【2021高考数学压轴题】9、恰当分类搞定含参讨论问题(2)

1、2021高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第一篇函数与导数专题03由“导，寻"源二 妙解函数不等式一.方法综述对于仅利用函数的奇偶性、单调性即可求解的不等式问题，师生己有应对的 良好方法，重在应用转化与化归思想，转化成解答具体不等式或不等式组问题. 在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数、导数、不等式交汇的重要题型, 这类问题由于涉及抽象函数，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障 碍，不能从容应对不等式的求解问题.实际上，根据所给不等式，联想导数的运 算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通 法.常见的构造函数方法有如下几种:(1)利用和、差

2、函数求导法则构造函数对于不等式 f(x)+g，(x)>0QKv0),构造函数 F(x) = f(x)+g(x)；对于不等式f(x) g，(x)>0(或0),构造函数F(x) = f(x)g(x)； 特别地，对于不等式f(x)>k(或<k)(k#0),构造函数F(x)=f(x)(2)利用积、商函数求导法则构造函数对于不等式 F(x)g(x) + f(x)g，(x)>0(或0),构造函数 F(x)=f(x)g(x)；对于不等式 F(x)g(x)f(x)g，(x)>0(或<0)，构造函数*,、)=竽(武力工。).A? (x J(3)利用积、商函数求导法则的特

3、殊情况构造函数对于不等式4。)+f(x)>0(或VO),构造函数F(x)=a/W；对于不等式W(x) f(x)>0(或0),构造函数/(月=久义(大工0)；对于不等式.(X)+械(刈>0(或V0),构造函数F(x)=x"/(X). 9对于不等式W(x) (x)>0(或0),构造函数尸(x)=二("0);对于不等式？(X)+ f(X)>0(或(0),构造函数F(X)= exjx);对于不等式f(x)f(x)>0(或(0),构造函数/(力=42：对于不等式 f(x)+f(x)tan x>0(或<0)，构造函数 F(x) = sin

4、 xf (x)；对于不等式f(x)fxMaii x>0(或<0),构造函数产(工)=1侬11%a0)； sinx对于不等式f(x) f(x)tan x>0(或<0),构造函数F(x)= cosM(r)；对于不等式f(x)+f(x)tan x>0(或<0),构造函数尸(x)=2&cos%w0). cos X(理)对于不等式？3)+歹*)>0(或0),构造函数F(x)=*/(x)；(理)对于不等式F(x)的幻>0(或<0),构造函数尸("=坐2；二.解题策略类型一构造具体函数求解【例1】【2020届河北冀州中学期中】已知函数/

5、是定义在A上的可导函数，对于任意的实数x,都有卫=/,当XV0时/*) +./8)>0,若e"(2a + l)对3 + 1),则实 /U)数。的取值范围是()A. 0,B. -.0JJC. 0, +x) De (-00 , 011/14【答案】B【解析】X，- - = exf(X) = e-xf(-x)，令 g(x) = exf(x),则 g(-x) = g(x)，当 xv0 时 f(x) + r(x)>0 ,二 g(X)= exf(X) + r(x)>0,即函数 g(x)在(to,0)上单调递增,g(x)在(0,+OD)上单调递减，g(2a + l)g(a + l

6、)，I2a + ll" + ll，解可得，-|w“wo，故选【指点迷津】对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等 式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数 的性质单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、 简单，这也体现了数形结合思想的应用.对于复合函数问题，先换元,再构造函数， 是常用的方法.【举一反三】【2020年河南信阳一中期末】设/是偶函数x)(xhO)的导函数，当 xe(0.+8)时，才则不等式”(x+2019)-(x + 2019)"(-2)<0 的解集为()A. (十,202

7、1)B. (-2021 , -2019)<J(-2019 , -2017)C. (-2021,-2017)D. (-a , -2019)0(-2019 , -2017)【答案】B【解析】由题意 a/V)-2/(x)>0(x>0),得 丁 ,- 2xf(x) > 0 ,进而得到 X /'( '=2 Vz > 0 , X令尸)=42,则尸叱入小丁。, 厂AF(x + 2019) =/(x+2019)3 + 2019)2由 4/(x + 2019)-(x + 2019)2/(-2) <0，得了(x + 2019) </(-2).+2019)2

8、4R|J F(x + 2019)<F(-2),所以当xe(0.+8)时，Ff(x)>0 ,所以F(x)在(0.饮)是增函数.因为函数幻是偶函数，所以尸(幻=要也是偶函数，且尸在(yo,0)上是减函数, X-所以IX + 2019lv2 ,解之得2021 <x<-2017,乂 x + 2019工0， 即 xh-2019 ,故xe(2021 , -2019)LJ(-2019 , -2017),故选3.类型二构造抽象函数求解例2 2020届江西新余渝水一中期末】定义在A上的函数/a)满足 eV(x+2) = .f(-x),且对任意的都有尸3 + 2f(x)>0 (其中尸

9、(x)为/(力的导数),则 下列一定判断正确的是()A.ef(2)>/(0)B.e2f (3) >f (2)C.e6 f(3)> /(-I)D.el0f (3) > f(-2)【答案】B【解析】设 F(x) = /(x),贝 r(x) = 2e2f(x) + e2r(x) = e2x2f(x) + f(X),对任意的珍1都有f(x)+2/(x) > 0 ;则F(x)>0,则尸在1, +<»)上单调递增;尸* + 2) =f(x + 2);F(-x) = e-2x.f(-x);因为 ”2f(x + 2) = /(r)，2x.e2x+2.f(x

10、+ 2) = f(-x)； ：.e2x+2.f(x + 2) = e-2x.f(-x)F(x + 2) = F(-a),所以 F(x)关于x = l对称,则 F(-2) =尸(4),F(x)在1, +8)上单调递增；：,F (3) <F (4)即尸(3) < F(-2), .e6./ (3) <e«/(-2);U|J ew.f (3) v/(-2)成立.故。不正确；F (3) =F(-1), F(0) = F(2)故A, C 均错误；F(3) >F (2) :.ef (3) > f (2). 4 正确.故选3.【指点迷津】联系已知条件和结论，构造辅助函数

11、是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇 到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制 条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出 符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的 函数,构造函数时往往从两方面着手:根据导函数的“形状”变换不等式“形状”； 若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【举一反三】【2020河南南阳一中期中】己知函数/(X)的定义域为H,其导函数为 f3对任意xeR,恒成立，且/ (1) =1,则不等式叭x)>e,的解集为()A.B. 1, +x) C. (-8,0) D. (-

12、co, 0【答案】A【解析】./。)>/(幻，C>。,e*(e y设如、)=绰，则 g，(x) = ")>o, e(exY.g（x）在/e上是增函数.丁靖（*）/,lJg（x）g （ 1） =" ex ee：.x ,故选 A .类型三追根求源，抽象问题具体化【例3】【2020届江西南昌二中期末】定义在/?上函数“X）满足/（t） = /（x）,且对任意的不相等的实数和9包。，内）有如上上口。成立，若关于x的不等式 内一/（2侬-扇-3）之23）-/（-2m+山+3）在工41,3上恒成立，则实数m的取值范围是A.1 t ln61十2e 6B.1 ln3+ 2

13、e 6C.一,2 +eln3D.【答案】B【解析】结合题意可知/（X）为偶函数，且在0，）单调递减，故/(2"a-lar-3)>2/(3)-/(一2"a+liu+3)可以转换为2侬-丘-3）之/对应于xel,3恒成立，即|2心-山-3区3即 0 < 22i-Inx < 6 对 x £ 1,3恒成立B|J 2/h>H2/h<x6 + lnx对x«l,可恒成立A /、 nx、 1 -Iilv令 g(x) = ，则 g (M =X所以在1,6）上递增，在亿3上递减,令 (x) =6 + lnx=在1,3上递减X所以口"小

14、牝产故机61 t ln3,1 + 2e 6，故选B.【指点迷津】函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，它们应用贯穿于整个高中数学的教学 之中.学习中应注意牢记奇偶性、单调性的不同表达形式.对于所遇到的数学问题， 应注意挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的奇偶性单调性解题，能起 到化难为易、化繁为简、化抽象为具体的作用.【举一反三】【安徽省淮南市2018届二模】己知函数f(x)是定义在R上的奇函数， 且在区间(8,0上单调递增，若实数a满足f(2iog3a)>.f(VI),贝必的取值范围是 ()A. (VX+8) B. (1,V3) C. (0,V3) D.(8,施)【答案】A【解析

15、】:函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(-知0上单调递增，f (x)在R上都是增函数，则不等式f(2og3a)> -f(-V2),等价为f(2og3a)> f(V2),即210g3a >72=2,则log3a > |= log332,即 a>32 = y/3即实数a的取值范围是(b,+8),故答案为：A三.强化训练1 .【辽宁省部分重点高中2019届9月联考】已知函数f(x)为定义在.3,仁2上的偶 函数，且在30上单调递减，贝IJ满足f(x2 + 2x-3) < f(x2 +的x的取值范围() A. (1,+8) B. (0,1 C. (1,V2

16、D. 0,V2|【答案】c【解析】因为函数f(x)为定义在.3,仁2上的偶函数，所以-3 +t2 = 0,t = 5, 因为函数f(x)为定义在-3,3上的偶函数，且在3,0上单调递减， 所以f(x2 + 2x-3) < f(x2 + 2)等价于f(x2 + 2x-3) < f(-x2-l),即0 > -x2 + 2x-3 > -x2-l > -3,1 <x< V2,选 C.2 .【2020甘肃甘南一中期末】)定义域为R的可导函数产,的导函数八x),满足 f(x)> fx),且F ( 1)=2,则不等式f(x)<2e*T 的解集为()A.

17、(L+OO)B. (-oo,2)C. (fl) D. (2,4oc)【答案】A【解析】令g(x) =华，则不等式式等价为绰一， ee e/(1) =2,(1)= M 即不等式等价为以 X)<g (l)，e e函数g(x)的导数短/加一/, evf(x)>/(%), g，a)<o,即g(x)在r上是减函数,则不等式月(X)<g ( 1)的解为X> 1 ,二不等式的解集为0,m),故选A.3.【云南省曲靖市第一中学2019届9月监测卷二】己知函数y=f(x)为奇函数， 当x < 0时,f'(x) > 0且f(2) = 0,则不等式xf(x) <

18、; 0的解集为()A. (-2,0) U (0,2) B. (-2,0) U (2,+09)C. (-oo,-2) U (0,2) D.(8,2) U (2, +oo)【答案】A【解析】由题意，函数f(x)为奇函数，且当x v 0时，f'(x) > 0,即函数f(x)在(-8,0) 为单调递增函数，所以在(0, +8)也为单调递增函数，义由f=f(-2) = 0.所以当(-2,0),(2,+8)时，f(x)>0,当(8,2),(0,2)时，f(x) < 0,又由不等式xf(x) <。，即朦)>2或施>°0 , 所以解集为(-2,0) U (

19、0,2),故选A.4.【2020福建宁德期末】己知奇函数/(幻在区间(0收)上满足：/(x)+ /(x)>o,且 /(-1) = 0,则不等式4(x)v0的解集为()A. (-1, 0)kJ(0, 1)B. (-00， -i)kJ(o , 1)C. (-00, -1)51，+x)D. (-1 , 0)51，+8)【答案】A【解析】f(%)在区间(0,y)上满足：xf,(x) + f(x)>0,可知函数引力在(0,内)上为增函 数，L/(-l) = 0,可得/ (1)=0, /(0) = 0,所以 V(x)V (1),可得xvl,故/*)在(-8,0)上为减函数，可得人>-1,

20、故不等式加幻0的解集为.WOvxvl,或-IvxvO,故选A.5.【河北省武邑中学2019届第一次调研】己知奇函数f(x)是定义在R上的连续函数，满足大2)=且f(x)在(0,+8)上的导函数f'(x) vx2,则不等式f(x)>亭的 OO解集为()A. (-2,2) B.(8,2) C. (-co, D.【答案】B【解析】设g(X)=触)33 + 1,则山=f'(X)x2. of(x)在(0,+8)上的导函数f(X)< x2/.g (x) = f (x)-x2 < 0,.g(x)在(0, +8)上为减函数,f(2)=|g(2) = f(2)+l = 0 o不

21、等式f(x) >萼的解集为(.8,2)故选B.6.12020届四川阿坝一中期末】设函数/(X)= 2M +4 , g(x)=" +4X ,其中4 vl ,若存在唯一的整数儿使得/(%)<g5),贝/的取值范围是()A. -, 1) B. , 1) C. - , -) D,上，-) 2e2e2e 42e 4【答案】D【解;析】由题意川知，存在唯一的整数X,使得 “构造函数 h(x) = (2x 一 W，则/=(2x + 1)ex.时1 -2 <X 当/(X)< 0 ;当 x >时，hf(x) > 0.2所以，函数心) = (2x-W的单调递减区间为(

22、YD,)，单调递增区间为(,用). 22函数y = A(a)在一 x = -处取得极小仁L，22 后如下图所示,由于(。)=-1，6(-1) = -2,所以，A(-l)<A(0),e结合图象可知，坐，解得上<1，故选4.(- 1)次 x ( 1) “2e7.【江西省新余市第四中学2019届10月月考】已知函数f(x)的导函数为f'(x),且 对任意的实数x都有f'(x) = e-x(2x +)f(x) (e是自然对数的底数)，且f(0) = 1, 若关于x的不等式f(x)m < 0的解集中恰有唯一一个整数，则实数m的取值范围是( )A.6,。) B.6,0 C

23、.(.？0 D.(.篙勺【答案】B【解析】对任意的实数x都有f'(x)=铲(2乂 +1)f(x),变形得至ijf'(x) +f(x)ex=2x + |构造函数 G(x) = f(x)ex,G(x) = 2x + |故G(x) = x2 + |x + c,根据f(0) = 1,得到G(0) = c = 1, G(x) = x2 + |x + 1, 进而得到f(x)= 智上,，对函数求导得到f'(x)= 一眸+："用根据导函数的正负 得到函数在(-8,|) , (-：, 1) / , (1, 4-00)7, A-|,yA, B(l,yB)由此可 得到函数的图像，不

24、等式f(x)m < 0的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为-1,故f(l) <m<解得m的范围是:(-泗.8.12020河南高三月考】己知函数/")是奇函数/(x)(xeR)的导函数，且满足x>0时，+则 *-2019)/(刈>。的解集为()XA. (T0)U(L2019)B. (-2019,-1)U(1.2019)C. (0.2019)D. (Tl)【答案】c【解析】设 g(x)= InX / (x), g'(x) = L /(x) + Inx / (*) < 0 , X可知函数g(x)在X>O时单调递减，又g=。，可知函数g(x) = lnx/(x)在(0,1)大于零，且ln<0,可知/(x)vO,同理在。,")上，/«<0,可知函数f0)在(0,1)和。,河)均有f(x) < 0,又y = f(x)(x R)为奇函数,则在区间(-1,