【高考数学大题精做】专题03三角函数中的实际应用问题(解析版)

1、【高考数学大题精做】第一篇三角函数与解三角形专题03三角函数中的实际应用问题对应典例以解三角形为背景借助正余弦定理建立函数关系典例1以三角形面积为背景借助基本不等式求解最值典例2以三角函数图象为背景探求实际问题的最值典例3以组合图形为背景考查解三角形的实际应用问题典例4以三角探究性问题研究方案的可能性问题典例5以实物为背景建立三角函数关系借助导数求最值典例6以实际方位为背景考查二角函数求值与二角实际问题典例7【典例1】【山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期末 】如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC, A 90°, BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D

2、引出两条成45°的线段DE和DF,与AB和AC围成四边形区域 AEDF ,在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设 BDE ，试求花卉种植面积 S 的取值范围.1 / 23BE13 【解析】在4BDE中，/ BED=，由正弦定理得sin .34 sin 一44BEsin.3sin 4在 ADCF中,FDCCFDFC,由正弦定理得热34sin ，CFS BDEsinsinS DCFBF CFsin.3sin 一4BEsinBDsinsinsin 一4CD sin 4.3sin - cos43.cos- sin412143 / 23.3sin cos4sin3.cossin4、.2 si

3、ncos sincos sin2 sin2sin21sin 24 、2 sin cos sin2 sin2 cos2 2 4 2sin cos 2 sin21 sin 2 cos2 22 sin 2 cos 21sin 2 cos2 122sin 224S ABC S BDE S DCF2 .2sin 24 4AEDF为四边形区域,sin 221 11s 1 夜sin 2,i , S 1 ,4242花卉种植面积S 取值范围是 1,1 .42【典例2】【江苏省盐城中学 2018届高三上学期期末考试数学试题】我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为 S (平方米

4、)的37k 於兀，再把矩形AMPN矩形健身场地，如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知 ACB 60 ,AC 30米，AM x米，x 10,20 .设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为卷，元(k为正常数)9 / 23(1)试用x表示S ,并求S的取值范围；(2)求总造价T关于面积S的函数T f S ;(3)如何选取 AM ,使总造价T最低(不要求求出最低造价)【解析】(1)在 Rt PMC 中，显然 MC 30 x, PCM 60 ,PM MC tan PCM 百 30 x ,矩形AMPN的面积SPMMC、3x 30 x

5、,x 10,20于是200掷 S 225了 为所求(2)矩形AMPN健身场地造价T 37k4s_12k _ -又 ABC的面积为450掷，即草坪造价丁2 飞 450V3S 2253由总造价T T1T2, T 25k S 216、30 3sQ JS216S3 12 命当且仅当Vs 驾乂3即s 216 J3时等号成立，此时,、.s73x30 x216/3 解得 x 12 或 x 18答：选取AM的长为12米或18米时总造价T最低.【典例3】【辽宁省普通高中 2019-2020学年高三上学期学业水平测试数学试卷】如图，某市拟在长为 8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OS

6、M,该曲线段为函数y Asin x(A 0,0) , x 0, 4的图象，且图象的最高点为 S(3,2 J3);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定 MNP 1200.(1)求点M的坐标;(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长?【思路点拨】(1)利用图象分别求得周期和 A的值，进而求得最后得到函数解析式，即可求得 M的坐标.(2)设 PMN,利用正弦定理表示出 NP10 .3 .sin , MN3逅sin 603,即可表不出NP MN ,用两角和差的正弦公式化简，根据三角函数的性质求得最大值 _ T _2解：(1)由题意知A 2J3, 3, T ，42 一y 2舜s

7、in -x .当 x 4时，y 62sin一 3, . M (4,3).3(2)连接MP,如图所示.又 P(8,0) , MPJ( 4)2 325-在 ZXMNP 中， MNP 120 , MP 5.设 PMN ，则 060 ,MP NP MN : .sin120 sin sin 6010 ,310 .3 .NP sin , MN sin 6033NP MNsin逅sin 603310,S 1 .sin32、3cos210-3 .sin360 060 ,6010 .336060120 ,103 .sin3，当 30时，折线段赛道 MNP最长.所以将 PMN设计为30时，折线段赛道 MNP最长.

8、【典例4】【河北省邢台市 2019-2020学年高三上学期第二次月考】某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆。的直径为300米，A为直径延长线上的点，OA 300米,B为半圆上任意一点，以 AB为一边作等腰直角 VABC ,其中BC为斜边., 21若 AOB 一；，求四边形OACB的面积； 32现决定对四边形 OACB区域地块进行开发，将VABC区域开发成垂钓中心， 预计每平方米获利10元,将VOAB区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当 AOB为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？【思路点拨】, 21计算 AOB 时VAOB和VABC的面积，求和得出四边形 OABC的

9、面积； 32设 AOB ,求出VAOB和VABC的面积和，得出目标函数的解析式，再求该函数取得最大值时 对应 的值.2解：1当 AOB 时，3SVAOB -OA OB AOB - 300 150 11250石（平方米）;222在VOAB中，由余弦定理得，_ 2_22AB OA OB 2OA OBcos AOB 157500；12SVABc AB 78750（平万米），2四边形OABC的面积为Sg边形 OACBSVAOBSVABC1125073 78750（平方米）;所以SVAOB1一.OA OBsin20,AOB1 _300 150 sin 22500sin ，2在VOAB中,由余弦定理得,A

10、B2 OA2OB2 2OA OBcosAOB 112500 90000 cos ;SVABC1 2-AB 256250 15000cos不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元,则有y208VAOB108VABC ；3# / 23化简得 y 450000sin56250 450000cos45000072sin 562500 ；43因为 0,所以当 时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大.4【典例5】【广东省汕头市金山中学 2018-2019学年高三上学期期末】汕头市有一块如图所示的海岸，OA, OB为岸边，岸边形成120角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l：在岸边OA,

11、 OB上分别取点E, F ,用长度为1km的围网依托岸边围成三角形 EOF （ EF为围 网）.方案2：在 AOB的平分线上取一点 P,再从岸边OA,OB上分别取点 M , N，使得 MPO NPO用长度为1km的围网依托岸边围成四边形 PMON （ PM , PN为围网）.记三角形EOF的面积为&,四边形PMON的面积为82 .请分别计算S, 8的最大值，并比较哪个方案好.【思路点拨】2中，利用正弦定理和三角函数的性质求出面方案1中，利用余弦定理和基本不等式求出面积最值，方案 积最值，然后比较大小，即可得哪种方案好解：方案 1：设 OE a km, OF b km ,在 EOF 中，

12、由余弦定理得： EF2 OE2 OF2 2OE OF cos EOF , 即 12 a2 b2 2a b cos22 21a b a b 2abab3ab （当且仅当ab 时等号成立） 3121S1-absin-2323.312（当且仅当ab 时等号成立）3,S1最大值为km2.12方案2:在 MPO中，由正弦定理得:POsin PMOPM即 sin POMPO sin 12012,sin 60PO -sin3120,S2 PM PO sin立 sin 1206sin1 . sin sin 2、33 .sin621. 2cos -sin2逃避sin2 1221 cos2、.3 .3 .sin1

13、221一 cos22243 .一sin126241233248（当且仅当一时等号成立）， 3S2最大值为.3.3 七冷 ,.方案 2好.128【典例6】【江苏省苏州市 2019-2020学年高三上学期期中数学试题】如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ,下部是一个矩形 ABCD ,圆弧CD所在圆的圆心为测量AB 4米，BC 巫米， COD 120 ,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形 3EFGHO,经,其中E, F在边AB上，G, H在圆弧CD上.设 OGF ,矩形EFGH的面积为S.11 / 23(1)求矩形EFGH的面积S关于变量的函数关系式;(2)求cos为何值时，矩形 EFGH的

14、面积S最大?【思路点拨】(1)结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形(2)对S关于变量。的函数关系式进行求导思路点拨，算出果.解：(1)如图，作OP CD分别交AB , GH于M, N, 由四边形 ABCD, EFGH是矩形，。为圆心， CODEFGH的面积S关于变量。的函数关系式；S 0时的cos的值，三角计算即可得出结所以 OM AB, ON GH , P, M, N 分别为 CD , ab , GH 中点， CON 60 ,在 Rt COP 中，CP 2, COP 60 ,313 / 23所以 OC 4V3, OP3所以OM OP PMOP BC在 Rt ONG 中，GONOGF

15、,OG OC所以GN4 V3sin 3473 cos , 3所以GH2GN8 一 .3 sin3,GF MN ON4 -OM- 3 cos3，所以GFGH一 3 cos 3,J383 sin 338一(4cos 31)sin所以S关于的函数关系式为:8(4cos31)sin(2)由（1）得：S - 4cos324sincos因为St7t28coscos0 ，得 cosi .12916cos11290,16所以S0,得00,即S在0, 0单调递增,0,一单调递减3所以当0时，S取得最大值,所以当cos1129时,矩形16EFGH的面积S最大.【典例7】在某海滨城市附近海面有台风，据监测，当前台风

16、中心位于城市O （如图）的东偏南(cos也）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45 10方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?19/23【解析】设在t时刻台风中心位于点 Q,此时|OP|=300, |PQ|=20t,台风侵袭范围的圆形区域半径为10t+60 ,由cos2 ,可知sin10彳k二,10cos/ OPQ=cos( ®450)= cos 04coS+5in 0 sin4=j 5在4OPQ中，由余弦定理,222_ |OQ| |OP | PQ | 2 |OP | | P

17、Q | cos OPQ224= 300(20t)2 300 20t 5二 400t2 9600t 90000若城市。受到台风的侵袭，则有|OQ|Wr(t)即2 一42400t9600t 90000 (10t 60),整理，得 t2 36t 288 0，解得 12wtw24,答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭 .【针对训练】1.【江苏省徐州市2019届高三上学期期中质量抽测数学试题】某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域(区域I)设计成半径为1km的扇形EAF ,中心角EAF .为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区(区域H)和休闲区(区42域山)，并将外围区域按如图所示的方案

18、扩建成正方形知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是二FC；/、皿； 一IC R(1)要使观赏区的年收入不低于 5万元，求 的最(2)试问：当 为多少时，年总收入最大？【思路点拨】(1)由 AF AE 1, AD AB , D B一 _ _ _1 冗,一,可得 DAFBAE ，根据面积公式，2 2要使得观赏区的年收入不低于 5万元，则要求 4 _1 _ _(2)由题意可得种植区的面积为 Si AF AE2入为W()力兀，则ABCD ,其中点E , F分别在边BC和CD上.已 10万兀、20力兀、20力兀.一大值；花一,所以 ADF与ABE全等.2 11可求得观赏区的面积为Sn2-DF?

19、AD- cos2251.一，解不等式即可求出结果.20 41 ,正方形面积为S AD2 1 sin ,设年总收 22W( ) 10S 20Su 20Sm10 10sin 5 ,利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果【解析】，八一一一，一f一冗一一.一(1) AF AE 1, AD AB, D B ,所以 ADF 与 ABE全等.2所以DAF_ _1 冗，一 一，BAE ，观赏区的面积为2 2Su2 2DF八八1?AD sin DAF ?cos DAF sin 221 DAF sin21一 cos2,要使得观赏区的年收入不低于51 一5万兀，则要求Sn 一，即cos20 4一可知一大值为.3

20、(2)种植区的面积为Si1AF AE , 2正方形面积为S AD22cos DAF1,21 cos2 DAF1 sin设年总收入为W()万元，则W()10s20Sn 20Sm 10s20(S201 sin1010sin, 冗其中一4.求导可得W()210cos5.时，W ( ) 0 , W( 3)递增;冗r ,一时,2W()0,W()递增.35 / 23所以当2.【河北省衡水市深州市长江中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学】.时，W()取得最大值，此时年总收入最大 3如图，有一块边长为1 (百米)的正方形区域 ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ始终为45 (其

21、中点P, Q分别在边BC , CD上)，设BP= t (百米).(1)用t表示出PQ的长度，并探求 CPQ的周长l是否为定值;(2)设探照灯照射在正方形 ABCD内部区域的面积为 S (平方百米)，求S的最大值.【思路点拨】(1)求出CP 1 t ,设 PAB ,表示出DQ和CQ ,由勾股定理即可求出 PQ ,再求出周长L,即可判断是否为定值;(2)由S Se方形 ABCDS ABPS ADQ求出面积S,由基本不等式即可求出面积的最大值.解:得CP则 DAQ 45,DQtan 452ttPQ22,CP2 CQ22(1 t)22t1 t2CP CQPQ2t1 tt22,是定值;(2)SE方形 A

22、BCDS ABPS ADQ由于1 t2 折，当且仅当-时等号成立,故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为2五平方百米.3.如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y Asin( t ) b,已知某摩天轮的半径为50米，点。距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每 3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.(1)根据条件写出y (米)关于t (分钟)的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？【解析】2(1)由题设可知 A 50, b 60,又T 3,一 2一 -所以 一，从而>' =+ ) + 603.27r再由题设知 t 0时

23、 y 10 ,代入'=50 5；11(1-，+) + 60 ,3得sin中=T ,芯2兀从而。二一二，因此 A= 60-50cos > 0);2 3(2)要使点p距离地面超过85米，2/则有 y = 60-50cos-f >S5 ,J2711 八 2 软t r即 - -, -“."&,3 23 ,口 2冗 工式, 小日一r解得二T才 <-P(f >0). IP:1 < r <2 ,333所以，在摩天轮转动的一圈内，点p距离地面超过85米的时间有1分钟.4.【山西省长治市第二中学 2019-2020学年高三11月月考】如图，在VABC

24、中，已知AB 1,BC 2, ABC 60 , M为BC中点，E, F分别为线段AB, AC上动点(不包括端点)，记 EMB .(1)当 EM FM时，求证：EM 掷FM ;(2)当 EMF 60时，求四边形 AEMF面积S关于 的表达式，并求出 S的取值范围.【思路点拨】(1)用余弦定理和勾股定理逆定理证得ABC是直角三角形，然后用正弦定理求得 EM,FM后可证结论成立;(2)用正弦定理求出 BE,CF ,求出 BEM和 CFM的面积，四边形 AEMF的面积就等于直角三角形ABC的面积减去这两个三角形的面积，从而得S()，在直角三角形中得出 0<九 一一 一 一，、9< 一,用导

25、数可求得S()3的单调性，得其取值范围.解：(1)在VABC中，根据余弦定理得 AC2 14 2 12 cos60 3,故BC2AB2 AC2，因此 BAC 90 , ACB30 .当EMBMFM 时，在 BEM 中，-一； sin 60EM sin60 '即EMsin60 sin 603、3cos sin在 4CFM 中，CMF90, CFM60CMsin 60FM sin30 '即FMsin 30sin 6013 cos sin故 EM 、.3FM(2)当 EMF60时，在ABEM中,BE sinBEsinsin 60sin 60在zCFM中,CMF 120, CFM 30

26、CF, sin 1201sin 30即CFsin 120sin 301 1八故 SVBEMSVCFMBE sin60 CF sin302 213sinsin1204sin 60sin30、3sinsin1204sin 60sin30% 3 2 -3 奈所以四边形AEMF面积S()SVBEMSVCFM、31cos2 1-0-42.3 2sin23S()0,2(cos2 1) Z3sin2(,3 2sin2 )2故鼠）在0,-上单调递减,5.平潭国际 花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间t0 t 24,单位小时 呈周期性变

27、化，某天各时刻 t的水深数据的近似值如下表：t03691215182124y1.52. 41.50. 61.42.41.60.61.5（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 y Asin ty y Acos tb, y Asin t b（A 0,0,0）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）为保证队员安全，规定在一天中的518时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全【思路点拨】（1）先画出散点图，可知选作为函数模型，同时可求出各参数，, max m

28、in 八 max min .2b , A ,T ,代入最值点可求.229 .3（2）由（1）知：y sin t一，令y 1.05,结合t的氾围5 t 18,可解得5 t 7或11 t 1810 62【解析】解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：依题意，选y Acos tb做为函数模型,2.4 0.69,2.4 0.6 3A 一，b T 12210222T 6 '913y cos t1062一 .9一又Q函数图象过点（3,2.4）,即2.4 cos 3106cos 20,cos t 1062sin 一t2 106（2）由（1）知：，yIsin -t10一 93令 y 1.05,

29、即 一sin t - 1.051062i+1sint622k - -t 2k k Z 66612k 1t 12k7又 Q5 t 185t 7或 11t18，这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全6.在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h,低潮时水的深度为 8.4m,高潮时为16m, 一次高潮发 生在10月10日4:00,每天涨潮落潮时，水的深度 d（m）与时间t（h）近似满足关系式d Asin t h A 0,0,.2（1）若从10月10日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系.（2）

30、10月10日17:00该港口水深约为多少？（精确到0.1m）（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m?【思路点拨】（1）设d Asin t h ,利用低潮时入口处水的深度为8.4m ,高潮时为16m ,求出h, A,利用两次高潮发生的时间间隔 12h,求出周期，从而求出 ，再求出 ，即可得到这个港口的水深 d m和 时间t h之间的函数关系；（2） 10月10日17:00,t 17 ,代入解析式即可求出水的深度； （3）解不等式d 3.8sin -t 12.2 10.3,即可求出10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于6610.3m.一 ，、一.2k ,718.1 I

31、16解析：（1）依题意知 T =12,故h = -=12.2,A= 16-12.2 = 3.8,所以 d= 3.8sid-+/)+122+ 12.2.又因为t=4时，d=16,所以 心+ 41，所以看'所以d=3.8si17 717、 cc.Zji .,、(2)t=17 时,d=3.8sin一 1+ 12.2 = 3.8sin+ 12.2 = 15.5(m)(3)令 3.8sin12.2V 10.3,有 siv F，因此 2k 叶匚士 v±t 占< 2k 计 UA (ke Z),所以 2kTt+<2Lt< 2k %+ 2 兀，ke Z, 6bb63 b所以

32、12k+8vtv 12k+12.令 k= 0,得 t C (8,12);令 k= 1,得 tC (20,24).故这一天共有 8 h水深低于 10.3 m.7.【河北省衡水中学 2019届高三上学期六调考试】如图所示，某镇有一块空地OAB,其中OA 3km, OB 3 J3km , aob 90o .当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点， 拟在中间挖一个人工湖 OMN，其中M , N都在边AB上，且 MON 30°, 挖出的泥土堆放在 OAM地带上形成假山，剩下的 OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在 OAN 的周围安装防护网.3(1)当AM km时，求防护网的总长度；

33、2(2)为节省投入资金，人工湖 OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 OMN的面积最小？最小面积是多少？【思路点拨】(1)证明 OAN为正三角形，可得 OAN的周长为9,即防护网的总长度为 9km；(2)设 AOM=,在 OAM和 OAN中使用正弦定理求出 OM , ON ,得出 OMN的面积关于 的函数，利用三角函数恒等变换化简，得出面积的最小值【详解】(1) Q 在 OAB 中，OA 3, OB 373, AOB 90°,OAB 60°,60°,由余弦定理，得OM3.3OM 2 AM 2 OA2，即 OM AN ,AOM30° ，OAN为

34、正三角形,所以OAN的周长为9,即防护网的总长度为 9km.(2)设 AOM0°9 60°AON30°,OMA120°OMA 90°又在n AOM中,OMsin60°OA中，得OM sin 602sin3.3°60在n AON中，由ONsin60°sin0A-得ON旭, 902c°s 0C1S OMN 1 0M2ON sin30°16sin2760° c°s2713、38 -sin2 c°s2 222278sin 2 60° 4.3当且仅当260° 90°,即27 215°时，OMN的面积取最小值为3