《九章算术》与高考数学

1、ZHUAN TI SHI SI圉园田九章算术与高考数学专题十四九章算术与高考数学若把 原本“比 算术"，此中翘楚是九章.这是对代表 东方数学最高成就的巨著九章算术的赞誉.九章算术 是勤劳勇敢的中华民族的智慧结晶，是中华文化和中华文明 传承的经典之作，尊为古代数学群经之首.九章算术所创 立的机械算法体系显示出比欧几里得几何学更高的水准.并 将其扩展到其他领域，其算法体系至今仍推动着计算机的发 展与应用.为更好的传承这一举世无双的经典之魁.宏扬中华传统文化 和中华文明，近年来在全国高考数学试题中，从九章算术 中选取与当今高中数学教学相映的题材背景，经命题专家精 细加工，再渗透现代数学思想

2、和方法.编制出精妙绝伦的当 今数学高考试题.体现出九章算术与现代高考的优美结合.体现了中华古代文明与现代文明的相映.（一 九章算术与高考真题案例展示案例展示1. （2015高考全国卷1,5分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为）,米堆底部的弧长米几何？ ”其意思为： 在屋内墙角处 堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多 少？ ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）专题十四九章算术与高考数学A. 14 斛B. 22 斛C. 36 斛D. 6

3、6 斛此题源于九章算术卷第五商功之 二五,将古代文化依垣”和现代教育元素 圆锥”结合，对培养学生的爱国 情操和认识中华古典文化有着深刻的教育意义.2. (2015高考全国卷n, 5分)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的更相减损术执行该 程序框图，若输入的a, b分别为14, 18,则输出的a=()D. 14A. 0C. 4此题源于九章算术卷第一方田之 六:又有九H一分之四十九.问约之得几何？ ”可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之”，后人称之为 更相减损木”，它是求最大公约数 的伟大创举.3. （2015高考湖北卷）九章算术 中，

4、将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马， 将四个面都为直角三角形的四面体 称之为鳖月需，如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD，底面ABCD,且 PD = CD,过棱 PC 的 中点E,作EF XPB交PB于点F ,连接DE , DF , BD, BE.（1）证明：PBL平面DEF.试判断四面体 DBEF是否为鳖月需， 若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理 由.(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 DC3求BC的值.此题背景源于九章算术卷第五商功之一五.今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何；之一六今有鳖月需,下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七

5、尺.问积几何.考 题将 阳马”，鳖月需”相结合，以选修21P109例4为源进行有机整合.巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出.让数学教育者与高考学子为之赞叹!专题十四九章算术与高考数学九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵。'斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖膈。阳马居二, 鳖膈居一，不易之率也。合两鳖膈三而一，验之 以蒸，其形露矣。” 刘徽注：“此术脯者，背节也，或曰半阳马，其 形有似鳖肘，故以名云。中破阳马，得两鳖膈, 鳖膈之起数，数同而实据半，故云六而一即得。”专题十四九章算术与高考数学阳马和鳖麝是我国古代对一些特殊锥体 的称谓.取一长方体，按下图斜割一分为二，得 两个一模一样的三棱

6、柱，称为堑堵.a专题十四九章算术与高考数学再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱 锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与 底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖堑堵*阳马毅专题十四九章算术与高考数学阳马和鳖疆成为2015年湖北高考的代名词试题以九章算术中研究立体几何 所用的两个特殊锥体（阳马、鳖腌）为背景，可谓推陈出新，给考生留下深刻的印象，“阳马”和“鳖腌”这两个数学名词，迅速在网上传播起来, 成为热门话题.专题十四九章算术与高考数学赖1M升至432人东方之救援现场举行哀悼活动早上作文写“泉水V心情还不错,下午傻了眼一高考数学出“警瞧”学霸噫难几何题

7、，出现文言文,你知道“象就”是什幺吗例1 （2011年理科卷第13题）九章算术“竹九节” 问题:现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差 数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第 5节的容积为 升.专题十四九章算术与高考数学例2 （2012年理科卷第10题）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”日:置积尺数,以十六乘之，九而一,所得开立方除之，即立圆径，开立IH术”相当于给出了已知球的体积y，求其直径d的一个近似公式d伊人们还用过一些类似的近似公式.根据ga14159判断，下列近似公式中最精确的一个是（）.Dd=懵J九章算术与现代高考典例展示高考数学试题由九章算术中，典型的数

8、学问题结合现代 数学教育命制而成.然而九章算术中，精典的数学问题 十分丰富，现以九章算术中部分精典的问题与现代数学 相结合，编制如下几道高考数学试题模型.专题十四九章算术与高考数学选择型典例展示1.九章算术是我国古代数学名著，在其中有道竹九问题”今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问 中间二节欲均容各多少？ ”意思为：今有竹九节，下三节容 量和为4升，上四节容量之和为 3升，且每一节容量变化均 匀（即每节容量成等差数列）.问每节容量各为多少？在这个问 题中，中间一节的容量为（C ）737A.2B.336710C.66D. 11解析设从最下节往上的容量构成等差数列an,公差为d.a1a2

9、 a3 4f +=3ai 3d 4， + =14a +26d= 3则, - a + a + a + a9876解得a1 = 95, 66d= 一766工) = 67.故选C.6666中间为第五节，即a5=a1 + 4d= 95 + 4><(662.九章算术是我国古代著名数学经 典.其中对勾股定理的论术比西方早一 千多年，其中有这样一个问题：今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺.问径几何？ ”其 意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯 去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料 的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中， 截面图

10、如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦AB=1尺，弓形高CD =1寸，估算该木材镶嵌在墙 中的体积约为（D）（注：1 丈=10 尺=100 寸，兀 814, sin 22.5 心 务13A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸解析连接OA、OB, OD,设QD的半径为R, 则(R1)2+52=R2, .R=13.AD 5sin/ aod =AO =13. ./AOD=22.5 ,即 /AOB = 45 . S弓形ACB= S扇形OACB SaOAB45 冗 X1321=3602x1°M2F.33 平方 ,该木材镶嵌在墙中的体积为V = S弓形

11、ACBX100书33立方寸.选 D.3.我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：1 1 11第一步：构造数列1, 2，3，4，n.第二步：将数列的各项乘以n,得数列（记为）a1，a2, a3,an.则 a1a2+ a2a3+,+ an-1an 等于(C )A. n2B. (n-1)2C n(n 1)D n(n+1)解析aia2+a2a3+ , +an-iann n -n 1 n= n2+ ,+11 22 3(n-1) n11111= n 1 2+2-3-+ , +- n 1 nn1=n2n=n(n 1).选 C.专题十四九章算术与高考数学(4)九章算术商功章

12、有题：一柱形谷仓，高I文3尺与寸，容纳米2000斛"丈3),则圆柱底圆周长约=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛L62立方尺，n为(A) 1丈3尺<B) 5丈4尺(C)9丈2尺(D) 48丈6尺专题十四九章算术与高考数学古代数学典籍九章算术尸短不足”中有一道两双穿墙问今有垣厚十尺.两鼠时穿初丁/* 入a,s.h7日各一尺,大鼠日自倍.小鼠H自半,问几何口相逢厂现用程序框图描述,如图所示,则出结果儿 4B, 5a 2D. 3著等比数列1。.1的各项均为正数,*2a,-3.3二0,打=1 C结柬Daj =4%<>厂则叫二专题十四九章算术与高考数学在我国古代著名的数

13、学专著九章算术里有一段叙述:今有良马与鸳马发长安至齐，齐去 长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里;驾马初日行九十七里，日减半里;良马先至齐，复还迎鸳马，二马相逢.问:几日相逢?A. 12 BC.8日D.9日专题十四九章算术与高考数学九章算术逐我国古代的数学名着,书中有如卜问题今有五人分五钱，令上二人所得与下 三人等问各得几何?”其意思为已知甲.乙,丙,丁戊五人分5慑，甲、乙两人所得之和与 丙,丁,戊三人所用之和相同，且甲乙，丙、丁，戊所得依次成等差数列.向五人各得多少钱?妙 （“钱R是古代的一种重量单位）.这个同鹿中，甲所得为专题十四九章算术与高考数学8.九章算术中，将底面是

14、直角形的直三棱柱称之为“堑堵”，己知某“堑堵”的三视如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为.B. 4+2正恻视图（第8题图C. 4 + 472D. 6 + 42专题十四九章算术与高考数学6中国古代数学名著九章算术中记投了公元前344年商鞅督造一种标准几器一鞅纲方升，其三视图如图所示（单位中）.若x取3,其体积为12.6（立方寸）.则图中的X为（C * 1,8D. 2.4A. L2正视侧视图俯视图专题十四九章算术与高考数学4.九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡巡， 周四正八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百H 二，巳术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说

15、 的圆堡璇就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之， 十二而二;.”就是说：圆堡璇（圆柱体）的体积为：V=±X（底 面的圆周长的平方X高）,则由此可推得圆周率加的取值为（） A.3B314C32D312r专题十四九章算术与高考数学填空型典例展示4.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344年商 鞅督造一种标准量器 商鞅铜方升，其三视图如图所示（单 位：寸）5.4卜 3 h：|1 11正视图侧视图俯视图兀1.6若取3,其体积为12.6（立方寸），则图中的x为解析由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而 成.由题意得:(5.4x)*M+兀(12)2x=12.6,解得x= 1.

16、6.专题十四九章算术与高考数学5.中国古代数学名著九章算术中的 引葭赴岸”是一 道名题，其内容为：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐.问水深葭长各几何 ”意为：今有边 长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部 分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇 的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面 图为ABCD,芦苇根部O为AB的中点，顶端为P（注芦苇与 水面垂直）.在牵引顶端P向水岸边中点D的过程中，当芦苇 36餐过DF的中点E时,芦彳的顶端离水面的距离约为一9尺.（注：1 丈=10 尺，）601 中4.5）专题十四九章算术与高考数学解析设水深

17、为x,则 x2+52=(x+ 1)2, 解得：x=12.水深12尺，芦苇长13尺, 以AB所在的直线为x轴， 芦苇所在的直线为y轴，建立直角坐标系, 在牵引过程中，P的轨迹是以。为圆心，半径为13的圆, 其方程为x2+y2=169, ( 5口逐，12勺W3),5E点的坐标为（一2 ,12）, 24OE所在的直线方程为y= 5 x,169义576 13X 24 624 由联解得y=601 弋 24.5 = 49.则此时芦苇的顶端到水面的距离为 624364912 = 49.专题十四九章算术与高考数学解答型典例展示6.九章算术是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早1千多年.例如堑堵指底面

18、为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形,侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖月需指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵 ABC-A1B1c1中，ACXBC.(1)求证：四棱锥B-AiACCi为阳马，并判断四面体 AiCBCi是否为鳖月需，若是写出各个面的直角(只写出结论)；(2)若AlA = AB=2,当阳马B-AiACCi体积最大时；求堑堵ABC-AiBiCi的体积；求C到平面AiBCi的距离； 求二面角C-AiB- 5的余弦值.解(1)证明:由堑堵ABC-A1B1cl的性质知:四边形A1ACC1为矩形.A1A，底面 ABC, BC?平面 ABC,BCXA1A,又 BC 1AC

19、, A1AAAC = A.A1A, AC?平面 A1ACC1.BC，平面 A1ACC1,，四棱锥B-A1ACC1为阳马，且四面体A1CBC1为鳖月需，四个面的直角分别是 /A1CB, /A1clC, ZBCC1, /A1clB.(2). A1A = AB=2.由(1)知阳马B-A1ACC1的体积1V = 3 s 矩形 A1ACC113 M1AXACXBC3AC XBC? 3(AC2+ BC2)=3XAB2= 3.当且仅当AC=BC=12时,4V -max=3)此时堑堵ABC-A1B1c1的体积V =A12 1 G2d 2.由题意与题图知，V 三棱锥B-A1AC = V 三棱锥B-A1C1C12

20、=2V 阳马 B-A1ACC1 = 3.又 A1c1=2, BC1 = BBC2+ C1C2= 6)6,设C到平面A1BC1的距离为d.12贝3SAA1BC1 d= 3.专题十四九章算术与高考数学即3 22xd= 3 , 42d= 2x 6 = 3 3.法一： 设C在平面A1BC1上的射影为D（事实上DWBC1）.在A1B 上的射影为E.连接DE,易知A1B1ED.Z CED即为二面角C-A1B- C1的平面角.由知CD = d=3 %.由直角三角形A1BC得CE = AiCBC A1Ba/a1A +AC BC=22AiA +ab62 6二万，2 26 44 3.DE = 4cE2-CD2专题

21、十四九章算术与高考数学DE cosZ CED = ce =661g= 363.2即二面角C-AiB-Ci的余弦值为3.法二：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz则 Al(0, 42, 2), B也，0, 0), Ci(0, 0, 2).二 ° LCAi =(0, 2, 2), CB = ( 2, 0, 0),CCiB由,0, -2),CiAi = (0, V2, 0),设平面CA1B的法向量为n1 = (x1, y1, z1).平面C1A1B的 法向量为 n2=(x2, y2, z2), 一 二 n 一. 一 ni CAin2 CiAi = 0贝N.ni CB=0,1n2 CiB=0V2y1 + 2z1