二次函数与一元二次方程

1、第第15讲讲 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程第第15讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系 不相等不相等 相等相等 没有没有 第第15讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象特征与的图象特征与a、b、c及判别式及判别式b24ac的符号之间的关系的符号之间的关系第第15讲讲 考点聚焦考点聚焦第第15讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点3 3 二次函数图象的平移二次函数图象的平移 将抛物线将抛物线yax2bxc(a0)用配方法化成用配方法化成ya(xh)2k(a0)的形式，而任

2、意抛物线的形式，而任意抛物线ya(xh)2k均可均可由抛物线由抛物线yax2平移得到，具体平移方法如图平移得到，具体平移方法如图151：图图151 第第15讲讲 考点聚焦考点聚焦注意注意 确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移式，利用顶点的平移来研究图象的平移 第第15讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一二次函数与一元二次方程类型之一二次函数与一元二次方程 命题角度：命题角度：1二次函数与一元二次方程之间的关系；二次函数与一元二次方程之间的关系；2图象法解一元二次方程；图象法解一元二次方程；3二次函数与不等式二次函

3、数与不等式(组组) 例例1 1 抛物线抛物线y yx x2 24 4x xm m与与x x轴的一个交点的坐标为轴的一个交点的坐标为(1(1，0)0)，则此抛物线与，则此抛物线与x x轴的另一个交点的坐标是轴的另一个交点的坐标是_ (3，0) 解析解析 把把(1，0)代入代入yx24xm中，得中，得m3，所以原方程为所以原方程为yx24x3，令令y0，解方程，解方程x24x30，得，得x11，x23，抛物线与抛物线与x轴的另一个交点的坐标是轴的另一个交点的坐标是(3，0) 类型之类型之二二次函数的图象的平移二二次函数的图象的平移 命题角度：命题角度：1. 1. 二次函数的图象的平移规律；二次函数

4、的图象的平移规律；2. 2. 利用平移求二次函数的图象的关系式利用平移求二次函数的图象的关系式第第15讲讲 归类示例归类示例例例2 2 2013扬州扬州将抛物线将抛物线yx21先向左平移先向左平移2个单个单位，再向下平移位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式个单位，那么所得抛物线的函数关系式是是()Ay(x2)22 By(x2)22Cy(x2)22 Dy(x2)22B 解析解析 抛物线抛物线yx21的顶点为的顶点为(0，1)，将点，将点(0，1)先向先向左平移左平移2个单位，再向下平移个单位，再向下平移3个单位所得到的点的坐标个单位所得到的点的坐标为为(2，2)，所以平移后抛物线的

5、关系式为，所以平移后抛物线的关系式为y(x2)22.故选故选B.第第15讲讲 归类示例归类示例 1 1采用由采用由“点点”带带“形形”的方法图形在平移时，图的方法图形在平移时，图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决2 2平移的变化规律可为：平移的变化规律可为：(1)(1)上、下平移：当抛物线上、下平移：当抛物线y ya a( (x xh h) )2 2k k向上平移向上平移m m( (m m0)0)个单位后，所得的抛物线的关系式为个单位后，所得

6、的抛物线的关系式为y ya a( (x xh h) )2 2k km m；当抛物线；当抛物线y ya a( (x xh h) )2 2k k向下平移向下平移m m( (m m0)0)个单位后，个单位后，所得的抛物线的关系式为所得的抛物线的关系式为y ya a( (x xh h) )2 2k km m. .(2)(2)左、右平移：当抛物线左、右平移：当抛物线y ya a( (x xh h) )2 2k k向左平移向左平移n n( (n n0)0)个单位后，所得的抛物线的关系式为个单位后，所得的抛物线的关系式为y ya a( (x xh hn n) )2 2k k；当抛物线；当抛物线y ya a(

7、 (x xh h) )2 2k k向右平移向右平移n n( (n n0)0)个单位个单位后，所得的抛物线的关系式为后，所得的抛物线的关系式为y ya a( (x xh hn n) )2 2k k. .第第15讲讲 归类示例归类示例例例3 3 2012广安广安如图如图152，把抛物线，把抛物线y0.5x2平移得到平移得到抛物线抛物线m. 抛物线抛物线m经过点经过点A(6,0)和原点和原点(0,0)，它的顶点为，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线，它的对称轴与抛物线y0.5x2交于点交于点Q，则图中阴影部分，则图中阴影部分的面积为的面积为_图图15152 2 第第15讲讲 归类示例归类示例第第15讲

8、讲 归类示例归类示例变式题变式题 2013绵阳改编绵阳改编已知抛物线：已知抛物线：yx22xm1与与x轴只有一个交点，且与轴只有一个交点，且与y轴交于轴交于A点，如图点，如图153，设它，设它的顶点为的顶点为B.(1)求求m的值；的值；(2)过过A作作x轴的平行线，交抛物线于点轴的平行线，交抛物线于点C，求证：，求证：ABC是是等腰直角三角形；等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线个单位后，得到抛物线C，且，且与与x轴的左半轴交于轴的左半轴交于E点，与点，与y轴交于轴交于F点，求抛物线点，求抛物线C的关的关系式和直线系式和直线EF的关系式的关系式图图1

9、5153 3 第第15讲讲 归类示例归类示例解：解：(1)(1)抛物线与抛物线与x x轴只有一个交点，说明轴只有一个交点，说明0，m2.(2)证明：证明：抛物线的关系式是抛物线的关系式是yx22x1，A(0，1)，B(1，0)，AOB是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形，又ACOB，BACOBA45，A，C是关于对称轴是关于对称轴x1的对称点，的对称点，ABBC，ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形 类型之三二次函数的图象特征与类型之三二次函数的图象特征与a a，b b，c c之间的关系之间的关系 例例4 4 2012重庆重庆 已知二次函数已知二次函数yax2bxc(a0)的图的图象如图象如

10、图154所示，所示， 对称轴对称轴x .下列结论中，正确的下列结论中，正确的是是()Aabc0 Bab0C2bc0 D4ac2b第第15讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点情况与与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系；的关系；2. 图象上的特殊点与图象上的特殊点与a，b，c的关系的关系 图图154D 第第15讲讲 归类示例归类示例第第15讲讲 归类示例归类示例 二次函数的图象特征主要从开口方向、与二次函数的图象特征主要从开口方向、与x x轴有轴有无交点，与无交点，与y y轴的交点及对

11、称轴的位置，确定轴的交点及对称轴的位置，确定a a，b b，c c及及b b2 24 4acac的符号，有时也可把的符号，有时也可把x x的值代入，根据图象的值代入，根据图象确定确定y y的符号的符号 类型之四二次函数的图象与性质的综合运用类型之四二次函数的图象与性质的综合运用例例5 5 2013连云港连云港 如图如图155，抛物线，抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，点，点D为为抛物线的顶点，点抛物线的顶点，点E在抛物线上，点在抛物线上，点F在在x轴上，四边轴上，四边形形OCEF为矩形，且为矩形，且OF2，EF3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式

12、；求该抛物线所对应的函数关系式；第第15讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：二次函数的图象与性质的综合运用二次函数的图象与性质的综合运用(2)求求ABD的面积；的面积；(3)将三角形将三角形AOC绕点绕点C逆时针旋转逆时针旋转90，点，点A对应点为点对应点为点G，问点问点G是否在该抛物线上？请说明理由是否在该抛物线上？请说明理由第第15讲讲 归类示例归类示例图图155 第第15讲讲 归类示例归类示例解析解析 (1)在矩形在矩形OCEF中，已知中，已知OF、EF的长，的长，先表示出先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的关系式函数的关系式(2)根

13、据根据(1)的函数关系式求出的函数关系式求出A、B、D三点的坐标三点的坐标，以，以AB为底、为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出点纵坐标的绝对值为高，可求出ABD的面积的面积(3)首先根据旋转条件求出首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断即可即可第第15讲讲 归类示例归类示例第第15讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键性质解决问题的关键 (2) (2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程定系数法直接列方程( (组组) )求二次函数的解析式求二次函数的解析式 (3) (3)已知二次函数图象上的点已知二次函数图象上的点( (除顶点外除顶点外) )和对称轴和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标第第16讲讲 回归教材回归教材解：解：(1)设上涨后，每件单价为设上涨后，每件单价为x元，则元，则y(x