(浙江专用)2020版高考数学直线、平面垂直的判定与性质讲义(含解析)

1、§ 8.5 直线、平面垂直的判定与性质取新考明考情考向分析1 .理解空间线卸垂直、卸卸垂直的 判定定理和性质定理.2 .理解直线与平面所成角的概念， 了解二面角及其平面角的概念 .直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内 容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应 用等内容.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有 较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.基础知识自主学习一网阳昭毗知识训鳞鞋幼触目一知识梳理1 .直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面a互相垂直，记作l，a ,直线l叫做平面a的垂线，平面 a叫做直线l的垂面.

2、(2)判定定理与性质定理文字语百图形语言何语日判定定理一条直线与一个平囿内 的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面 垂直错误！？ l ± a性质定理垂直于同一个平囿的两条直线平行一r错误！ ？ a/ b2 .直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行,或在平面内，它们所成的 角是0 的角.(2)范围：0,.3 .平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在

3、两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语后图形语言何语日判定定理一个平囿过另一个平囿 的垂线,则这两个平面垂 直£1错误！？ a 1 3性质定理两个平囿垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平囿垂直幺A1错误！？ U a:概念方法微思考】1 .若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线

4、所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90。的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面2 .两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线 与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面 基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)直线l与平面a内的无数条直线都垂直，则 l，a.( x )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( X )直线 a，a ,

5、b，a ,则 a/ b.(V )(4)若 a，§ , a，§ ,则 a / a .( x )(5)若直线a，平面a ,直线b/ a ,则直线a与b垂直.( V )(6)若平面a内的一条直线垂直于平面3内的无数条直线，则 a ± 3 .( X )题组二教材改编2 .P73T1下列命题中错误的是（）A.如果平面a，平面B,那么平面 a内一定存在直线平行于平面（3B.如果平面a不垂直于平面（3 ,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面（3C.如果平面 a _L平面 y ,平面 3 _L平面 y , a Cl § = l ,那么l _L平面丫D.如果平面a,平面&

6、#167; ,那么平面 a内所有直线都垂直于平面3答案 D解析 对于D,若平面a，平面（3 ,则平面a内的直线可能不垂直于平面（3 ,即与平面（3的关系还可以是斜交、平行或在平面3内，其他选项均是正确的.3.P67练习T2在麴隹P ABN,点P在平面ABC的射影为点 O若PA= PB= PC则点O是ABC 心；（2）若 PAL PB, PBL PC PCX PA 则点。是 ABC勺 心.答案（1）外（2）垂解析（1）如图1,连接OA OB OC OP在 RtA POA RtA POBF口 RtA POB, PA= PC= PB所以OA= OB= OC即O为乙ABC勺外心.户图1图216（2）如

7、图2,延长AQ BO CO别交BC, AC AB于点H, D, G. PCI PA, PBL PC PAA PB= P, PA PB?平面 PAB PCI平面 PAB 又 AB?平面 PAB PCL AB ABL PQ PS PC= P, PO PC?平面 PGC . ABL平面PGC又CG 平面PGC .ABL CG 即 CE ABC& AB 上的高.同理可证 BQ AH分别为 ABC边AC BC上的高，即。为乙ABC勺垂心.题组三易错自纠4 .（2018 台州模拟）若l ,m为两条不同的直线，a为平面，且l，a ,则“m/ a”是“ mll ” 的（）B.必要不充分条件A.充分不必

8、要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由l，a且m/ a能推出niL l ,充分性成立；若l，a且mL l ,则m/ a或者n? a ,必要性不成立， 因此“ m/ a ”是“ ml l ”的充分不必要条件，故选 A.5 .如图所示，在正方体 ABCDABCD中，点Q M N分别是线段 BQ DD, DC的中点，则 直线OMf AC, MN勺位置关系是（）A.与AC MN匀垂直B.与ACii直，与MN垂直C.与AC垂直，与 MN直D.与AC MN匀不垂直答案 A解析 因为DD，平面ABCD所以ACL DD,又因为ACL BD DDA BD- D,所以ACL平面BDDB,因为O

9、M平面BDDB,所以OM_ AC设正方体的棱长为 2,则 OM= 1 + 2 =小,MN= <1 + 1 =小，ON=41+4 = 5,所以O触mN = ON,所以OM_ MN故选A.6 .如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆 O所在的平面，点 C是圆周上不同于 A, B 的任意一点，M N分别为VA VC的中点，则下列Z论正确的是 （）A. MN/ ABB.平面VACL平面VBCC.MNW BC所成的角为45D.OCL平面 VAC答案 B解析 由题意得 BCL AC因为 VA1平面ABC BC?平面ABC所以VA! BC因为AS VA= A,所以BC1平面 VAC因为BC?平面

10、VBC所以平面 VACL平面VBC故选B.题型分类深度剖析IUM津度制折点谱点*的完题型一直线与平面垂直的判定与性质师生扶研例1如图所示，在直三棱柱 ABC ABC中，AB= AC AA=3, B* 2, D是BC的中点，F是CC上一点.当CF2时，证明：B1F，平面ADF证明 因为AB= AC, D是BC的中点，所以 ADL BC 在直三棱柱 ABO ABC中， 因为BB，底面ABC AD?底面ABC 所以ADL BB因为 BCT BB= B, BC BB?平面 BBCC,所以ADL平面BBCC因为BF?平面BBCC,所以ADL BF.方法一在矩形BBCC中，因为 CF=CD= 1, BiG

11、=CF= 2,所以 RtADCFRtAFCB,所以/ CFD= / CBF,所以/ BiFD= 90° ,所以 BF± FD 因为 ADA FD= D, AD FD?平面 ADF所以BF,平面ADF方法二 在 RtBBD中，BD= CD= 1, BB=3,所以 BD= ,BD+BE2= 10.在 RtBCF 中，BC=2, GF=1, 所以 BF= MBC2 + C1F2 =。5.在 RtDC叶,CF= 2, CD= 1, 所以 DF= ,CD+ cF= .5.显然 dF+ BF2=BD2,所以/ BiFD= 90° .所以BFXFD.因为 AE FD= D, A

12、D FD?平面 ADF所以BF，平面 ADF思维升华证明线面垂直的常用方法及关键（1）证明线面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性；面面垂直的性质.（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质跟踪训练1 （2019 绍兴模拟）如图，在三B隹A-BCD, ABL AQ BCL BD平面ABDL平面BCD点E, F（E与A D不重合）分别在棱AD BD上，且EF± AD求证：（1） EF/平面ABC（2） ADL AC证明 （1）在平面 ABD,因为 ABL AD EF± AQ则 AB/ EF又因为EF?平面ABC AB?平面ABC所以E

13、F/平面ABC（2）因为平面ABDL平面BCD平面 ABD 平面 BCD= BD BC?平面 BCD BCL BD所以BCL平面ABD因为AD?平面ABD所以BCL AD又 AB! AD BCT AB= B, AB?平面 ABC BC?平面 ABC所以ADL平面ABC又因为AC?平面ABC所以ADLAC题型二平面与平面垂直的判定与性质，师生共研例2 （2018 全国I ）如图，在平行四边形 ABCW, AB= AC= 3, / ACM= 90° .以AC为折痕将ACMff起，使点 M到达点D的位置，且 AB± DA证明：平面 ACDL平面ABC，一,，一2,，一(2) Q为

14、线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP= DQ= -D/A求三棱锥 Q- ABP勺体积.3 证明 由已知可得，/ BAC= 90° ,即BAL AC又 BAL AD AE AC= A, AD, AC?平面 ACD所以ABL平面ACD又AB?平面ABC所以平面 ACDL平面ABC(2)解 由已知可得，D8 CM= AB= 3, DA= 3y2.又 BP= DQ= 3DA 所以 BP= 2啦.如图，过点Q作QHAC垂足为E,则 QE/ DCS. QE= 1DC3由已知及可得，DCL平面ABC所以QEL平面ABC QE= 1.因此，三棱锥 Q- ABP的体积为 “ ab1XSaabpX

15、 QE 3=3x1x 3X2 /sin45。X1= 1.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理 (a，B , a? a ? a ! (3).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.跟踪训练2 (2018 宁波调研)如图，三棱锥 P- ABC,底面ABC是边长为2的正三角形,PAL PC PB= 2.(1)求证：平面 PA(X平面ABC(2)若PA= PC,求三棱锥 P- ABC勺体积.证明(1)如图，取AC的中点Q连接BO PO因为 ABC是边长为2的正三角形,所以 BOL AC BO=

16、3.1因为 PAL PC 所以 P0= AC= 1.因为 PB= 2,所以 OP + 0B= P。所以POL OB因为 ACT OP= Q AC OF?平面 PAC所以BOL平面PAC又OB1平面ABC所以平面PACL平面ABC(2)解 因为 PA= PC PAh PC AC= 2,所以 PA= PC= .2由知BOL平面PAC所以 VP- ABC= Vb- AP户BO= 3x2x 用乂巾乂季= $3.题型三与垂直有关的探索性问题 师生共研 例3如图，直三棱柱 ABC- ABC中，D, E分别是棱BC AB的中点，点F在CG上，已知AB= AC AA=3, BC= CF= 2.fi3 H(1)

17、求证：GE/平面ADF(2)设点M在BB上，当BMM可值时，平面 CAML平面ADF证明连接CE交ADT Q连接OF因为CE AD为ABCW中线,则O为ABC勺重心，故CF CO 2=一CC CE 3'故 OF/ CE,因为OF?平面ADF GE?平面ADF所以CE/平面ADF(2)解 当BMk 1时，平面CAML平面ADF证明如下：因为 AB= AC AD?平面ABC故ADL BC在直三棱柱 ABC- ABG中，BB，平面 ABC BB?平面 BBCC,故平面BBCC1平面ABC又平面B BCCn平面ABC= BC AD?平面ABC所以ADL平面BBCC,又 Cl?平面 BBCC 故

18、 ADLCM又 BM= 1, BC= 2, CD= 1, FC= 2,故 RtA CBIWRtA FCD易证 CM- DF,又 DFH AD= D, DF AD?平面 ADF故CML平面ADF又Cl?平面CAM故平面CAM_平面ADF思维升华对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证.途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性 途径三：将几何问题转化为代数问题.AE1平跟踪训练3如图所示的空间几何体 ABCDEFG,四边形ABCD1边长为2的正方形,面 ABCD EF/ AB EG/ AD EF= EG= 1.(1)求证：平面。尸良平面ACE(2)在AC上是否存在一点

19、H,使得EH/平面CFG若存在，求出CH的长，若不存在，请说明 理由.证明连接BD交AC于点Q则BDL AC设AB AD的中点分别为 M N,连接 MN则MIN/ BDD连接 FM GN 则 FM/ GN 且 FM= GN所以四边形FMNG；平行四边形，所以MN FG 所以BD/ FG所以FGL AC由于AEL平面 ABCD所以AE! BD所以FGL AE又因为AS AE= A, AC AE?平面ACE所以FGL平面ACE又FG 平面CFG所以平面 CFGL平面 ACE(2)解 存在.设平面ACS FG于Q则Q为FG的中点，连接EQ CQ取CO勺中点H,连接EH由已知易知，平面 EFG/平面A

20、BCD又平面AC田平面EFG= EQ平面ACE平面ABC呼AC所以CH/ EQ又CH= EQ=岁，所以四边形EQCH;平行四边形，所以 EH/ CQ又CQ平面CFG EH?平面CFG所以EH/平面CFG.12所以在AC上存在一点H,使得EH/平面CFG且CH=:-.课时作业基础保分练1.已知互相垂直的平面a , (3交于直线l ,若直线 m n满足m/ a , n, B ,则()A. m/ lC.n± lB. m/ nD.m! n答案 C解析 因为a n B =1 ,所以1? B ,又n，B ,所以n，i.2.（2019 宁波模拟）已知直线1 ,rnW平面a , B ,1 ? a ,

21、m? 3，则下列命题中正确的是（）A.若 H m则必有a / BB.若1，m则必有a X 3C.若1，B ,则必有a 1 3D.若a ± 3 ,则必有m± a答案 C解析 对于选项A,平面a和平面3还有可能相交，所以选项 A错误；对于选项B,平面a和平面3还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于选项C,因为1 ? a , 1，B ,所以a 1 3 .所以选项C正确；对于选项D,直线m可能和平面 a不垂直，所以选项 D错误.3 .如图，在四面体 D-ABC43,若AB= CB AD= CQ E是AC的中点，则下列结论正确的是（）A.平面ABCL平面ABDB.平面ABDL平面B

22、DCC.平面ABCL平面BDE且平面 ADC_平面BDED.平面ABCL平面 ADC且平面 ADC_平面BDE答案 C解析因为AB= CB且E是AC的中点，所以BE! AC,同理有DEL AC于是ACL平面BDE因为AC在平面ABCrt,所以平面 ABCL平面BDE又由于AC?平面ACD所以平面 ACd平面 BDE4 .在正方体 ABCD ABGD中，M N分别是BC, CD的中点，则（）A.MIN/ GDB.MNL BCC.MNL平面 ACDD.MNL平面 ACC答案 D解析 对于选项A,因为M N分别是BC, CD的中点，所以点NC平面CDEC,点M?平面CDDC1, 所以直线MN与平面C

23、DOD相交的直线，又因为直线 GD在平面CDDC内，故直线 MNW直线CD不可能平行，故选项 A错；对于选项B,正方体中易知 NA NC,因为点M是BC的中点，所以直线 MNW直线BC不垂直, 故选项B不对；对于选项C,假设MNL平面ACD,可得MNL CD,因为N是CD的中点，所以MC MD,这与MC MM盾，故假设不成立，所以选项C不对;对于选项 D,分另1J取 BiG, CD的中点P, Q 连接PM QN PQ 因为点M是BC的中点， ,11所以 PM CC且 PM= 2。&1同理 QN CG且 QN= CG所以PM/ QNM P阵QN所以四边形PQNMJ平行四边形.所以PQ/

24、MN在正方体中，CG± PQ PQL AG因为 Ab CC= C AC?平面 ACC, CC?平面 ACC,所以PQL平面ACC因为PQ/ MN所以MNL平面 ACC故选项D正确.5 .已知三棱柱 ABC- A1B1G的侧棱与底面垂直，体积为 *底面是边长为 43的正三角形，若 P为底面ABG的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（答案 B解析 如图，取正三角形 ABC勺中心Q连接OP则/ PAB PA与平面ABO成白角.因为底面边长为y3,所以 AD=杂乂卷=3, A0= 2AD= 2X3=1. 2233 2Cl三棱柱的体积为 乎x（，3）2AA=9,解得 AA=即 0P= AA

25、=6所以 tan / PAO= OP=小, OATT因为直线与平面所成角的范围是0,-2,兀所以/ PAO=-.36 .如图，已知 PAL平面ABC BC-AC则图中直角三角形的个数为 答案 4解析 PAL平面 ABC AB, AC BC?平面 ABC. PAL AB, PAL AC PAI BC 则 PAB PAC为直角三角形.由 BCL AC 且 AS PA= A,得 BCL平面PAC从而BC1 PC因此 ABC PBC也是直角三角形.7 .如图，在斜三棱柱 ABC- ABG中，/ BAC= 90° , BCAC则G在底面ABC上的射影 H必 在直线 上.答案 AB解析 . AC

26、L AB ACL BC, ABA BC= B, . . ACL平面 ABC又 AC?平面ABC 1平面 ABC，平面 ABC. G在平面ABC上的射影H必在两平面交线 AB上.8 .如图所示，在四锥P- ABCD, PAL底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上的一动点, 当点M满足 时，平面MBDL平面PCD只要填写一个你认为正确的条件即可 )答案 DML PC或BML PC等)解析 .PAL底面 ABCD BDL PA 连接 AC 贝U BDL AC 且 PA AC= A,，BDL平面 PAC BDL PC当DM_ PC或BML Pq时，即有PC1平面MBD而PC?平面PCD 平面 MBD

27、_平面PCD9 .如图，在长方体 ABCP ABCD中，AB= BC= 2, AA= 1,则AC与平面 ABCD所成角的正 弦值为.答案3解析连接AC,则/ ACAi为AC与平面 AiBCD所成的角.因为 AB= BC= 2,所以 AG = AC=平,又 AA= 1,所以 AC=3,一AA 1所以 sin Z ACAi =-=-AC 310 .如图，在棱长为 2的正方体 ABCD- ABCD中，E为BC的中点，点 P在线段DE上.点P到直线CC的距离的最小值为答案2-r5解析 点P到直线CC的距离等于点P在平面ABCDE的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P',显然点P到

28、直线CG的距离的最小值为 P' C的长度的最小值.当P' C± DE时，P' C的长度最小，此时P' C=2X 1、22+1211 .如图，在四棱锥 P-ABCD3,底面 ABCD1矩形，点E在PC上(异于点P,平面ABE与棱P改于点F.(1)求证：AB/ EB(2)若AF，EF,求证：平面 PADL平面ABCD证明(1)因为四边形ABCD1矩形， 所以AB/ CD又AB平面PDC CD?平面PDC所以AB/平面PDC又因为AB?平面ABE平面 ABEH平面PDC EF,所以AB/ EF(2)因为四边形ABC比矩形，所以ABL AD因为 AFL EF,

29、 (1)中已证 AB/ EF,所以ABL AF又 ABI AD由点E在PC上(异于点C),所以点F异于点D,所以 AFn AD= A AF, At?平面 PAD所以ABL平面PAD又AB?平面ABCD所以平面PADL平面ABCD12.(2019 浙江省台州中学模拟 )如图，在四棱锥 P- ABC珅，PAL平面 ABCD PA= AB= BC =，3, AD= CD= 1, / AD住120 ,点M是ACM BD的交点，点N在线段PB上，且PNh；PB(1)证明：MN/平面PDC(2)求直线MNW平面PAO成角的正弦值(1)证明 因为 AB= BC AD= CD所以BM直平分线段AC又/AD(

30、120 , 113所以 MD= 2AD= 2, A阵 y.所以AO ,3.又AB= BO笆，所以 ABC是等边三角形，3 BM所以BM= 2,所以而3,1又因为PN=二PB所以BM BNMDT NP3,所以MN PD又MN平面PDC PD?平面PDC所以MN/平面PDC（2）解 因为PA1平面 ABCD BD?平面ABCD所以BDL PA又 BDL AC PA? AC= A, PA, AC? 平面 PAC所以BDL平面PAC由知MN/ PD所以直线MNW平面PAO成的角即直线 PD与平面PAC所成的角, 故/ DPMP为所求的角.在 RtA PAD, PD= 2,1DM 2 1所以 sin/D

31、PM= DP= 2=7 、1所以直线MNW平面PAO成角的正弦值为-.4彳技能提升练13.（2018 湖州质检）如图，在正方形 ABC计，E, F分别是BC CD的中点，G是EF的中点. 现在沿AE AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B, G D三点重合，重合后的点记为H那么，在这个空间图形中必有 （）A.AGL平面 EFHB.AHL平面 EFHC.HF，平面 AEFD.HGL平面 AEF答案 B解析 根据折叠前、后 AHL HE AHI HF不变,二AHL平面EFH B正确；.过A只有一条直线与平面 EFH垂直，A不正确;. AGL EF, EF± GH AS GH= G,

32、 AG GH?平面 HA。. . EF，平面 HA。又 EF?平面 AEF ，平面HAG平面AEE过点H作直线垂直于平面 AEF 一定在平面 HA多,不正确； 由条件证不出 HGL平面AEF .D不正确.故选B.14.（2018 全国I ）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）23解析 如图所示，在正方体 ABCD- ABCD中，平面 ABD与棱AA, AB, AQ所成的角都相 等，又正方体的其余棱都分别与 AiA, AB, AD平行，故正方体 ABCD- A1B1GD的每条棱所在 直线与平面ABD所成的角都相等.取棱AB,BB,B

33、G, GD,DD,AD的中点E,F,GH,M,N,则正六边形EFGHMN在平面与平面ABD平行且面积最大，此截面面积为S正六边形1EFGHMN 6 X X2sin603.34故选A.彳拓展冲剌练15.（2019 金华模拟）如图，在直角梯形 ABCEfr, BCLDC AEL DC且E为CD勺中点，M N 分别是AD BE的中点，将三角形 ADEgAE折起，则下列说法正确的是 .（写出所有 正确说法的序号）不论D折至何位置（不在平面AB6）,都有MN/平面DEC不论D折至何位置（不在平面ABW）,都有MNL AE;不论D折至何位置（不在平面 ABCJ）,都有MIN/ AB;在折起过程中，一定不会有