专升本高等数学(二)

1、成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续 第一节极限 复习考试要求1 .了解极限的概念（对极限定义|*-可一旌|即乂，等形式的描述不作要求）。会求 函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2 .了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3 .理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大 量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等 价无穷小量代换求极限。4 .熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性复习考试要求1 .理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之 间的关系，掌握判

2、断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2 .会求函数的间断点。3 .掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4 .理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 复习考试要求1 .理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函 数在一点处的导数。2 .会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3 .熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4 .掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5 .了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6 .理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和

3、可导的关系，会求函数的一阶 微分。第二节导数的应用复习考试要求1 .熟练掌握用洛必达法则求"I' "葭巴"0 8"、 型未定式的极限 的方法。2 .掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用 函数的单调性证明简单的不等式。3 .理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值 的方法，会解简单的应用题。4 .会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5 .会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分复习考试要求1 .理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2 .熟练掌握不定

4、积分的基本公式。3 .熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根 式代换）。4 .熟练掌握不定积分的分部积分法。5 .掌握简单有理函数不定积分的计算。第二节定积分及其应用复习考试要求1 .理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2 .掌握定积分的基本性质3 .理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4 .熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式。5 .掌握定积分的换元积分法与分部积分法。6 .理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。7 .掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转 所生成的旋转体的体积。第四章多元函数微分学复习

5、考试要求|1 .了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。2 . 了解二元函数的极限与连续的概念。3 .理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求 法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。4 .掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5 .会求二元函数的无条件极值和条件极值。6 .会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。第五章概率论初步复习考试要求1 .了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件 的概念。2 .掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系3 .理解事件之

6、间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。4 .理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。5 .会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。6 . 了解随机变量的概念及其分布函数。7 .理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。8 .会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1 .了解极限的概念（对极限定义 等形式的描述不作要求）。会求函数 在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2 .了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3 .理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无

7、穷小量的性质、无穷小量与无穷大 量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等 价无穷小量代换求极限。4 .熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容（一）数列的极限1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作Xn,数列中每一个数称为数列的项，第 n项Xn为数列的一般项或通项，例如（1） 1, 3, 5,，（2n-1）,（等差数列）1 i 11曾毅“'于（等比数列）2 2 3 修（3）一打5,（递增数列）i+s产（4） 1,0, 1, 0,？，（震荡数列）都是数列。它们的一般项分别为.下载可编辑(2n-1).畔,。对于每一个正整数n,都

8、有一个xn与之对应，所以说数列xn可看作自变量n的 函数xn=f (n),它的定义域是全体正整数，当自变量 n依次取1,2,3一切正整 数时，对应的函数值就排列成数列。在几何上，数列X n可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点Xl,X2,X 3,.Xn,。2.数列的极限定义对于数列Xn,如果当n-s时，Xn无限地趋于一个确定的常数 A,则称当n趋于无穷大时，数列Xn以常数A为极限，或称数列收敛于A,记作lim4 -tH（当依 Tto吃比如:1 I 11无限的趋向01 2 3 汽，守丁、获T，无限的趋向1否则，对于数列Xn,如果当n-8时，Xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列Xn没有极限

9、，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1, 3, 5,，(2n-1),1 -+ (-1 严1, 0, 1, 0,2数列极限的几何意义：将常数 A及数列的项。依次用数轴上的点表示，若数列Xn以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点Xn可以无限靠近点A,即点X 与点A之间的距离|x n-A|趋于0。比如：无限的趋向0沁;广无限的趋向1（二）数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定理1.1 （惟一性）若数列Xn收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2 （有界性）若数列Xn收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如:1 + （7 严1 , 0, 1, 0,有

10、界：0, 12 .数列极限的存在准则定理1.3 （两面夹准则）若数列X n,y n,z n满足以下条件：（1）乙*4色=，/ x limy = lita2 = A2 2） "n2,则定理1.4若数列Xn单调有界，则它必有极限。3 .数列极限的四则运算定理。定理1.5如果lim%=乩则limy# =瓦则/八时制为"幅空慨灯肛E（1）&兀）=妞。跳排）=百2干 linix ar11m 三=一.lim乂 hCI ,110 y lim v B（3）当, 时， x匕（三）函数极限的概念1 .当XX0时函数f（X）的极限（1）当XX0时f（X）的极限定义对于函数y=f（X）,如

11、果当X无限地趋于X0时，函数f（X）无限地趋于 个常数A,则称当x-不时，函数f (x)的极限是A,记作 甚或 f (x) - A (当 xxo时)例 y=f (x) =2x+1 x-1,f (x) f ?x<1x1x- r,C,9 C.93 0. 9&3.>Ly 2?982 9鸵3x>1x-1r-1.1 1.01 1,001-1了3.2 3口2 1口口 2，t3(2)左极限当xxo时f (x)的左极限定义对于函数y=f (x),如果当x从xo的左边无限地趋于xo时，函数f (x)无限地趋于一个常数A,则称当x-x0时，函数f (x)的左极限是A,记作lim /(x)

12、= A2币或 f (xo-0) =A(3)右极限当xxo时，f (x)的右极限定义对于函数y=f (x),如果当x从xo的右边无限地趋于xo时，函数f (x)无限地趋于一个常数A,则称当x-xo时，函数f (x)的右极限是A,记作lun或 f (xo+o)=A例子：分段函数x+l x<0f(z)- 0 2口I-,求器/阿，坳小)解：当x从o的左边无限地趋于o时f (x)无限地趋于一个常数1。我们称当x.下载可编辑0时，f (x)的左极限是1,即有现双=场8+1)=1当x从0的右边无限地趋于0时，f (x)无限地趋于一个常数-1。我们称当x -0时，f (x)的右极限是-1 ,即有与力器S

13、T"、维-/“受Mx.下载可编辑显然，函数的左极限 黑加右极限3净”"与函数的极限,瑞之间有以下关 系:定理1.6当xx。时，函数f (x)的极限等于A的必要充分条件是反之，如果左、右极限都等于X -1A,则必有对于函数x-1 时 f(x) ?x# 1 x-1f(x) -2,当x-1时，f (x)的左极限是2,右极限也是2。2 .当x-00时，函数f (x)的极限(1)当Xs时，函数f(X)的极限 y=f(x)x 0°f(x) f?y=f(x)=1 + xoof(x)=1+ - 1定义对于函数y=f (x),如果当x-s时，f (x)无限地趋于一个常数 A,则称当

14、x-00时，函数f (x)的极限是A,记作'或 f(乂)7a (当 xs时)(2)当x-+s时，函数f (x)的极限定义对于函数y=f (x),如果当x-+s时，f (x)无限地趋于一个常数 A,则称r、一 r *、rr / tv. , * llfil f =4当x+°0时，函数f (x)的极限是A,记作*tr这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n-+s白n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出 x-+s,且其中的x不一定是正整数，而为任意实数y=f(x)x 7+oof(x)x 一?f3 = 2 +7x7+oo, f(x)=2+ 52lim (2 + 色-工)

15、=2例：函数 f (x) =2+e-x,当 xf+°0时，f (x) 7 ?解：f (x) =2+0x=2+",X7+oo.f (x) =2+ -2lim (2+ 一*)= 2 所以.7种(3)当x-s时，函数f (x)的极限定义对于函数y=f (x),如果当x-s时，f (x)无限地趋于一个常数 A,则称-OO时，f (x)的极限是A,记作lim /(x) = JX7% 'xoof(x) ?则 f(x)=2+ A (x < 0) x7 oo,-x +OOf(x)=2+ 太-2班(2 +表) = 21例：函数- n ,当 xf-°0时，f (x) 7

16、 ?解：当 x - 00时，-x+OO/=：+之-2,即有现Q +白=2由上述x00, x+°0, x-00时，函数f (x)极限的定义，不难看出：x-00 时f (x)的极限是A充分必要条件是当x+8以及x-oo时，函数f (x)有 相同的极限Ao/(k) = 1 + 例如函数" 当x-s时，f (x)无限地趋于常数1,当x-+s时，f (x)也无限地趋于同一个常数1,因此称当x-s时,aAJ.的极限是1,记作 lim (1+3=1 2g 耳其几何意义如图3所示。f(x)=1+ ;Lim (1 + 1)-1Lim (1 + 1)-1iw xlim (1)=1中Ky=arc

17、tanxlim arctanx = "-, lim arctanx=xT-«2 k->-hb2li里 arctanxI8不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有.下载可编辑lun ardan-JiTT12lim arctan x = 即虽然当xf-0°Wf（X）的极限存在，当Xf+°°时，f（X）的极限也存在,但这两个极限不相同，我们只能说，当xoo时，y=arctanx 的极限不存在。x)=1 + ；Hm fl+ 1)-1KT" 耳觊a+3-ilim (1 +，)三 120° Xy=arctanxlim ar

18、dar jc=-. litr a_ctanx= j(-4-«22不存在。. lim arctan但是对函数y=arctanx来讲，因为有hn arVtanx=-沁 arctaix=2H怆£即虽然当xf-°°Wf （x）的极限存在，当X+00时，f （x）的极限也存在,但这两个极限不相同，我们只能说，当x00时，y=arctanx的极限不存在。（四）函数极限的定理定理1.7 （惟一性定理）如果 /国存在，则极限值必定惟一。定理1.8 （两面夹定理）设函数|八町田/在点出I的某个邻域内（而 可除外） 满足条件：（1）则包标帖）,|期闲嗽.,lim= A则有。

19、注意：上述定理1.7及定理1.8对X Tg也成立。F面我们给出函数极限的四则运算定理liraHm /t Jim 目=I%1%(1)(2)(3)定理1.9如果黑加二六喂加卜月则Lm /(jt) - g(： - (lim /(J) -(lim 盾匕 AB时,时,上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：,、匕叫土工土打讣同加I;同加±,土1叱工（1）一 1皿匕JX Hm/（3）用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的 极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于卜R的情形也都成立。（五）无穷小量和无穷

20、大量1 .无穷小量（简称无穷小）定义对于函数”拎）,如果自变量x在某个变化过程中，函数五）的极限为零, 则称在该变化过程中，/（AJ为无穷小量，一般记作lim /伏）=0 常用希腊字母:,来表示无穷小量。定理1.10函数了“，以A为极限的必要充分条件是：可表示为A与一个无穷小量之和。limA o f（x）= A + a小无史，W注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势 无限趋于为零。（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不 是无穷小量。（3） 一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变 化过程中，同一个变量可以有

21、不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如：一 ' ： 一.% *-5工一> SLTLT-H2x - 0口加工振荡型发散k"匡144JB I 一I B i = r4、- I1+1、34、（4）越变越小的变量也不一7E是无分小量，例如当x越变越大时，黑就越变越小，但它不是无穷小量。（5）无穷小量不是一个常数，但数“ 0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因 hm 0 = 0为叱 。2.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量 3电（或s）时，产的绝对值可以变得充分大（也即无 限地增大），则称在该变化过程中，/为无穷大量。记作 2*。注意：无穷大（8）不是一个数值，“8”是一个记

22、号，绝不能写成无二8或一对=°° 3.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理1.11在同一变化过程中，如果/比）为无穷大量，则转 为无穷小量；反之, 如果/任）为无穷小量，且了"°,则而为无穷大量。工 * 1 口琦=- 当厂无穷大S,八 班=一二（T”无力小当工一如/为无穷小 卜一如 _L=_L=u /w白" 无穷大4 .无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷 小量的乘积是无穷小量。Um - sin = 0 m

23、界xsin < 1 x性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5 .无穷小量的比较定义设?是同一变化过程中的无穷小量，即a二0. 1如0二°(1)如果山7="则称口是比方较高阶的无穷小量，记作 吁。; 如果"呜="。则称s与川为同阶的无穷小量；(3)如果11mA二则称I。与/为等价无穷小量，记为同；lim 巴8(4)如果1m万”则称度是比/较低价的无穷小量。当lim= hai(3-x) = 35J xwOlim->二 111110x4/) = 0工4口 xT耳4- 4Ji->0 X X

24、T。五十 /或R > 0)"人名/均为无穷小量,又有，m等价无穷小量代换定理: 如果当时'：'' ： 1,hm = lim 存在，则间 5) 小比乙户均为无穷小又有"y小这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意: 等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用 常用的等价无穷小量代换有:当时,sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;(六)两个重要极限I .重要极限I重要极限I是指下面的求极限公式一下载可编辑. sin r . tar x . arc sin j .II ?n= 1 li m= 1

25、Um = 1.tan a. sin z 1hm= lim国今口 彳xtU xccssin x 1=1】m limXTO 工 "。8£工=1 arc sin x ,11 m= 1xfQ x令"。51口工=上5皿=1x -04 -0Htn lix lim= 1x->。 X 1口 疝 t I。工 sin；0这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的 0型的极限问题。Um £W=i其结构式为：或M何而£LG(4=1).hm f-1 一 L7J- J:皿吧= 5堡史史宜Hil X- rl 5 + 1)卜- .jT】-liai1t rt2.重要极限n重

26、要极限n是指下面的公式：lim（1 + ）K -en->® nhm（l +=1limi.1 +t> = 9T。,叫自然对数的底，它的值为其中e是个常数（银行家常数）e=2.718281828495045其结构式为：L：im （+飙工）软"9e守TU0重要极限I是属于8型的未定型式，重要极限II是属于“产”型的未定式时, 这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。（七）求极限的方法：1 .利用极限的四则运算法则求极限；2 .利用两个重要极限求极限；一下载可编辑 .3 .利用无穷小量的性质求极限；4 .利用函数的连续性求极限；5 .利用洛必

27、达法则求未定式的极限;6 .利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式lHin?=a昆li m = 0(3)='人8(博 > 21- - lim (Iy)1 A -1|J T7CQ XLm t= Lm X=-1Tg婷 4 K 118升1 lim (3x Jtr 的 X例5.用重要极限I求极限 :(4.、.一.例1.无穷小量的有关概念(1) 9601下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是12疝n -(X - 0) T, ,门、A. J 'b."(3O)一下载可编辑# . 3 w _虫CUCDD.f答CA.5in-x 工发散i_ i 一一团/工>0XI ttO

28、+lT+cqx r+ujx11 f里D.l-g在厂(2) 0202当、t。时，以1+ #与x比较是A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量答B解：当X T 0 ,皿1 + 6与X是KT °Jn(1+幻”工. . 1_ 1Ine = 1Um -= Itm lim Infl+H 产=ln Li tnrO h 一D 上2U'-极限的运算：Luu -0611 rw 工十:解:dtn(s+l) 0+1 r-*0答案-10例2.0型因式分解约分求极限r-i-3 5工上十齐一6 ,(了43)(工一2)Jim v= lim - = lim解:tN / 一

29、 4r-*2(T+ 2X- 2) xtNx + Z 4(2) 0621计算limxt 2-4 答4解:(1) 0316计算解：A? X-Lur一口(S -、空-J”(i-2)(石+心.J 3. (ji 2)(J( . j 5I HD-= JUm=一rJ如 4 0 4例3型有理化约分求极限j- 2,:=hm w二 卜塔一=-:9(区-观或+2(正-的)_ 19516解:1,2(k4)(J.一2ktd (x+ 马lim .(必41 4目_4/_26一行一亍时求oaca型的极限答询limsin x11 mI 口 x=1 Um空"三1K»to 双琦(1) 0308 一般地，有0(打

30、v萨1.(1) 9603下列极限中，成立的是sm x 1li mt IA. 一 ,，- S1EL X "lim -= 1C.i / sin x qlim= 1答B(2) 0006SLtl(T- 1)Lm 即 T)Il + 5工-6. sifitx-1), sin(7-1)=Ji in ,： - lim+ 5x5 /t1a 6)(方=。 cL 胃"6mtI x-11工+ 6d. tan # thm= 1B.下载可编辑7例6.用重要极限II求极限1.-Li1nl。-产二七Lm(1+矶工'E门三台仪”4安 矶到PUH(1) 0416计算2 limQ + T* 工xx2解析

31、解一：令二工 TOO/ t。111111(1=/fT 口解二:原式=lim (I + 三)5a=lim(l+-)2j-wt>lim田产=/ 居今g x0306】im (1-0601(2) 0118计算JCTCO x解:原式=lim。一产=LIfo X例7.用函数的连续性求极限答00407解:/二明+/),冽力二(-3,lim ln(lH工2) = In(1 + 0) = 0KfCl例8.用等价无穷小代换定理求极限.1 - C弁工0317答0解：当X ->0,1-COS M 2原式-Um - J lim - - - C4+ sinjt 2 j->D i an A上例9.求分段函

32、数在分段点处的极限(1) 0307设 上。+立胃口则小)在钎。鬲左极限嚼M)=- 答1*0 0= lim /0)= lim 3 + 1) = 1解析-丁 Zy(0+0) = lien _/(/)二 切口 111(1+4二口 T。*IT。*:口"+l苏V。 .I(2) 0406设一上"。口，则圈," 答1/ (0 - 0) = lun /(z) = lim (xz +1) = 1解析1。-_f(0 + 0) - lim j(j) = hm co"=ljitO*v/(D-0) = /(0+0) = llim，=1Xf 口例10.求极限的反问题1 4.+ 匕

33、¥& _ 匚j _(1)已知方一则常数第二解析解法一：帆百”如即1+上+6 = 0 ,得兀=-了解法二：令户+匕+6=27。+2=/+/-6-制，ffn = k得=6 ,解得止=-7.解法三：(洛必达法则)/十丘4b , 2工+上快=一譬二5,即一(2 +后=5,得I .*.+ du?-i-Ah m= 3r若3$皿/-D求a,b的值.o解析6型未定式.一下载可编辑.于是前面我们讲的内容:廿 (X 1+311 LU- 11CQ -工T1 即- I+1+ 极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数

34、的连续性复习考试要求1 .理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处连续性的方法。2 .会求函数的间断点。3 .掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4 .理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要知识内容(一)函数连续的概念1 .函数在点X0处连续定义1设函数y=f (x)在点xo的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 x (初值为xo)趋近于0时，相应的函数的改变量 y也趋近于0,即lim 矽 Q或*则称函数y=f (x)在点xo处连续。函数y=f (x)在点xo连续也可作如下定义：

35、定义2设函数y=f (x)在点xo的某个邻域内有定义，如果当xx0时，函数y=f(x)的极限值存在，且等于xo处的函数值f (xo),即limi上D定义3设函数y=f (x),如果曾")"八/L则称函数f (x)在点冷处左连续； 如果则称函数f (x)在点X0处右连续。由上述定义2可知如果 函数y=f (x)在点xo处连续，则f (x)在点xo处左连续也右连续。2 .函数在区间a , b上连续定义如果函数f (x)在闭区间a, b上的每一点X处都连续，则称f (x)在闭 区间a, b上连续，并称f (x)为a, b上的连续函数。这里，f (x)在左端点a连续，是指满足关系：

36、吃代,在右端点b连续， 是指满足关系：既=9),即f(幻在左端点a处是右连续，在右端点b处 是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3 .函数的间断点定义如果函数f (x)在点xo处不连续则称点xo为f (x) 一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若 f (x)在点xo处有下列三种情况之一：(1)在点xo处，f (x)没有定义；(2)在点xo处，f (x)的极限不存在；(3)虽然在点xo处f (x)有定义，且既”工)存在，但用丁/丁0)则点xo是f (x) 一个间断点。父 - L-,则 f (x)在A.x=o,x=1处都间断B.x=o,x=1处都连续C.x=o处间断，x=1处连

37、续D.x=o处连续，x=1处间断解：x=o处,f(o)=o邦1)=1岫* -1) = -1 f(fl + 0) =f(o-o)? f(o+o) x=o为f (x)的间断点 x=1 处，f (1) =1/(J -0)- lim / (x) - lim x -1 HZ/Q + ) = lim /(x) = lim(2 -z) = 1f (1-0) =f (1+0) =f (1)f (x)在x=1处连续答案C正+Z 2了*1,q9703设几斤。，在x=0处连续，则k等于iLA.0 B. C.二 D.2分析：f (0) =klim /X#)-2 t xkCJx+4+2)Tim一一 =-工(后I+ZJ

38、4心= hm/1 EQ三答案B例30209设 心十天 加 在x=0处连续，则a=解：f (0) =e0=1/(O- 0)= lim，= 1I/(+0)= lim y(x) = 1rlm g + #) = .f (0) =f (0-0) =f (0+0).a=1 答案1(二)函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下 列连续函数的性质。定理1.12 (四则运算)设函数f (x), g (x)在X0处均连续，则(1) f (x) 土 g (x)在 X0处连续(2) f (x) g (x)在 x。处连续(3)若g (x0) #0,则喏在x0处连续。一下

39、载可编辑定理1.13 (复合函数的连续性)设函数u=g (x)在x=xo处连续，y=f (u)在uo=g (xo)处连续，则复合函数y=fg (x)在乂=乂。处连续。在求复合函数的极限时，如果 u=g (x),在xo处极限存在，又y=f (u)在对应 的二出力冢工)处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即.T %/Ihm式力卜2乎= /Litn 欧工)=汽网). T为上今心定理1.14 (反函数的连续性)设函数y=f (x)在某区间上连续，且严格单调增加(或严格单调减少)，则它的反函数x=f-1 (y)也在对应区间上连续，且严格 单调增加(或严格单调减少)。(三)闭区间上连续函数的性质在闭区间a , b上连续的函数f (x),有以下几个基本性质，这些性质以后都要 用到。