,. am=叱-c# =1、"，丁GM _5 赢" tanZ GAM= g .tan / PAN= 5 ,设点P的坐标为(n, - n2+ 2 n-2),1. AN=4+n, PN= - n2+ * n - 2, i , 3 才可- = 一解得，n1 =n2= - 4 (舍去),13当n= 9时，Jn2+13 9b点P的

13、坐标为( ,更)，13 囹即存在点 P ( 3 ,司)，使/ BAP=Z BCO- / BAG【解析】【分析】(1)利用抛物线的解析式求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式。(2)直线 ED与x轴交于点 F,在RtAAOC中，利用勾股定理求出AC的长，再证明 AODsACO,利用相似三角形的性质求出AD的长，再由EF/ OC得出对应线段成比例求出OF的长，可得出 m的值，然后求出 EF的长，根据DE=EF FD,可求出答案。(3)存在点 P,使/BAP=/ BCO- /BAG,彳GM，AC于点M,作PN，x轴于点N,根据 点A、B、C的坐标，利用锐角三角函数的定义求出AC、A

14、G的长，再利用同一个三角形的面积相等，求出 GM的长，利用勾股定理求出AM的长，从而求出tan/PAN的值，然后设点P的坐标，求出 AN、PN,再根据tan / PAN的值建立方程求出 n的值，就可得出点 P的 坐标。5.如果三角形的两个内角“与3满足2a + 3 =9 0那么我们称这样的三角形为准互余三角(1)若 ABC是 准互余三角形 "，/C>90°, / A=60°,则 ZB= ;(2)如图，在RtABC中，/ACB=90, AC=4, BC=5若AD是/ BAC的平分线，不难证明4ABD是 推互余三角形”试问在边BC上是否存在点 E (异于点D),

15、使得 ABE也是 准 互余三角形”？若存在，请求出 BE的长；若不存在，请说明理由.(3)如图，在四边形 ABCD 中，AB=7, CD=12, BD± CD, /ABD=2/BCD,且 ABC 是 推互余三角形”，求对角线AC的长.【答案】(1) 15(2)解：如图中，B E D C图在 RtA ABC 中， Z B+Z BAC=90 , / BAC=2Z BAD,/ B+2/ BAD=90 ；.ABD是 准互余三角形”，ABE也是 准互余三角形”，. 只有 2 / B+Z BAE=90 ,° / B+/BAE+/ EAC=90,° /CAEB, ,. /C=/

16、C=90； .CAECBA,可得 CA2=CE?CB.-CE= $ , 16 g .BE=5- 5 = /.(3)解：如图 中，将4BCD沿BC翻折得到4BCF. .CF=CD=12 /BCF=/ BCD, / CBF=/ CBD, / ABD=2/ BCD, / BCD+Z CBD=90 ,° / ABD+Z DBC+Z CBF=180 , °. A、B、F共线，Z A+Z ACF=90 ° .2/ACB+/ CABw 90 °. 只有 2/BAC+Z ACB=90 ,°/ FCB=/ FAC 1 / F=Z F, .FCBAFAC .CF2

17、=FB?FA 设 FB=x,则有：x (x+7) =122 , . .x=9 或-16 (舍去)，AF=7+9=16,在RtMCF中，AC= 卢+ 卢=H +"%【解析】【解答】(1)4ABC是 准互余三角形"，ZC>90°, /A=60°, .2/ B+/A=90 ；解得，/B=15°【分析】(1)根据 准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；(2)只要证明 CA&4CBA 可得 CA2=CE?CB由此即可解决问题；(3)如图中，将 BCD沿BC翻 折得到 4BCF只要证明FOFAC 可得 CF=FB?FA,设 FB=x) 则

18、有：x (x+7) =122 , 推出x=9或-16 (舍弃)，再利用勾股定理求出AC即可；6.如图1,在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 y = ax2+bx+5与x轴交于A,点B,与y轴交于点 C,过点C作CD>±y轴交抛物线于点 D,过点B作BEXx轴，交DC延 长线于点E,连接BD,交y轴于点F,直线BD的解析式为y= - x+2.(1)写出点E的坐标；抛物线的解析式.(2)如图2,点P在线段EB上从点E向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时，点 Q 在线段BD上从点B向点D以也 个单位长度/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一 个点随之停止运动，当 t为何

19、值时，4PQB为直角三角形？力(3)如图3,过点B的直线BG交抛物线于点 G,且tan/ABG=2 ,点M为直线BG上方 抛物线上一点，过点 M作MH ± BG,垂足为H,若HF= MF,请直接写出满足条件的点 M 的坐标.【答案】(1)解：将点D (-3, 5)点B (2, 0)代入y=ax2+bx+5b=-解得 -，抛物线解析式为:(2)解：由已知 /QBE=45, PE=t, PB=5-t,QB= Pl t当/QPB=90时， PQB为直角三角形 / QBE=45 °.QB= A PB/ t=忑(5-t)解得t= I当/ PQB=90时， PQB为直角三角形 BPQs

20、BDEbq?bd=bp?be 5 (5-t) = Et?5 V-解得：t= PQB为直角三角形（3）点 M 坐标为（-4, 3）或（0, 5）.【解析】【解答】（3）由已知tan/ABG=2,且直线GB过B点/则直线GB解析式为：y= Jx-1延长MF交直线BG于点K .HF=MF/ FMH=/ FHM. MHBG 时 / FMH+Z MKH=90 °/ FHK+Z FHM=90 °/ FKH=Z FHKHF=KF，F为MK中点设点M坐标为(x, - - x2-上x+5)-F (0, 2)x-1)，点K坐标为（-x,把K点坐标代入y= X x-1把x=0代入y=-x+5,解

21、得 y=5把x=-4代入y=- 解得y=3x+5解得 Xi=0, X2=-4,2）根据题意，4DEB为等腰直角则点M坐标为（-4, 3）或（0, 5）【分析】（1）由待定系数法求点坐标及函数关系式；（ 三角形，通过分类讨论 / PQB=90或/ QPB=90的情况求出满足条件 t值；（3）延长MF交7 .问题提出;GB于K,由/MHK=90 , HF=MF可推得HF=FK即F为MK中点，设出 M坐标，利用中点 坐标性质，表示 K点坐标，代入 GB解析式，可求得点 M坐标.6 P cQ C 3CEI1却图3（1）如图1,矩形ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点 P为BC上的

22、动点，CP= 时， APE的周长最小.（2）如图2,矩形 ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点 P、点Q为BC上的动 点，且PQ= 2,当四边形APQE的周长最小时，请确定点 P的位置（即BP的长） 问题解决；（3）如图3,某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点 P处修一 个凉亭，设计要求 PA长为100米，同时点 M, N分别是水域 AB, AC边上的动点，连接 P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形 AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形 AMPN面积的最大值是多少？【答案】（1）工（2）解：点A向右平移2个单位到 M,点E关于BC的对称点F,

23、连接MF ,交BC于Q, 此时MQ+EQ最小，N p Q ：,. PQ=3, DE= C曰2, AE= 2短,，要使四边形APQE的周长最小，只要 AP+EQ最小就行,即 AP+EQ= MQ+EQ,过 M 作 MNLBC于 N,.MN / CD .MNQs"CQcf a. .盅V 瓶2 E -KQ.NQ=4 .BP= BQ- PQ= 4+2- 2=4(3)解:如图，作点 P关于AB的对称点 G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交 AB, AC于点M, N,此时APMN的周长最小.,-.AP = AG= AH=100 米，/GAM=/PAM, Z HAN = Z PAN, / PA

24、M+Z PAN= 60 °,/ GAH= 120 ;且 AG= AH,/ AGH= ZAHG= 30 °,过点A作AOXGH, .AO=50 米，HO= GO=50米，.GH= 100 & 米，口 Sa agh= -GH X AO 2500平方米，S 四边形 ampn= Saagm+Saanh= Skagh _ SaamnSaamn的值最小时，S四边形ampn的值最大，,-.MN = GM=NH=3 时二. S 四边形 AMPN = SzAGH SaAMN = 2500 3=平方米.【解析】【解答】（1） 四边形ABCD是矩形，Z D= 90=/ABC, AB= C

25、D= 4, BC= AD= 8, .E为CD中点,.DE=CE= 2,在RtADE中，由勾股定理得： AE= 416+疵=k/出*4=2行, 即 APE的边AE的长一定，要 APE的周长最小，只要 AP+PE最小即可，延长AB到M ,使BM = AB= 4,则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P ,此时AP+EP的值最小, 四边形ABCD是矩形， .AB/ CD ,.,.ECFAMBP ,故答案为：【分析】（1）延长AB至ij M,使BM=AB,则此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出 ECFAMBP,得出比例式，代入即可求出 点E关于BC的对称点 F,连接 MF,交A和MAE长, CP长

26、；关于BC对称，连接 根据矩形性质得出（2）点A向右平移EM交BC于P, AB/ CD,推出2个单位到 M ,BC于Q,要使四边形 APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证 MNQsFCQ即可求BP的长；（3）作点P关于AB的对称点 G, 作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB, AC于点M, N,此时 PMN的周长最小.S四 边形AMPN=SAGM+SxANH=SAAGH-S AMN ,即Sa AMN的值最小时，S四边形AMPN的值最大.8.在4ABC 中，ZACB= 90°, AB= 25, BC= 15.(1)如图1,折叠ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交 AC

27、 AB分别于Q、H,若Saabc= 9S；adhq , 求 HQ 的长.(2)如图2,折叠ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交 AC、AB分别于E、F.若使得4CMP和4HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由.FM/AC,求证：四边形 AEMF是菱形;(3)在(1)(2)的条件下，线段 CQ上是否存在点P,图1在4ABC中，. /AC- 90°, AB= 25, BC= 15.AC=- 故=20,设 HQ=x ,.AQ= x ,- Saabc= 9SZx dhq ,.x=5 或-5 (舍弃)，.HQ=5,故答案为5.(2)解：如图2中,C M 3图2由翻折不变性可

28、知： AE= EM , AF=FM , . FM / AC ,/ AEF= / MFE ,/ AEF= / AFE ,.AE= AF ,.AE=AF= MF= ME ,四边形AEMF是菱形.FB= 5m ,设 AE= EM=FM = AF=4m ,则 BM=3m4m+5m= 25,15m =2G,. QG=5, AQ= 3 ,46.QC=16解得：x=10或3 ,J6经检验：x= 10或3是分式方程的解，且正确，综上所，满足条件长 QP的值为7或10或J .【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出 AC,设HQ=x,根据Saabc=9Sa dhq ,构建方程 即可解决问题；（2）想办法证明四边相

29、等即可解决问题；（ 3）设AE=EM=FM=AF=4m,则 BM=3m , FB=5m,构建方程求出 m的值，分两种情形分别求解即可解决问题 二、圆的综合9.如图，。的半径为6cm,经过。上一点C作。的切线交半径 OA的延长于点B, 作/ACO的平分线交。于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.（1）求证：AC/ OD;试题分析：（1）由OC=OD, CD平分/ACQ 易证得/ACD=/ODC,即可证得 AC/ OD;（2） BC切。于点C, DELBC,易证得平彳T四边形 ADOC是菱形，继而可证得 4AOC是等边三角形，则可得：/AOC=60。，继而求得弧 AC的长度.试题解析：（1）

30、证明：OC=OD,ZOCD=Z ODC. .CD 平分/ACQ . / OCD=/ACD, . / ACD=/ODC, . AC/ OD；(2) BC 切。于点 C,BC± OC. DE，BC, . OC/ DE. AC/ OD, .四边形 ADOC是平行四边形.OC=OD,.平行四边形 ADOC是菱形，.OC=AC=OA,4AOC是等边三 角形，ZAOC=60°, .弧 AC 的长度=9°6 =2 兀180点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公 式.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.10.四边形ABCD的对角线交于

31、点 E,且AE= EQ BE= ED,以AD为直径的半圆过点 E,圆 心为O.(1)如图，求证：四边形 ABCD为菱形;(2)如图，若BC的延长线与半圆相切于点 F,且直径AD = 6,求弧AE的长._一 ”.兀【答案】(1)见解析；(2)2【解析】试题分析：(1)先判断出四边形 ABCD是平行四边形，再判断出 AC± BD即可得出结论； (2)先判断出 AD=DC且DEL AC, / ADE=/ CDE，进而得出 / CDA=30°,最后用弧长公式 即可得出结论.试题解析：证明：(1)二.四边形ABCD的对角线交于点 E,且AE=EC, BE=ED, .四边形ABCD是平

32、行四边形.二以AD为直径的半圆过点 E,/ AED=90°,即有AC BD, 四边形ABCD是菱形；(2)由(1)知，四边形 ABCD是菱形， 4ADC为等腰三角形，AD=DC且DEL AC, /ADE=/CDE如图2,过点C作CG,AD,垂足为G,连接FO. 丁 BF切圆。于点F,1.OFXAD,且 OF -AD 3 ,易知，四边形 CGOF为矩形，CG=OF=3. 2在 RtCDG中，CD=AD=6, sinZADC=CG- =1 ,，/CDA=30°,，/ADE=15°.CD 2 o303连接 OE,贝U/ AOE=2X/ ADE=30, . Ae303一1

33、802 ,FCE字点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性 质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.11.已知：如图，在矩形 ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的。与AD, BD分别交于点E、点F,且/ABE=/ DBC.(1)判断直线BE与。的位置关系，并证明你的结论；(2)若 sin/ABE=Y3, CD=2,求。的半径.【答案】(1)直线BE与。相切，证明见解析；(2)。的半径为J：.【解析】分析：(1)连接OE,根据矩形的性质，可证 /BEO=90。，即可得出直线 BE与。相切;(2)连接EF,先根据已知条件得出 BD的值，再在BEO中

34、，利用勾股定理推知 BE的 长，设出。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解：(1)直线BE与。相切.理由如下：连接 OE,在矢巨形 ABCD 中，AD/BC, . . / ADB=/DBC. OD=OE,Z OED=Z ODE.又/ ABE=/DBC,Z ABE=Z OED, 矩形 ABDC, / A=90 °,Z ABE+ / AEB=90 °, . / OED+/AEB=90 ； /BEO=90； .直线 BE 与。O 相切；(2)连接EF,方法1：.四边形 ABCD是矩形，CD=2,Z A=ZC=90 °, AB=CD=2.

35、 ZABE=ZDBC, . .sinZ CBD=sin ABEBD -DC 273, sin CBD在 RtA AEB 中， CD=2BC272. tan / CBD=tanZABE,DCBCAEAB22,2AEAE金,由勾股定理求得BE J6 .在 RtBEO中，/BEO=90°, EC2+eB?=OB2.设。的半径为 r,则 r2 (76)2 (2</3 r)2, -r=,2方法 2: DF是。的直径，./DEF=90°.AB=CD=2.四边形 ABCD是矩形，/ A=/ C=90 °, ZABE=ZDBC. .sin/CBD=sin ABE设 DC x

36、, BDpx,则BC. . CD=2, BC2V2. tan / CBD=tanZABE,DCAEBCABAE，AE J2 ,2E为AD中点. DF 为直径，Z FED=90EF/ AB,DF1bd J3,，。的半径为当£B点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的 综合性，有一定的难度.12.如图，。是ABC的内心，BO的延长线和4ABC的外接圆相交于 D,连结DC DA、OA、(1)(2)C【答案】（1）证明见解析；（2）OC,四边形OADC为平行四边形.求证：BOCCDA.若AB=2,求阴影部分的面积.43、,39分析：（1）根据内心性质得

37、/1 = /2, /3=/4,则AD=CD,于是可判断四边形 OADC为菱形，则BD垂直平分 AC, Z4=Z5=Z6,易得 OA=OG /2=/3,所以OB=OC,可判断点 O 为4ABC的外心，则可判断 ABC为等边三角形，所以 Z AOB=Z BOC=Z AOC=12 0,BC=AC再根据平行四边形的性质得 ZADC=Z AOC=120°, AD=OQ CD=OA=OR则根据“SA院明BOXACDA；(2)作OHU AB于H,如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 / BOH=30 ；根据垂径定理得到 BH=AH=1AB=1,再利用含30度的直角三角形三边的关系2得到

38、OH=3bH=3, OB=2OH=2_J,然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用 333S阴影部分S扇形 AOB-Skx AOB进行计算即可.详解：(1)证明：:。是4ABC的内心，/2=/3, /5=/6, / 1 = 7 2,/ 1 = 73,由 AD/ CO,AD=CO,/ 4=7 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=AQ/3=/4=/6,/ ABC=Z ACB .AB=AC .ABC是等边三角形 .O是4ABC的内心也是外心.OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC在 RtOCE中，CE=1AC=-AB=1 Z OCE=3O° 22

39、OA=OB=OC= / AOC=120 ,°“ 影=$扇 AOB SVAOB1202,3o 1 -3=()- 2 36032343,39点睛：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，： 角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心 就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计 算.13.如图，OB是以（O, a）为圆心，a为半径的OOi的弦，过B点作。Oi的切线，P为劣MOB上的任一点，且过 P作OB、A® OA的垂线，垂足分别是 D、E、F.(1)求证：PD2=PE?P（2

40、）当/BOP=30, P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S/XDEF.【答案】（1）详见解析；（2） D （-旦a, -a） , E （- 至 a, -a） , F （-立a,444420）, P （理 a,亘）；* de尸点 a?.2216【解析】试题分析：（1）连接PB, OP,利用AB切。O1于B求证PBa4POD,得PBOPPE,同理,PDPB OPFA BPD),得出 OPPD，然后利用等量代换即可.PF（2）连接O1B, O1P,得出O1BP和OHO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E F、P四个点的坐标.再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面

41、积.试题解析：（1）证明：连接PB, OP, -. PE± AB, PD)± OB,/ BEP=/ PDO=90 ；. AB 切。O1 于 B, /ABP=/ BOP,.,.PBEAPOD),PB PE丽=丽同理，AOPFABPDPBJDOP=PF7,也叩PD=PF5pd2=pe?p(2)连接 OiB, OiP,. AB 切。0i 于 B, Z POB=30 ,Z ABP=30 ； Z OiBP=90 -30 =60 ,OiB=OiP, .Ch BP为等边三角形，.OiB=BP, P为弧BO的中点，BP=OP,即OlPO为等边三角形，. op=op=a Z OiOP=60

42、,又P为弧BO的中点，. .OiP±OB,在OiDO 中，J /=OiOP=60 OiO=a,OiD=-a, OD=._-a,过 D作 DMLOQ 于 M, ,.DM=驷呼a,OM=V3DM=-ya, D ( Z OiOF=90 ,Z POF=30 ;ZOiOP=60°v PE± OA,.-.PF=r-OP=r-a,。考a,a亘)a,2)c、 亍 a, °),. AB 切。Oi 于 B, Z POB=30 ,L ABP=Z BOP=30 ；. PEXAB, PB=aZ EPB=60 °1 PE-a,.P为弧BO的中点,BP=PO,Z PBO=Z

43、 BOP=30 ,Z BPO=120 /Z BPE吆 BPO=120 +60 =180 ,即OPE三点共线,-OE= a+aa,过E作EMx轴于M, .AO切。O1于O,E (一a,a,DE边上的高为:a,Sa de3/316a2.故答案为：D （-a) , F (一a, 0) , P (-a,I ； Sxdef=3叵a2. ： 1&B514.如图1,四边形ABCD为。内接四边形，连接 AC、CQ BO,点C为弧BD的中点.（1）求证：/ DAC=Z ACO+Z ABO;（2）如图2,点E在OC上，连接 EB,延长 CO交AB于点F,若/ DAB=/ OBA+Z EBA 求 证：EF=

44、EB（3）在（2）的条件下，如图 3,若OE+EB=AB CE=Z AB=13,求AD的长.CCB【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析;(3) AD=7.【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OA,只要证明/CAB=/ 1 + /2=/ACO+/ABO,由点C是?D 中点，推出 Cd Cb，推出 / BAC=/ DAC,即可推出 /DAC=/ ACO+/ ABO;(2)想办法证明/ EFB± EBF即可；(3)如图3中，过点O作OHU AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于 G,作BNXCF 于N,作Ch AD于K,连接OA/CTZ XABTT.首先证明4EFB是等边三角形，

45、再证明 AC右 ACT, RtA DK(BTC,延长即可解决问题;试题解析：(1)如图1中，连接OA,-. OA=OC,Z1 = Z ACO,. OA=OB, .1. Z2=Z ABO, uuur _ _ujin丁点C是bd中点，CD/ CAB=Z 1+/ 2=/ ACO+Z ABO,uuuCB ， 1 / BAC=Z DAC,Z DAC=Z ACO+Z ABO部(2)如图2中, / BAD=Z BAC+Z DAC=2/ CAB, / COB=2/ BAC,/ BAD=Z BOC, / DAB=Z OBA+Z EBA,. / BOC=Z OBA+Z EBA,/ EFB=Z EBF,EF=EB图

46、2(3)如图3中，过点O作OH, AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于 G,作BNXCF 于 N,作 CKLAD 于 K,连接 OA. CC CTZ LAB 于 T.£ ? / EBA+Z G=90 : / CFB+Z HOF=90 ； / EFB=Z EBF,/ G=Z HOF, / HOF=Z EOG,/ G=Z EOGEG=EQ .OHXAB,AB=2HB, . OE+EB=AB . .GE+EB=2HB . . GB=2HB,HB 1 cosZ GBA= -,，/GBA=60 ,GB 2 .EFB是等边三角形，设 HF=a, / FOH=30 ,° OF=2FH

47、=2a . AB=13,EF=EB=FB=FH+BH=a+3 ,2 .OE=EF- OF=FB- OF=13 - a,2OB=OC=OE+EC身-a+2=- -a,1 13NE= EF= a+ - .ON=OE=EN=( 13 - a) 2. BO2 - on2=eb2- en2,1a+13) =133a2442,(2a+2,解得a=3或-10 (舍弃)，2.OE=5, EB=8, OB=7, . /K=/ ATC=90 , ° Z KAC=Z TAG AC=AQAACKAACT, . CK=CT AK=AT,uur uuu.CD CB，,DC=BCRtA DKG RtA BTC； . . DK=BT,. FT=1FC=5,DK=TB=FB- FT=3, . AK=AT=AB- TB=10, . AD=AK- DK=10- 3=7.215.如图1,已知。是AADB勺外接圆，/ADB的平分线 DC交AB于点M,交。O于点C,连接 AC, BC.(1)求证：AC=BQ(2)如图