2020版高考数学(理)解析几何第五节抛物线

1、第五节抛物线考纲要求1 .掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2 .掌握抛物线的简单几何性质 （范围、对称性、顶点、离心率 ）.3 . 了解抛物线的简单应用.4 .理解数形结合思想.突破点一抛物线的定义及其应用抓牢双基自学回扣基本知识抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线.基本能力一、判断题（对的打，错的打“X”）（1）平面内与一个定点 F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.（）（2）AB 为抛物线y2=4x的过焦点F 的弦，若 A（xi,yi）,B（x2,y2）,则xix2=1,y

2、iy2 =-4,弦长 |AB| = Xi + X2 + 2.（）答案：（1）X （2）V二、填空题1 .已知动点P到定点（2,0）的距离和它到直线1: x= 2的距离相等，则点 P的轨迹方 程为.答案：y2=8x2 .已知抛物线 C: y2= x的焦点为F , A（Xo, yo）是C上一点，|AF | = 5xo,则Xo =. 答案：13 .已知F是抛物线丫2=*的焦点，A, B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3,则线 段AB的中点到y轴的距离为.答案：54研透高考，深化提能全析考法考法一抛物线的定义及应用例1 （1）（2019赣州*II拟）若点A的坐标为（3,2）, F是抛物线y2

3、= 2x的焦点，点 M在 抛物线上移动时，使|MF|十|MA|取得最小值的 M的坐标为（）A. (0,0)B.& 1 ：C (1, V2)D . (2,2)(2)(2019襄阳测试)已知抛物线y=52的焦点为F,准线为l, M在l上，线段MF与抛物线交于点 N,若|MN |=42|NF|,则|MF |=()A. 2B. 3C. 2D. 3解析(1)过M点作准线的垂线，垂足是 N,则|MF|十|MA|=|MN|十|MA|,当A, M, N三点共线时，|MF |十 |MA|取得最小值，此时 M (2,2).(2)如图，过N作准线的垂线 NH,垂足为H.根据抛物线的定义什可知 |NH|=|N

4、F|,在 RtANHM 中，|NM| = /2|NH|,则/ NMH =45 ./在4MFK 中，/ FMK = 45 ,所以 |MF |= 42|FK|.而|FK|= 1.所以 |MF |1c=中.故选C.答案(1)D (2)C方法技巧利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距 离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线 距离有关问题的有效途径.考法二焦点弦问题 焦点弦的常用结论以抛物线y2=2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(Xi, y。，B(X2, y2), A,

5、B在准线上的射影为 Ai, Bi,则有以下结论：2P2(1)X1X2= 4 , y1y2=- P ；(2)|AB|=X1+X2+P=S22L0(其中。为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦；*+*|=P为定值；(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(5)以AF (或BF)为直径的圆与y轴相切；(6)以AiBi为直径的圆与直线 AB相切，切点为 F , /AiFBi = 90°(7)A, O, Bi三点共线，B, O, Ai三点也共线.例2 (2019长沙四校联考)过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P, Q两点，与抛物线的准线交于点M ,且

6、肃 =31P ,则|可|=()3A.22B.34C.33D.4解析如图，不妨设 Q点在第一象限，过 P作PN垂直于抛物线的准线，垂足为 N,由抛物线定义可知|PF |=|PN|,又因为FM =3FP ,所以前=2封,所以 |PM|=2|PF|=2|PN|,在 RtAPNM 中，cos/ MPN =JpN1=1, |PM | 2由抛物线焦点弦的性质可知|市彳|=1 + cos/ MPN号=4.故选c. 1+2答案C方法技巧焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解.集训冲关1.考法

7、一若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2, O为坐标原点，则OFP 的面积为()1A.2B. 13C.2D. 2解析：选B 设P(Xp, yp),由题意可得抛物线的焦点为F(1, 0),准线方程为x= - 1,又点P到焦点F的距离为2, 由抛物线的定义知点 P到准线的距离为 2,，Xp+1 = 2,得11xp= 1,代入抛物线万程得|yp|=2,OFP的面积为S=2 |OF| |yp|=2X1X2= 1.故选B.2.考法二已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4,则AB中点C的横坐标是()1A.2B.2-3-5C.2D.2解析：选 C 设 A(Xi, y1), B(X2,

8、y2),则 |AB|= X1 + X2+p= 4,又p=1,x1 + x2=3,点C的横坐标是-2-2= 2.故选C.3.考法一已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C: (x+1)2+(y 5)2 =1上，则|MA|十|MF|的最小值是 .解析：依题意，由点 M向抛物线x2=4y的准线l: y=1引垂线，垂足为 Mi(图略)，则有|MA|+|MF|=|MA|十|MMi|,结合图形可知|MA| 十 |MM i|的最小值等于圆心 C(-1, 5) 到y= 1的距离再减去圆 C的半径，即等于 61= 5,因此|MA|十|MF |的最小值是5.答案：5突破点二抛物线的标准方程及性质抓牢

9、双基，自学回扣基本知识图形网1%7k标准方程y2= 2 Px(p>0)y2= - 2px(p>0)x2= 2py(p>0)x2= - 2py(p> 0)p的几何意义：焦点 F到准线l的距离范围x>0, yC Rx< 0, yC Ry> 0, x C Ry< 0, x C R焦点坐标。)(-P-。)Gp)S0- -5准线方程x=-P 2x=2y= -2y=2离心率e= 1焦半径|PF| = Xo+p|PF|=- xo + p|pf= y°+：p|PF|=-y0+-p基本能力一、判断题(对的打",错的打“X” )(1)方程y= a

10、x2(aw0)表示的曲线是焦点在 x轴上的抛物线，且其焦点坐标是j, 0 j,准线方程是x=：.()(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()答案：(1)x (2)x (3)x、填空题1 .已知抛物线的对称轴为 x轴，顶点在原点，焦点在直线2x 4y+11=0上，则此抛物线的方程是.答案：y2=22x2 .抛物线y= ax2的准线方程是y= 1,则a的值为.答案：- 743.已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A至ij x轴的距离为5,则|AF| =答案：7研透高考，深化提能全析考法考法一求抛物线的标准方程例1 (

11、1)(2019河南中原名校联考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F, O为坐标原点,M为抛物线上一点，且|MF|=4|OF|, MFO的面积为4V3,则抛物线的方程为()A. y2 = 6xB. y2 = 8xC. y2= 16x(2)(2019江西协作体联考=5.若以MF为直径的圆过点A. y2 = 4x 或 y2 = 8xC. y2= 4x 或 y2= 16x解析(1)设 M(x, y),D y2=15x)设抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上，|MF|(0,2),则C的方程为()B. y2 = 2x或 y2 = 8xD. y2= 2x 或 y2= 16

12、x因为|OF|=p, |MF|=4|OF|,所以|MF|=2p,由抛物线定义知x+p=2p,所以 x=3p,所以 y= ±73p,又 MFO 的面积为 443,所以 2xgx <3p= 4y3, 解得p= 4(p= 4舍去).所以抛物线的方程为y2 = 8x.(2)由已知得抛物线的焦点 F§, 0 ；,设点 A(0,2),抛物线上点 M(x。，y°),则左 = g, - 2 ；,Am =, y02 .由已知得：AF 疝=0,即 y28%+16=0,因而 y()=4,M，4；由|MF|=5得，8Pp716 =5,又 p>0,解得 p= 2 或 p= 8,

13、故选 C.答案(1)B (2)C方法技巧求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种.(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系.(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题.考法二抛物线的几何性质例2 (1)(2019兰州双基过关考试)抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线 焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距离为()A. 4B. 8C . 16D. 32(2)(2018赣州二模)抛物线C： y2=2px(p>0)的焦点为F, A是抛物线上一点， 若A到

14、F 的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1,0为坐标原点，则p的值为()A. 1C. 3解析(1)设抛物线的准线方程为 物线的性质有|PF|=p+6=10,解得 距离为8.(2)不妨设A(X0, y。)在第一象限， x0 + p= 2x0, 由题意可知1 PS OAF 2 2 y。 1，B. 2D. 4x=- p(P> 0),如图，则根据抛p= 8,所以抛物线的焦点到准线的x)= p，即ly0=±又二点 A在抛物线 y2=2px上，1p2= 2pX p,即 p4=16,又p> 0,p= 2,故选 B.答案(1)B (2)B方法技巧用抛物线几何性质的技巧涉及抛

15、物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、 对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题.集训冲关1 .考法一顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(-4, 2)的抛物线的标准方程是()A. y2=xB x2=8yC. y2= 8x 或 x2 = yD. y2= x 或 x2 = 8y解析：选D 设抛物线为y2=mx,代入点P(-4, 2),解得m=- 1,则抛物线方程为y2= x；设抛物线为x2一 8y.2.考法二已知抛物线 相交于点M,则|MF|=(C： y2=4x的焦点为F,点A(0, -73).若线段FA与抛物线C )B-5B. 32 C.3解析：选A

16、 由题意,F(1,0),3D.y|AF|=2,设|MF|=d,则M到准线的距离为 d, M的横坐标为d-1,由三角形相似，可得d-1 2d,所以d = *故选A.33.考法一、已知A是抛物线y2= 2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|=4时，/ OFA=120°,则抛物线的准线方程是 ()A. x= 1B. y= - 1C. x= - 2D. y=- 2解析：选A 过A向准线作垂线，设垂足为 B,准线与x轴的交点为D.因为/ OFA =120 ,所以 ABF为等边三角形，/ DBF = 30°,从而p=|DF|=2,因此抛物线的准线方程

17、为 x= 1.选 A.课时跟踪检测1.A级基础题一一基稳才能楼高(2019石家庄模拟)抛物线y= 2x2的准线方程是()A.1 x= 2B.C.D.1 y=8= ny,代入点P(-4, 2),解得n=8,则抛物线方程为 x 1 1x =Qy,其准线万程为 y= 8.2.已知抛物线C与双曲线x2y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C的方程是()A. y2=及V2xC. y2= "x解析：选D 由题意知双曲线的焦点为(一6，0), (V2, 0).设抛物线 C的方程为y2= 笠px(p>0),则p=，2,所以p=242,所以抛物线 C的方程为y2= =42x.故选D.3.

18、 (2019齐齐哈尔一模)若抛物线x2=4y上的点P(m, n)到其焦点的距离为 5,则n =解析：选D 抛物线y= 2x2的标准方程为B. y2= ±2xD. y2=如/2xA.19了B.C. 3D. 4解析：选D 抛物线x2=4y的准线方程为y= 1,根据抛物线的定义可知，5=n+1, 得n=4,故选D.4. （2019衡水金卷高三联考）抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F, 一平行于x轴的光线从点 M（3,1）射入

19、，经过抛物线上的点 A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（）B.D.169解析：选B将y= 1代入y2 = 4x可得x= 4,即a, 1 j由题可知，直线 AB经过焦点1 0F（1,0）,所以直线 AB的斜率k=1一4T3,故选B.5. （2019珠海模拟）已知抛物线 y2=4x的焦点为F,准线为1,点P为抛物线上一点, 且在第一象限，PAX1,垂足为A, |PF|=4,则直线AF的倾斜角等于（）7兀 A A.122兀B.JC 3_n:解析：选B由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为（1,0）,准线1的方程为x=1,由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4,所以点P的坐标为（3,

20、2内），因此点A的坐标为（一1, 2/3）, 所以kAF=29-0 =® 所以直线AF的倾斜角等于故选B.1 136. （2019江苏高邮模拟）抛物线y2=：x的焦点坐标是 .解析：由于抛物线y2=2px的焦点坐标为0：因此抛物线y2=4x的焦点坐标为“答案：2 0B级保分题一一准做快做达标1. （2019武汉调研）过抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点F,且斜率为43的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点 N在l上且 MN ±l,若|NF |=4,则 M到直线 NF的 距离为（）A.乖B. 2色C. 3j3D. 272解析：选B二.直线 MF的斜率为

21、 ® MN ±l, Z NMF =60°,又|MF|=|MN|,且|NF |=4,. NMF是边长为4的等边三角形，M到直线NF的距离为243.故选B.2. （2019长沙质检）设经过抛物线 C的焦点的直线l与抛物线C交于A, B两点，那么 抛物线C的准线与以 AB为直径的圆的位置关系为 （）A.相离B.相切C.相交但不经过圆心D.相交且经过圆心解析：选B 设圆心为M,过点A, B, M分别作准线l的垂线，垂足分别为 Ai, Bi, 1Mi,则|MMi|=2（|AAi|十|BBi|）.由抛物线定义可知 |BF| = |BBi|, |AF|= |AAi|, . AB

22、|= |BBi| -i+ |AAi|, |MMi|=2|AB|,即圆心 M到准线l的距离等于圆的半径，故以 AB为直径的圆与 抛物线C的准线相切.3. （20i9河南中原名校质检）已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为 M,3N为抛物线上的一点，且满足|NF| = 2-|MN|,则点F至ij MN的距离为（）.iA.2B iC.V3D. 2解析：选B 由题可知|MF| = 2,设点N到准线的距离为d,由抛物线的定义可得 d=|NF|, 因为1NfnMNI,所以 cos/ NMF = jM = =乎所以 sin/ NMF =，JiH4. （20i9辽宁五校协彳体模考）抛物线x2=4y

23、的焦点为F,过点F作斜率为七的直线l 与抛物线在y轴右侧的部分相交于点 A,过点A作抛物线准线的垂线， 垂足为H,则4AHF 的面积是（ ）A. 4B. 3电C. 45D. 83解析：选C 由抛物线的定义可得 AF|=|AH|,二直线AF的斜率为3, .直线AF的/ =i ，所以点F至ij MN的距离为|MF|sin/ NMF =2X2=i,故选 B.倾斜角为30°, AH垂直于准线，/FAH= 60°,故4AHF为等边三角形.设A*, m "；,4m>0,由 |AF|=|AH|,得号1 = 2 14+1 解得 m=2邓,故等边 AHF 的边长 |AH |=

24、 4,1 AHF 的面积是 1X4X4sin 60 = 443.故选 C.5. (2019邯郸质检)已知抛物线y2=2px(p>0)过点A& <2 其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为 M ,若MB = XAB ,则实数 入为()B.A.C. 2D. 3解析：选C 把点A§,中，弋入抛物线的方程得2=2pXT，解得p=2,所以抛物线2的方程为 y2 = 4X,则 B( 1,0)，设 M 费，yM ；,则 AB = -y/2 ；, MB =/ 、看 、一 一 _1_yM=_3.1 岸，yM由MB =入AB ,得S 42 解得入=2或七1(舍去)，故选

25、- yM = - /2 入C.6. (2019辽宁葫芦岛期中)已知直线1:寸3x ya=0与抛物线x2=4y交于P, Q两点,过P, Q分别作l的垂线与y轴交于M, N两点，若|MN|=163,则a=()3B. 1D. 2A. 1C. - 2解析：选D 直线l的方程为43x y a=0, ,.直线l的倾斜角为60°,二,直线l与 抛物线x2=4y交于P,Q两点，过P,Q分别作l的垂线与y轴交于M , N两点，且|MN |=p,316%/3I V3x y a= 0,9|PCQ=?-sin 60°=8.设 P(xi, W), Q(x2, 丫2),联立方程，得I2得 x24叱33

26、x = 4y,x+4a=0,由 A>0 得 av3,xi + x2=4V3, x1x2 = 4a,|P0|=小 + 3 /Xi+x2)2-4xix2 =8,即 48-16a= 16,a=2,故选 D.7. (2019华大新高考质检)已知抛物线 C: y2=4x,点D(2,0), E(4,0), M是抛物线 C上异于原点O的动点，连接 ME并延长交抛物线 C于点N,连接MD, ND并分别延长交抛物线C于点P, Q连接PQ若直线MN, PQ的斜率存在且分别为 , k2,则*=()k1B. 3D. 1A. 4C. 2解析：选 C 设 M(xi, yi), n(x2, y2), P(x3, y3

27、), Qx4, y4),则直线 md 的方程为 xX1y1 2y+2,代入抛物线 C: y2=4x,整理得 y2 4。；8=0,所以 yiy3=8,即 yz得从而a =器故噱J)同理可得噂一/因为町E，N三点8.88,V2V1 yVi,k1 一一 22yi y2X2 X1 Y2 _义4 41共线，所以 一%= 一%,得 yiy2=- 16,所以 k2= /2 11X1-4 X2 4316 1622y2 yiy1y2.故选C.8. (2019辽宁五校联考)抛物线C: y2=4x的焦点为F, N为准线l上一点，M为y轴上一点，/ MNF为直角，若线段 MF的中点E在抛物线C上，则 MNF的面积为(

28、A.C.8. V2D. 3V2解析：选C 如图所示，不妨设点 N在第二象限，连接 EN,易 知F(1,0),因为/ MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM | = |EF|=|EN|,又E在抛物线 C上，所以EN±l, E g V2 所以 N(- 1, 6)，M(0, 26)，所以 |NF| = &, |NM| = g,所以 MNF 的面积为322,故选C.9. (2019河南百校联考)已知抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MO|=|MF |=2(。为坐标原点)，则 OivtMF =()A.B.C.D.解析：选A 不妨设M(m

29、, V2Pm)(m>0)，易知抛物线 C的焦点F的坐标为，0 ；;m2+2pm= 4, 因为|MO|=|MF|=3,所以2p 3lm + 2=2，解得 m = 2, p= 2,所以 O/t= g, V2mF1，所以点击=：-2-4.故选A.10. (2019石家庄毕业班摸底)若抛物线y2=4x上有一条长度为 10的动弦AB,则AB 的中点到y轴的最短距离为.解析：设抛物线的焦点为 F,准线为l: x= 1,弦AB的中点为M,则点M到准线l的距离d=|AF|+|BF|>IABJ所以点m到准线i的距离的最小值为 5,所以点M到y轴的 最短距离为51 = 4.答案：411. （2018北

30、京高考）已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线y2=4ax截得的 线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 .解析：由题知直线l的方程为x=1,则直线与抛物线的交点为 （1, i2，a）（a>0）.又直 线被抛物线截得的线段长为4,所以4 = 4,即a=1.所以抛物线的焦点坐标为（1,0）.答案：（1,0）12. （2019广州海珠区一模）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点F与双曲线x"y2= 1的右3焦点重合，若 A为抛物线在第一象限上的一点，且 |AF| = 3,则直线AF的斜率为 .解析：二双曲线1y2=1的右焦点为（2,0）, .抛物线方程为 y2=8x,

31、 |AF| = 3, 3Xa+2=3,彳导Xa=1,代入抛物线方程可得yA=i2、/2.丁点A在第一象限，A（1,2烟,直线AF的斜率为令与=-272.答案：24213. （2019唐山五校摸底）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线交抛物线于 A, B两 点，若 |AF|=2|BF| = 6,则 p=.解析：法一：设直线AB的倾斜角为“，分另I过 A, B作准线l的垂线AA , BB , 垂足分别为 A , B ,则AA' |=6, |BB' |=3,过点B作AA 的垂线BC,垂足为C, 则|AC|=3, |BC|=6&, / BAC= a,所以 sin

32、a= 6p= 22,所以 AB|=咒=9,解得 p 93sin a=4.法二：设直线AB的倾斜角为a,不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，则AF|=p一 ,1 cos a尸+曰；,则有= 2><a,解得cos 3,又1所上个屋=6,所以P=4.法三:由结论答案：414. （2019武汉调研）已知抛物线 C: x2=2py（p>0）和定点M（0,1）,设过点M的动直线 交抛物线C于A, B两点，抛物线 C在A, B处的切线的交点为 N.若N在以AB为直径的圆上，求 p的值；(2)若4ABN的面积的最小值为 4,求抛物线C的方程.解：由题意知，直线 AB的斜率一定存在，设直线 AB: y=kx+1, A(xi, y”，B(x2, y?),将直线AB的方程代入抛物线 C的方程得x2-2pkx- 2p= 0,则 Xi+X2=2pk, X1X2=