如何引导初一学生发现和探索数学规律27

1、如何引导初一学生发现和探索数学规律数学规律就是指数学的元素（数与数、数与形、形与形等）之间的内在联系。探索数学规律，就是探索这种数学各个元素之间的相互联系。布鲁纳说过：“探索是数学的生命线，没有探索便没有数学的发展。”初一学生刚刚升入初中，对较复杂的数学规律往往一头雾水，如坠十里云雾之中，一脸迷茫，不知如何下手。毛主席说：“入门既不难，深造也是办得到的。”那么如何使学生入得其门呢？关键是教师要引导学生如何透过现象看本质，如何找到探究问题的切入点，这才是至关重要的。初一数学中的数学规律问题虽说也千变万化，但却是万变不离其宗，还是有规律可循的。事实上，探索数学规律就是对事物（数学元素之间）进行一般

2、化的表示。也就是如何对事物的内在联系从具体和特殊入手，经过观察、类比、分析、归纳、猜想、验证的过程，再到抽象、一般的过程。认识到“普遍性”寓于“特殊性”之中。也就是寻找藏在“个性”当中的“共性”。没有特殊性就没有普遍性。人的认识过程往往要经历由特殊到一般，再由一般到特殊的两个阶段。然后建立通式化的数学模型。这就要求教师要引导学生从观察问题入手，观察不同的数、形和前后左右的数、形之间有什么关联，经过分析比较，在头脑中有一个初步的猜想，再把它归纳概括和数学化，得出结论，然后再验证结论的合理性；最后得出规律性的东西。在这个过程中观察是先导，切入是关键，发现是重点，也是难点。它是学生感性认识向理性认识

3、的飞跃。因此，在教学中教师的作用就是引导学生从何处来切入，如何在山重水复无路之地找到柳暗花明的另一村，而恍然大悟能有所发现。1、 从图形上观察、比较、猜想，发现数学规律观察数学图形可通过对数学图形的结构进行分割，寻找图形的上下、左右、内外等之间的某种联系，从而发现规律。例如：观察直角三角形的内角和、锐角三角形的内角和、钝角三角形的内角和都是180º（特殊图形），从而猜想任意三角形（一般三角形）的内角和也是180°。然后通过把一个任意三角形的三个角剪下来拼在一起去验证这个结论。学生在实验当中不知道应该去观察图形的什么：是顶点，是三边关系，内角和，外角和还是观察其他的什么。教师

4、就要引导他们从三角形的内角和去切入，去入手。因为越是熟悉的东西，人们往往越熟视无睹。然后可以引导学生再由浅入深，由表及里去观察三角形的外角和、三边之间的关系、三角形的内心、外心、垂心、重心、旁心等，进一步由此及彼对四边形、五边形等进行观察、分析、归纳。这正象一位哲人说的，“这世界并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛。”因而，教师要引导学生发现、探索数学规律的切入点。事实上，自然界有很多规律并不难于发现，而是难于不知从何处切入。2、 从数的特点去切入，去发现数的前后左右上下内外之间有时乍看无规律可循，但经仔细观察看它们之间是否有奇偶关系、平方关系、立方关系、和差关系等等，往往会灵机一动，灵感突至，有

5、意想不到的收获。因此，对初一学生来说，教师在引导学生探索规律之前，平时要多注重学生对偶数（2n)、奇数（2n-1、2n+1、2n+3)等一些特殊数的表示的知识积累和铺垫，这样才能不至于有“书到用时方恨少”的感叹。其次，教师还要引导和帮助学生分析给定的一列数是否是等差数列还是等比数列。再看分子、分母之间有什么关系，或分子与分子、分母与分母之间有什么关系，再进一步去看它们之间和序号有没有平方、立方、和差关系、倍数关系，这样，复杂的问题也会变得轻而易举和得心应手。例如：1、 观察下面一系列等式，你能发现什么规律，用代数式来表示这个规律。3²1²=8=8×1, 5

6、8;3²=16=8×2, 7²5²=24=8×3,9²7²=32=8×4,经过观察，不难发现等式的左边是1,3,5,7,9等数的平方，而左边的底数1,3,5,7,9等是奇数，立即想到奇数可表示成2n1,2n1,2n3,又结合和序号的关系，便想到等式的左边可表示成：（2n+1)²（2n1)².等式右边是8的一倍，二倍，等，并结合序号，可写成8n（n为自然数）。又比如：找出下面数列的规律，并填空：2，7，12，17，(第n个数)；1，8，27，64，(第n个数).中相邻两数都差5，是一个等差数列，故

7、第n个数就等于：首项5n即25n.这也是它的通项公式。中的数为1，8,27,64，因为1³=1,2³=8,3³=27,4³=64，由此可知下一个数是5³，即125，自然第n个数就是n³.3、 通过列表，把数据列出来，分析数据的特点（平方关系、立方关系等），再找出数据与序号之间存在着怎样的关系，便可探究出这一类题的规律，收到触类旁通的效果。例如折纸，拉面问题等等。举例：将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行。连续对折6次后，可以得到几条折痕？想象一下，如果对折10次，有多少条折痕？那么对折n次

8、呢，会有多少条折痕？ 对折次数 折痕条数 11=1=2¹1 212=3=2²1 31+2+4=7=2³1 41+2+4+8=15=241 51+2+4+8+16=31=251 61+2+4+8+16+32=63=261 n1+2+4+8+16+=2n1因为从第二次折叠起，每一次折痕的条数等于在保留前面折痕的条数的基础上，再加上上一次新增的折痕条数的2倍。4、 对于图形问题，主要引导学生分析寻找图形中的包含关系、对称关系、倍数关系、递增关系、衍生关系等，快刀斩乱麻，透过现象，发现规律，从而培养学生的观察、探究能力。下面举两例来加以说明：1、 下面的图形是由边长为一的

9、正方形按照某种规律排列而成的: 观察图形，填写下表：图形 n正方形个数 8 图形周长 18 教师可引导学生观察这个图形是以中间的这一行正方形为对称轴的轴对称图形。中间这一行正方形的个数是序号加1，即中间这一行有(n+1)个正方形，每一边有2n+1个正方形，两边共有2（2n+1）个正方形，因而图中正方形的总数是（n+1)+2(2n+1)=5n+3.而图形的周长的计算方法则有多种。这里只举一种：图形的周长等于横的正方形组成的这个长方形的周长加上三个竖行长方形（不包括已算过的横的长方形中的正方形）的长的6倍。图形中横排长方形的长为（2n+3),三个竖排长方形的长为n，因此图形的周长就等于（2n+3+

10、1)×2+6n=10n+8. 2、如下图所示，在图中互不重叠的三角形共有4个，在图中，互不重叠的三角形共有7个，在图中，互不重叠的三角形共有10个，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含n的代数式表示）。 在这个题中，教师要引导学生观察发现每一个图形中最里面的一个三角形，在下一个图形中又保含（3+1）个三角形，这样不断衍生下去，我们就不难发现其中的规律：图形三角形的个数规律（通项公式）3+13×1+13+3+13×2+13+3+3+13×3+1n3n+15、 运用综合分析的方法，帮助和引导学生探究数学规律。在图形难以直观和一目了然的情况下，我们要

11、帮助学生另辟蹊径，寻找探究数学规律的方法。但这种综合分析的方法对学生思维的要求较高，学生不易掌握。可一经掌握，便能左右逢源，使许多数学问题迎刃而解。这对学生来说是获益匪浅。例1、在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么四条直线两两相交，最多有个交点，八条直线两两相交，最多有个交点，n条直线两两相交，最多有个交点。 思考方法一：在同一平面内，两条直线相交最多有一个交点。对于同一平面内的n条直线来说，从中任取其中的一条直线，都可以和剩下的（n-1）条直线中的每一条相交有（n-1）个交点，而这一条直线的取法有n种，因此共有n（n-1）个交点。但直线A与直线B的交点和直线B与直线A的交点是

12、同一个，重复了一个。因而除去这重复的交点以外，共有n（n-1）/2个交点。这种思考方法对学生以后在高中学习排列组合都是会有很大的帮助的！不仅如此，对其他的角的组成问题、确定直线的条数问题、计算车票问题、确定线段的条数问题、握手问题等能起到触类旁通的效果。思考方法二：两条直线相交有一个交点，三条直线相交除过原来的一个交点外，第三条直线和前面的两条直线都分别相交，又增加了两个交点，共有（1+2）个交点。以此类推，四条直线两两相交最多有1+2+3=6个交点。那么，n条直线两两相交最多就有：1+2+3+（n-1）=×(n-1)=例2、如下数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题

13、的解答。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 （1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数。 （2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数。（3）求第n行各数之和。分析：不难发现这个数表从上到下各行的数的个数分别是：1，3,5,7,9,11， ，这些数都是奇数。它每行数的个数与行数n之间有这样的关系：每行数的个数=2n-1.每行的第一个数分别是1,2,5,10,17,26，.即是0+1,1+1,4+1,9+1,16+1,25+1，因此，这一列数可表示成（n-1)²+1，每行