初中数学三角函数综合练习题

1、三角函数综合练习题1,点 A, B, C 都在格点上，则/ ABC 的正切值4.如图， ABC 中 AB=AC=4,/ C=72, D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上, DE 丄 AB,贝 U cosA.选择题（共 10 小题）是（ ）A. 2B.D.2 .如图，点 D ( 0, 3 ),0 ( 0,0), C (4, 0）在OA 上, BD 是OA 的一条弦，贝Usin/OBD=D.AB 的长为 m，/ A=35,则直角边BC 的长是（D.mcos351.如图，在网格中，小正方形的边长均为7 .如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30,看这栋楼底部 C

2、 处的俯角为 60,热气球 A 处与楼的水平距离为 120m,则这栋楼的高度为（）A.160:B.120:mC. 300m D. 160;*2m&如图，为了测量某建筑物 MN 的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30, 向 N 点方向前进 16m 到达 B 处，在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45,则建筑物 MN 的高度等于（）A.-B.nC.壬 “ 1D.12442BC=10 米，/ B=36，则中柱AD (DC. 5tan36D. 10tan36 米6 .一座楼梯的CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为B.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4 米，楼梯宽

3、度1 米，则地毯的面积至少需要（4tan 6)米2D. (4+4tanB)米25 如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度为底边中点）的长是（)2C. (4+9 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立A. 8 ( ._) m B. 8 (”T ) mC.16I )mD. 16 (VS - 1于地面的大树顶端 C 的仰角为 36,然后沿在同剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处,6 米至大树脚底点 D 处,斜面 AB 的坡度（或坡比）i=1:,那么大树tan 36)3X2 的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2 倍， ABC 的顶点都则

4、cos/ ABC 的值是（）二解答题（共11.计算:13 小题）i然后再沿水平方向行走D.米sin36, cos3610.如图是一个是网格中的格点,12.计算:16.计算：cos245 +tan60 cos30- 3cot26013.计算:si n452+cos 301Z*tan60J+2s in6014.计算:cos245_+cot23015计算:S5+ l:sin60-2tan4517.如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD,当光线与地面的夹角是 22时，办公楼在 建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE 而当光线与地面夹角是 45时，办公楼顶 A 在地面上 的影子 F 与墙角 C有

5、25 米的距离（B，F，C 在一条直线上）.（1 ）求办公楼 AB 的高度；（2）若要在 A, E 之间挂一些彩旗，请你求出A, E 之间的距离.18某国发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面 A、B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 25 （参考数据：si n22 ,cos2215和 60，且 AB=4 米，求该生命迹象所在位置C 的深度.（结果精确到 1 米，参考数据：sin25,tan2219 .如图，为测量一座山峰 CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和 BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长A

6、B=800 米，BC=200 米，坡角/ BAF=30/ CBE=45.（1 ）求 AB 段山坡的高度 EF;（2）求山峰的高度 CF. （/e, CF 结果精确到米）20.如图所示，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60,沿山坡向上走到 P 处再测得 C的仰角为 45，已知 OA=200 米，山坡坡度为丄（即 tan / PAB 二）,且 O, A,33B 在同一条直线上，求电视塔 OC 的高度以及此人所在的位置点P 的垂直高度.（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）321.如图，为了测量出楼房 AC 的高度，从距离楼底 C 处 60 米的点 D （点 D 与楼底 C 在

7、同一水平面上）出发，沿斜面坡度为 i=1：.；的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B,在点 B 处测得 楼顶 A 的仰角为53,求楼房 AC 的高度（参考数据：sin53, cos53, tan53 丄,3计算结果用根号表示，不取近似值）.22.如图，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30,测得大楼顶端 A 的仰角为 45（点 B, C, E 在同一水平直线上），已知 AB=80m，DE=10m，求障碍物 B，C 两点间的距离（结果精确到）（参考数4亍苓/J3OJ口口口口口DE,在小楼的顶端 D 处2016 年 12 月 23 日三角函数综合练

8、习题初中数学组卷参考答案与试题解析.选择题（共 10 小题）1.（2016 安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A, B, C 都在格点上，则/A.2B.C.D.552【分析】根据勾股定理，可得 AC AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案.由勾股定理，得AC=川 AB=22 讣 BC= |, ABC 为直角三角形， tan / B=,AB 2故选：D.【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB 的长，再求正切函数.2.(2016 攀枝花)如图，点 D ( 0, 3), O ( 0, 0), C (4, 0)在OA 上，BD 是OA 的一条ABC 的正切值是（）【解

9、弦，贝Usin/ OBD=()h,0BA.B旦C.4D.丄245【分析】连接 CD,可得出/ OBD=/ OCD,根据点 D(0, 3), C (4, 0),得 OD=3,OC=4,由勾股定理得出 CD=5,再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin/ OBD 即可.【解答】解： D (0, 3), C (4, 0),OD=3 , OC=4,v/COD=90,二 CD= - _ |_=5,连接 CD,如图所示：v/OBD=/OCD , sin / OBD=sin/ OCD=.CD5【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.3.（ 201

10、6 三明）如图，在 RtAABC 中，斜边 AB 的长为 m,/ A=35,则直角边 BC 的长是A. msin35 B. mcos35 C. D.Sin35vCOS35【分析】 根据正弦定义：把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做/ A 的正弦可得答案.【解答】解：sin/ A=_,AB/ AB=m, / A=35,/ BC=msi n35,故选：A.【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义.4.（2016 绵阳）如图， ABC 中 AB=AC=4, / C=72, D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上，DE 丄AB,贝 U cosA 的值为（）A.-B.nC.D.1

11、2442【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出/EBC=36 , /CE B&BEC=72 , AE=BE=BC 再证明 BCEAABC,根据相似三角形的性质列出比例式誥晋,DL AC求出 AE,然后在 ADE 中利用余弦函数定义求出cosA 的值.【解答】 解： ABC 中，AB=AC=4, / C=72,/ABC=/C=72,ZA=36,/ D 是 AB 中点，DE 丄 AB, AE=BE/ ABE=/ A=36,/EBC=Z ABC-/ABE=36,/ BEC=180-/ EBC-/ C=72, / BEC=/ C=72, BE=BC AE=BE=BC设 A

12、E=x,贝 U BE=BC=x EC=4 x.在厶 BCE与厶ABC 中,fZCBE=ZB=36 lZC=ZABC=72解得 x=- 2 2 !.（负值舍去），AE=-2+2n.在厶 ADE 中，/ ADE=90, cosA= = := | .AE - S+2-/54故选 C.【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中.证明 BC0AABC 是解题的关键.5.（2016 南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度C. 5tan36 米 D. 10tan36 米DC=BD=5 米，在 RtAABD 中，

13、利用/ B 的正切进行计算即可得到 AD 的长度.【解答】 解：IAB=AC, AD 丄 BC, BC=10 米, DC=BD=5 米,在 RtAADC 中，/ B=36,即 AD=BDtan36 =5tan36 （米）.故选：C.【点评】本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建 立数学模型，把实际问题转化为数学问题.-CE E，即BC ACBC=10 米，/ B=36,则中柱 AD （ D 为底边中点）的长是（【分析】根据等腰三角形的性质得到tan36 6. （ 2016 金华）一座楼梯的示意图如图所示， BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角

14、 为现要在楼梯上铺一条地毯， 已知 CA=4 米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要（） AC+BC=4+4tanB(米), 地毯的面积至少需要 1X（4+4tanB）=4+4tanB（米2）;故选：D.【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC 是解决问题的关键.7.（2016 长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30,看这栋楼底部 C 处的俯角为 60 ,热气球 A 处与楼的水平距离为 120m，则这栋楼的高度为（ ）A.160；m B.120：m C. 300m D. 160.:m【分析】首先过点 A 作 AD

15、 丄 BC 于点 D,根据题意得/ BAD=30,ZCAD=60, AD=120m,然后利用三角函数求解即可求得答案.【解答】 解：过点 A 作 AD 丄 BC 于点 D,则/ BAD=30,ZCAD=60, AD=120m ,2芯nso-nJaElsn【解答】 解：在 RtAABC 中，BC=ACtanB=4tanB（米），由矩形的面积即可得出结米2D. (4+4tanB)米24S3?口.曰QR!?:竺sft3-F1S*LL-3EIEL在 RtA ACD 中，CD=ADtan60 =120X*$ 3=120 .：: (m),在 RtAABD 中，BD=ADtan30 BC=BD+CD=160

16、 ;； ( m).故选 A.【点评】此题考查了仰角俯角问题注意准确构造直角三角形是解此题的关键.& （2016 南通）如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30，向 N 点方向前进 16m 到达 B 处，在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45,【分析】 设 MN=xm，由题意可知 BMN 是等腰直角三角形，所以 BN=MN=x,则 AN=16+x,在 RtAAMN 中，利用 30。角的正切列式求出 x 的值.【解答】解：设 MN=xm,在 RtABMN 中，/ MBN=45 , BN=MN=x,在 Rf AMN中，tan/ MAN 于,

17、解得：x=8 (t $+1),则建筑物 MN 的高度等于 8（.；+1） m；故选 A.A. 8 (.=) m B. 8 ( J “-) mC. 16 (苗+1)m D. 16 小-1) m tan30【点评】本题是解直角三角形的应用， 考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长.9.（2016 重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如图，在点 A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至 坡顶 B 处，然后再

18、沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i=1：【分析】 作 BF 丄 AE 于 F,贝 U FE=BD=6 米，DE=BF,设 BF=x 米，贝 U 人卩=米，在 RtAABF 中，由勾股定理得出方程， 解方程求出 DE=BF=5 米，AF=12 米，得出 AE 的长度，在 RtAACE 中,由三角函数求出 CE 即可得出结果.【解答】 解：作 BF 丄 AE 于 F,如图所示：贝 U FE=BD=6 米, DE=BF,斜面 AB 的坡度 i=1:, AF=,设 BF=x 米，贝 U AF=米,在 RtAABF 中，由勾股定理得：x2+ （）2=132,解得：

19、x=5, DE=BF=5 米，AF=12 米， AE=AF+FE=18 米,在 RtAACE 中，CE=AEtan36 =18x=米， CD=CE- DE=米- 5 米米； 故选：A.那么大树 CD 的高度约为（参考数据:sin36, cos36, tan36 )(A.米B.米C.米D.米13【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数;决问题的关键.10. （2016 广东模拟）如图是一个 3X2 的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2 倍,又由余弦的定义，即可求得答案./D=90,AD=3X1=3,BD=2X2=4,在 RtAABD 中，AB= , | j =5,故选 D.

20、由勾股定理得出方程是解 ABC 的顶点都是网格中的格点，则cos/ ABC 的值是（）C.【分析】根据题意可得/D=90,AD=3X仁 3, BD=2X2=4,然后由勾股定理求得 AB 的长,【解答】解：如图，由 6 块长为2、宽为 1 的长方形,B.A-1311. （2016 成都模拟）计算:（-丄）0+（丄）-|tan45 -|【点评】此题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理.此题比较简单，注意数形结合思想的应二.解答题（共 13 小题）【分析】本题涉及零指数幕、负整数指数幕、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结

21、果.【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幕、零指数幕、考点的运算.【点评】本题考查实数的运算能力， 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值, 掌握负整数指数幕、二次根式、绝对值等考点的运算注意：负指数为正指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幕等于 1 ;二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数.【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.【解答】解：原式八 +2=1【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关二次根式、绝对

22、值等12. （2016 顺义区二模）1+|1 -V2I -【分析】要根据负指数,绝对值的性质和三角函数值进行计算注意:（）-1=3,11-V2【解答】解：原式=3+V2 -戈 K =3 十也-1 一 V2=2.熟练13. （2016 天门模拟）计算:-7-s in 45+cos230+2s in60.V32+2X【解答】 解：原式=1+3X计算:訂.；|=二一 1,cos45222键.14. （2016 黄浦区一模）计算：cos2452sin60+cot230.【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案.【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题

23、关键.【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算.一+3 - 22飞.sin30sin 45sin6016.（2016 虹口区一模）计算：COS245+tan60 cos30- 3cot260=1.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值， 解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.17.（2016 青海）如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD,当光线与地面的夹角是 22 时，办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE 而当光线与地面夹角是 45时，办公楼 顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离（B, F, C 在一条直线上）.15.（ 2016 深圳校级模拟）计算:_

24、 sin45 + I 工 sin60- 2tan45【解解：原式【点评】本题考查了特殊角的三角函数值特指30 、45 、60角的各种三角函数值.【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.(1 )求办公楼 AB 的高度；(2)若要在 A, E 之间挂一些彩旗，请你求出 A, E 之间的距离.(参考数据：sin22 ，cos2215a-,tan22 ” ）165A丄JQ 4E蛊FC【分析】(1)首先构造直角三角形 AEM,利用 tan22(2)利用 RtAAME 中，cos22 乙 L，求出 AE 即可 AS【解答】解：(1)如图，Jr M - 产百 vMJF B J斗尹 2E8FC过点 E 作 EM

25、 丄 AB,垂足为 M .设 AB 为 X.RtAABF 中，/ AFB=45,/ BF=AB=xBC=BF+FC=x+25在 RtAAEM 中，/ AEM=22, AM=AB - BM=AB- CE=x- 2,解得：x=20.即教学楼的高 20m .（2）由（1）可得 ME=BC=x+25=20+25=45.tan22 吩，血疋-2_2x - 2.2z+255在 RtAAME 中，cos22:AE=， 即 A、E 之间的距离约为 48m【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出18.（2016 自贡）某国发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地

26、面 A、B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 25和 60,且 AB=4 米，求该生命迹象所在位置 C 的深度.（结果精确到 1【分析】 过 C 点作 AB 的垂线交 AB 的延长线于点 D,通过解 RtAADC 得到 AD=2CD=2x,RtABDC 中利用锐角三角函数的定义即可求出CD 的值.【解答】 解：作 CD 丄 AB 交 AB 延长线于 D,设 CD=x 米.在 RtAADC 中，/ DAC=25 , 所以 tan25 丄=,AD所以 AD 亠-=2x.0. 5RtABDC 中，/ DBC=60,由 tan 60 =-=,2K-4解得：x 3.即

27、生命迹象所在位置 C 的深度约为 3 米.tan22 亠-是解题关键ME米,tan25【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.19. (2016 黄石)如图，为测量一座山峰CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和 BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800 米，BC=200 米，坡角/ BAF=30,ZCBE=45 .(1 )求 AB 段山坡的高度 EF;(2)求山峰的高度 CF(近 Q, CF 结果精确到米)【分析】(1 )作 BH 丄 AF 于 H,如图，在 RtAABF 中根据正弦的定义可计算出BH 的长，从而得到

28、 EF 的长；(2)先在 RtACBE 中利用/ CBE 的正弦计算出 CE,然后计算 CE 和 EF 的和即可.【解答】 解：(1)作 BH 丄 AF 于 H,如图，在 RtAABF 中，Tsin/BAHJ-,AB BH=800s in30 =400,/ EF=BH=400m；(2)在 RtACBE 中，Tsin/ CBE 二,BC CE=200sin45 =100 一” CF=CE+EF=+403541(m).答：AB 段山坡高度为 400 米，山 CF 的高度约为 541 米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 I 的比，又叫做坡比

29、，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成 i=1 ： m 的形式.把坡面与水平面的夹角a叫做坡角，坡度 tana.20.（2016 天水）如图所示，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60 ，沿山坡向上走到 P 处再测得 C 的仰角为 45,已知 OA=200 米，山坡坡度为丄（即 tan / PAB 丄）,且 O,A, B 在同一条直线上，求电视塔 OC 的高度以及此人所在的位置点P 的垂直高度.（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）【分析】在直角 AOC 中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即RTAAOC RTAPCF RT PAE 利用

30、60 、45。以及坡度比，分别求出COCF、PE 然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决.【解答】 解：作 PE! OB 于点 E, PF 丄 CO 于点 F,在 RtAAOC 中，AO=200 米，/ CAO=60, CO=AOtan60 =200（米）(2 )设 PE=x 米，PR11/ tan / PAB-,AE. 3 AE=3x.在 RtAPCF 中,/ CPF-45 , CF-200. x, PF=0A+AE=200+3x/ PF-CF 200+3x=200:;- x,解得 x=50 （: - 1）米.答：电视塔 OC 的高度是 200.；米，所在位置点 P 的铅直高度是 50

31、（. - 1）米.i与坡角a之间【点评】考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及坡度坡角问题, 仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.21. （2016 泸州）如图，为了测量出楼房 AC 的高度，从距离楼底 C 处 60 ；米的点 D （点 D 与楼底 C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为 i=1:：的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B,在 点 B 处测得楼顶A 的仰角为 53,求楼房 AC 的高度（参考数据：sin53, cos53.【分析】 如图作 BN 丄 CD 于 N, BM 丄 AC 于 M，先在 RTABDN 中求出线段 BN,在 RTAABM中求出 AM，再证明四边形 CMBN 是矩形，得 CM=BN 即可解决问题.【解答】 解：如图作 BN 丄 CD 于 N, BM 丄 AC 于 M .在 RTABDN 中, BD=30, BN: ND=1:.:, BN=15, DN=15 .二/C=ZCMB=ZCNB=90,四边形 CMBN 是矩形， C