2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版)(1)

1、高三理科数学模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题 5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1 .已知集合 A=2, 2a, B = a, b,若 AA B=12,则 AU B=()A. -1, 12, 2 B . -1, 12, b C. -1, 12, 2, b D. 2, 122 .若复数z=a+i2i (a C R)J对应点在直线 y=x上，则a=()A . -12B . 12C. - 1D. 13 .设等比数列an的前6项和S6=6,且1-a22为a1，a3的等差中项，则 a7+a8+a9=()A . - 2B . 8C. 10D. 144 . 2021年

2、广东新高考将实行 3+1+2模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率()C. 18D. 165 .椭圆C: x2a2+y2b2= 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 Fi, F2,左右顶点分别为 A, B,且|AB|=4, |AF2| = 2+3,点 PC C, |PFiF2|=2,则4 PF1F2 的面积为()A . 13B . 12C. 1D. 26 .点P是 ABC所在平面上一点，若 AP = 23 ABf + 13AC,则 ABP与 ACP的面

3、积之比是()A. 3B . 2C. 13D. 127 .函数f (x) = Asin (亦+力(其中A>0, w>0, |(K兀2)的部分图象如图所示，将函数 f (x)的图象 向左平移 兀6个单位长度，得到 y=g (x)的图象，则下列说法不正确的是()A .函数g (x)为奇函数8 .函数g (x)的最大值为3C.函数g (x)的最小正周期为兀D.函数g (x)在(0,兀今上单调递增8 .设函数f(x)=ln|x|-1x2+1,则不等式f (x) >f (2x-1)的解集为()A . (13 , 1)B. (13 , 12) U(12, 1)C. (0 , 12)9 .点

4、D是直角 ABC斜边AB上一动点，AC=3, BC=4,将直角 ABC沿着CD翻折，使 B'DC与 ADC 构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是()A . 21B. 13C. 22D. 710 .设P为双曲线C: x2a2-y2b2=1(a >0, b>0)上且在一象限内的点，Fi, F2分别是双曲的左、右焦点，PF2，FiF2, x轴上有一点 A且APPFi, E是AP的中点，线段EFi与PF2交于点 M.若PMH =2MF2f , 则双曲线的离心率是()A. 1+2B. 2+2C. 3+2D. 4+211 .已知函数f(x)=x2+4x , x<0, e

5、xx, x>0, g(x)=f(x)-ax ,若g(x)有4个零点，则a的取值范围为 ()A . (e24 , 4)B. (e4 , 4)C, (e4 , +00)D. (e24 , +00)12 .已知数列an满足：a1 = 2,an+1Sn+(Sn-1)2=0 (nCN*),其中Sn为an的前n项和.若对任意的n均有(S1+1) (S2+1)(Sn+1)法n恒成立，则k的最大整数值为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13 . (x3-1)(x+2x)6 的展开式中的常数项为 .(用数字作答)1

6、4 .随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻亮一次红灯与亮一次绿灯的时间之和为90秒，其中亮红灯的时间不超过 60秒，亮绿灯的时间不超过 50秒，则亮绿灯的时间不 小于亮红灯的时间的概率为 .15 .在三棱锥 A- BCD 中，Z ABC = Z ABD=60 °, BC=BD=22 , CD = 4, AB=2 ,则三棱锥 A - BCD 的外接 球的表面积为.16 .已知平面四边形 ABCD 中，/ABC=2tt3, AC=219 , 2AB=3BC, AD = 2BD, BCD 的面积为 23,则 CD =.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程

7、或演算步骤.17 .已知数列an的前n和为Sn,且满足2Sn=3an- 1(n £ N*).(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=log3an+2an , Tn为数列bn的前n项和，求Tn的最小值.18 .如图，四面体 ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形，/ ABD = Z CBD , AB=BD.(1)证明：平面 ACDL平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.19.在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心在坐标原点 O,其右焦点为F (1, 0),且点(1, 32)在椭圆C上

8、.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆的左、右顶点分别为 A、B, M是椭圆上异于 A, B的任意一点，直线 MF交椭圆C于另点N,直线 MB交直线x= 4于Q点，求证：A, N, Q三点在同一条直线上.20.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的 7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度x/C21 23 25 27 29 3235平均产卵数y/个 711 2124 66 115 325xyzi=1n (xi-x)(zi-z)i=1n (xi-x)227.429 81.286 3.612 40.182147.7

9、14表中 zi=lny , z=177 zi(1)根据散点图判断，y=a+bx与 y=ce"(其中e= 2.718为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均 产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并由判断结果及表中数据， 求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28c以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28C以上的概率为 p (0< p<1).(i)记该地今后5年中，恰好需要 3次人工防治的概率为 f (p),求f (p)的最大值，并求出

10、相应的概率Po.(ii)当f (p)取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为 X,求X的数学期望和方差. 附:对于一组数据(xi, zi),(X2, Z2),(x7, zz),其回归直线z= a+bx想斜率和截距的最小二乘法估计分别为：b=i=17 (xi-x)(zi-z)i=17 (xi-x)2, ? a.? z-bx.1521.已知函数 f(x)=1x-x+2alnx(1)讨论f (x)的单调性;xi, x2 (xivx2)恰为函数g (x)的两个零点,(2)设g (x) = Inx - bx- cx2,若函数f (x)的两个极值点且y=(x1-x2)g'(x1+x22)

11、的范围是ln2-23 , +8),求实数a的取值范围.请考生在第22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号22.以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p2cos2 0=a2 (aCR, a为常数)，过点P (2, 1)、倾斜角为30°的直线l的参数方程满足x=2+32t , (t为参数).(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间)，且|PA|?PB|=2,求a和|PA| - |PB|的值.23.设函数 f (x) = |x- 1|, g (x) = 2|

12、x+a|.(I)当a=1时，求不等式f (x) - g (x) >1的解集；(II)若关于x的不等式2f (x) +g (x) < (a+1) 2有解，求a的取值范围.答案：一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1. .集合 A=2, 2a, B = a, b, An B=12, .2a=12b=12 ,解得 a= - 1, b=12 , .A=2 , 12, B = - 1, 12. .AU B = - 1, 12, 2.故选：A.2.z=a+i2i=(a+i)(-i)-2i2=12-a2i .z在复平面内对应点的坐

13、标为(12, -a2),由题意，12=-a2 ,则 3 = 1.故选：C.3 .1-a22为ai, a3的等差中项， 1- 2 (1 -a22) = ai+a3,设等比数列an的公比为q,则qwi. 2 (1 -a1 q2) = a+a1q2 ,又前 6 项和 Se=6,a1(q6-1)q-1= 6,联立解得：q3=2.ai= 2 (q - 1). a7+a8+a9=a1q6 (1+q+q2) = 2 (q- 1) q6 (1+q+q2) = 2q6 (q3- 1) = 2X22 (2- 1) = 8.故选：B.4 .今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总

14、数n=C42= 6,他们选课相同包含的基本事件m= 1,，他们选课相同的概率 p=mn=16 .故选：D.5 .椭圆C: x2a2+y2b2= 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 Fi, F2,左右顶点分别为 A, B,且|AB|=4, |AF2|=2+3 ,可得 a=2, c=3 ,则 b=1,所以，|PFi|PF2|= 2, |PFi|+|PF2|= 4,不妨解得：|PFi |=2+2 , |PF2|=2-2, |FiF2|=23, (23) 2= (2+2 ) 2+ (2-2) 2 - 2 (2+2 ) (2-2) cosZ F1pf2,Z FiPF2=90 ,所以 PFF

15、2 的面积为：12|PFi|PF2|=1.故选：c.6 .点P是 ABC所在平面上一点，过 P作PE / AC, PF / AB,由 A23A-+ 13 Ag =A9+A曰 ,故 AE: EB=2: 1 = PC: PB,所以 ABP与 ACP的面积之比为 BP: PC= 1 : 2,7 .根据函数f (x) = Asin (cox+e)(其中A>0, w>0)的部分图象，可得 A=3, 34?2 兀=5兀 12 (-Tt 3),3=2.再根据五点法作图可得2?5兀12+行兀2,()=-兀3, f (x) = 3sin (2x-兀3).将函数f (x)的图象向左平移兀6个单位长度，

16、得到 y=g (x) = 3sin2x的图象,故g (x)为奇函数，故 A正确；显然，函数g (x)的最大值为3,故B正确；显然，函数g (x)的最小正周期为 2兀2= TT,故C正确；在(0,兀)上，2xC (0, 2兀3), g (x)没有单调性，故选：D.8 . f (x)的定义域为xxw01f ( - x) =f (x),，f (x)为偶函数，当 x>0 时，f (x) = lnx-1x2+1 单调递增，由 f (x) >f (2x- 1),可得 xw02x-1w0|x| >|2x-1| ,解得 13 vxv 1 且 xw12 ,故选：B.9 .过点 B 作 B

17、9;ECD 于点 E,连接 BE,AE,设 / BCD = /B'CD= ",则有 B'E=4sin a CE=4cos a, / ACE=tt 2-a, 在AEC 中，由余弦定理得，AE2=AC2+CE2- 2AC?CE?cos(t 2-a )=9+16cos2 a- 24cos a sin a在 RtAAEB ,由勾股定理得，AB2= AE2+BE2=9+16cos2a- 24cos a sin a +16sn25-12sin2 a.当”二兀4时，AB取得最小值13.故选：B.10 .由双曲线方程可得：F1 (- c, 0), F2 (c, 0),由题意可得 P

18、(c, b2a),由 PM/h =2MF2> 可得 M 坐标(c, b23a),设 A (m, 0),由 APXPFi 可得 P ?F1P一 =0,即(m- c, -b2a) ? (2c, b2a) = 0,可得 2c (m-c) =b4a2 ,所以 m=b42ca2+ c=b4+2c2a22ca2 ,即 A (b4+2c2a22ca2 , 0),所以 c+b4+2c2a22ca2=b4+4c2a22ca2所以 AP 的中点 E (b4+4a2c24ca2 , b22a ),再由 Fi, M, E 三点共线可得 kF1M=kF1E,即 b23a2c=b22ab4+4a2c24ca2+c,

19、整理可得：a4+c4- 6a2c2= 0,即 e4-6e2+i = 0, e2>1,可得 e2= 3+22 ,所以 e=1+2,11因为g (x) = f (x) - ax有4个零点，即函数 y=f (x)与y= ax有4个交点;当 x>0 时，f' (x) Yx-1)exx2 ,所以：xC (0, 1)时，f' (x) V 0, f (x)单调递减;xC (1, +8)时，f，(x) >0, f (x)单调递增，画出f (x)的图象如图所示：求出f (x)的过原点的切线，xwo时，f (x)在x=0处的切线11的斜率为：k1= ( x2+4x) 'x

20、=0一 (2x+4) |x=04,x>0时，设f (x)的过原点的切线l2的切点为：P (xo, ex0x0) (xow。，切线l2的斜率为k2,(exx) =(x-1)exx2 ,故：k2=(x0-1)ex0xO2 ,且 k2=ex0x0x0 ;解得：xo = 2, k2=e24 ;由图可知y= f (x)与y= ax有4个交点，则k2avk1；所以：e24vav4.(说明：显然x=0是g (x)的零点，故也可转化为f(x)x= a有3个零点，即y=f(x)x与y= a有3个交点，也可以画图得出答案)故选：A12.当 n>W,由条件 an+iSn+ (Sn1) 2=0 (nCN*

21、),可得 Sn+1-Sn=-(Sn-1)2Sn ，整理得 Sn+1Sn-Sn2=-(Sn2-2Sn+1)，化简彳导:SnSn+1 = 2Sn - 1 ,从而 Sn+1-1=-Sn-1Sn ，故 1Sn+1-1-1Sn-1=1 ，由于： 1S1-1=1 ，所以：数列 1Sn-1 是以 1S1-1=1 为首项， 1 为公差的等差数列，则： 1Sn-1=n ，整理得： Sn=n+1n ，依题只须 kw(S1+1)(S2+1)?(Sn+1)n )min ,f(n)= (S1+1)(S2+1)?(Sn+1)n，则 f(n+1)f(n尸n(Sn+1+1)n+1=n(2n+3)(n+1)2>1,故 f

22、(n)nin=f(1)=S1+11=3， " kmax= 3 ,故选： B二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13 (x+2x)6 的展开式中的通项公式：Tk+1=?6k(x)6 -k(2x)k= 2k?6kx3-3k2 令 3-3k2=- 3，或0，解得k= 4,或2.(x3-1)(x+2x)6的展开式中的常数项 =24?64 -22?62= 180.故答案为： 18014 .设亮绿灯的时间为t秒，则tW50则亮红灯的时间为 90-t秒，则 90- t<60所以30GW50则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间，即 t&g

23、t;90- t,即 t>45由几何概型中的线段型可得：则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为P=50-4550-30=14 ,故答案为：14.15 .由条件得 AD=BA2+BD2- 2BA?BD?cos Z ABD=(2)2+(22)2 -2 X 2 X 22?cos60 ° =6 AC=BA2+BC2- 2BA?BC?cos / ABC=(2)2+(22)2-2 X 2X 22?cos60 °, =6 所以 AC2+AB2=BC2, AD2+AB2=BD2,故 ABAD, ABAC 为直角三角形.所以三棱锥 A-BCD的外接球的球心在过 ACD的外心E垂线上设为

24、点 O.因为 cosZ CAD=AC2+AD2- CD22AC?AD=(6)2+(6)2-422 X6X6=-13所以 sin / CAD=1-cos2 / CAD=1-(-13)2=223 .故AACD 外接圆的半径 r=AE=12 ?CDsin/CAR12X 4223=322 .则外接球的半径 R2=OA2=OE2+AE2=(12AB)2+AE2=(22)2+(322)2=5.故外接球的表面积为4 kR= 4 7tx学20 7t.故答案为：20兀16 .在 4ABC 中，由余弦定理，可得 AC2= BC2+AB2- 2BC?AB?cosZ ABC=4X19,又 2AB=3BC, /ABC=

25、2t3AB=6, BC = 4,设/ DBC= 0, 0 V 0< 2兀3, BD=x,则 AD=2x,又 Sabcd=12 BD?BCsin0 =23,.sin 9 3x;在 ABD 中，由余弦定理，可得 AD2=BD2+AB2- 2BD?AB?cos(2t 3-。)整理得 x2 6 2xcos 9= 0,即 cos 0 =x2-62x ,由 sin2。+ccis0= 1,即(x2-62x)2+(3x)2=1,解得 x4 - 16x2+48 = 0,解得x2=12或4,又 0<。<2兀3, cos 0> -12,所以 x2= 12, x=23 .由余弦定理可得， CD

26、=BC2+BD2- 2BC?BCsin0 =16+12 -2 X4X23X32=2.故答案为：2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (1) 2Sn=3an- 1(n N*) n A 2时，2dn= 2 ( Sn - Sn- 1) = 3an - 1 - ( 3an- 1 - 1),化为：an= 3an- 1,n = 1 时，2a1 = 3a1 一 1,解得 ai = 1.，数列an是等比数列，首项为1,公比为3,an=3n-1 .(2) an+2= 3n+1, - bn=log3an+2an=n+13n-1 ,，数歹U bn的前 n 项和 Tn =2+33+432 +?

27、+n+13n-1 .13Tn=23+332 +?+n3n-1+n+13n ,.-.23Tn= 2+13+132 +?+13n-1-n+13n= 1+1-13n1-13-n+13n,化为：Tn=154-2n+54 X 3n-1 .Tn的最小值是Ti=2.18. (1)证明：如图所示，取 AC的中点0,连接BO, 0D.ABC是等边三角形，0BXAC. ABD 与aCBD 中，AB= BD=BC, Z ABD = Z CBD ,ABDA CBD, AD=CD. ACD是直角三角形，二.AC 是斜边，./ ADC = 90°.DO=12 AC.DO2+BO2=AB2=BD2./ BOD =

28、 90°.OBXOD.又 DOnAC=O,OB,平面 ACD.又OB?平面ABC,平面 ACD，平面 ABC.(2)解：设点 D, B到平面ACE的距离分别为 hD, hE,贝U hDhE=DEBE .平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，13SAACE?hD13SACE?hE=hDhE=DEBE= 1 .点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取AB= 2.则 O (0, 0,0) , A (1, 0, 0), 0(-1, 0, 0), D (0, 0, 1), B (0, 3, 0), E(0, 32, 12).AA= ( 10, 1), AE一 二(-1,

29、 32, 12) , ACf= (2, 0, 0).设平面ADE的法向量为 m-= (x, y, z),贝U?AA =0m?AA=0 ,即-x+z=0-x+32y+12z=03).同理可得：平面 ACE的法向量为n-= (0, 1,-3).1. cos<, n->=m?n-|m- 11n 一 =-2321 x 2=-77 .二面角D - AE - C的余弦值为77 .19. (1)不妨设椭圆的方程为 x2a2+y2b2= 1, a>b>0,由题意可得 c=1a2=b2+c21a2+94b2=1,解得 牙=4, b2=3,故椭圆的方程 x24+y23= 1,证明：(2)设

30、 M (x1，y1)，N (x2, y2),直线 MN 的方程为 x= my+1,由方程组x=my+1x24+y23=1,消去x 整理得(3m2+4) y2+6my- 9 = 01-'= 36m2+36 (3m2+4) > 0y+y2=-6m3m2+4 , y1y2=-93m2+4直线BM的方程可表示为 y=y1x1-2将此方程与直线x=4成立，可求得点Q 的坐标为(4, 2y1x1-2 ),，AN= (x2+2, y2), ACH= (6, 2y1x1-2),6y2- ( x2+2) 2y1x1-2=6y2(x1-2)-2y1(x2+2)x1-2=6y2(my1+1)-2卜2y

31、1(my2+1)+2(my1+1)-20,=4my1y2-6(y1+y2)my1-1=4m(-93m2+4)-6(-6m3m2+4)my1-1 =，AN /AS ,向量AN和A8 有公共点 A,.A, N, Q三点在同一条直线上.20. (1)根据散点图可以判断,y= cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型;对y= cedx两边取自然对数，得lny=lnc+dx;令 z= lny, a=lnc, b=d, 得 z= a+bx;因为 b=i=17 (xi-x)(zi-z)i=17 (xi-x)2=40.182147.7140.272,a=z-bx= 3.612- 0.272

32、X 27.429 3.849;所以z关于x的回归方程为z=0.272x- 3.849;所以y关于x的回归方程为y= e0.272x 49；(2) (i)由 f (p) =C53?p3? (1 p) 2,得 f' (p) =C53 小2 ( 1 p) (35p),因为 0v p<1,令 f' (p) >0,得 3- 5p>0,解得 0vpv35;所以f (p)在(0, 35)上单调递增，在(35, 1)上单调递减，所以f (p)有唯一的极大值为f (35),也是最大值；所以当 p=35 时，f(p) max=f(35) =216625 ;(ii)由(i)知，当f

33、 (p)取最大值时，p=35 ,所以XB (5, 35),所以X的数学期望为 E (X) = 5X35=3,方差为 D (X) = 5X 35X25=65.21. (1) f (x)的定义域为(0, +°°), f(x)=-1x2-1+2ax=-x2-2ax+1x2.(i)若 aw,则 f，(x) wq 当且仅当 a=1, x= 1 时，f' (x) =0,(ii)若 a>1,令 f' (x) =0得 x1=a-a2-1 , x2=a+a2-1 .当 xC(0, a-a2-1) U(a+a2-1 , +8)时，f' (x) v 0;当 xC (

34、aa2-1 , a+a2-1)时，f' (x) >0,所以，当awi时，f (x)单调递减区间为(0, +8),无单调递增区间；当a>1时，f (x)单调递减区间为(0, a-a2-1 ), (a+a2-1 , +8)；单调递增区间为(a-a2-1 , a+a2-1 ).(2)由(1)知：a> 1 且 x+x2 = 2a, xix2= 1.又 g' ( x) =1x-b-2cx ,1. g'(x1+x22)=2x1+x2- b - c (xi+X2),由 g( x1 ) = g ( X2)= 0 得lnx1x2=b(x1-x2)+c(x12-x22)y=(x1-x2)g'(x1+x22)=2(x1-x2)x1+x2-b(x1-x2)-c(x12-x22)=2(x1-x2)x1+x2-lnx1x2=2(x1x2-1)x1x2+1-lnx1x2 令 x1x2=t e (0, 1),，y=2(t-1)t+1-lnt, .y'=-(t-1)2t(t+1)2<0,所以y在(0, 1)上单调递减.由y的取值范围是ln2-23, +川，得t的取值范围是(0, 12,x1+x2=2a,(2a) 2= (x1+x2) 2= x12+2x1x2