高考数学大二轮总复习增分策略专题四数列推理与证明数列的综合问题试题

1、第3讲数列的综合问题1(2015·湖南)已知a0，函数f(x)eaxsin x(x0，)记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点，证明：数列f(xn)是等比数列2(2014·课标全国)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明<.1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.热点一利用Sn，an的关系式求an1数列an中，an与Sn的关系：an.2求数列

2、通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足f(n)，且f(1)·f(2)··f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)例1数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且满足1(n2)求数列an的通项公式思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出S

3、n与n之间的关系，再求an.跟踪演练1已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn，则数列an的通项公式是_热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题例2已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设b

4、n，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn<对所有nN*都成立的最小正整数m.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩跟踪演练2(2015·安徽)设nN*，xn是曲线yx2n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标(1)求数列xn的通项公式；(2)记Tnxxx，证明：Tn.热点三数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，

5、它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果例3自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n

6、年年初M的价值an的表达式；(2)设An，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新思维升华常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值yN(1p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1nr)(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b.跟踪演练3某年“十一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，

7、北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是()A21147 B21257C21368 D21480已知数列an和bn，对于任意的nN*，点P(n，an)都在经过点A(1,0)与点B(，3)的直线l上，并且点C(1,2)是函数f(x)ax(a>0且a1)的图象上一点，数列bn的前n项和Snf(n)1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求证：数列的前n项和Tn<.提

8、醒：完成作业专题四第3讲二轮专题强化练专题四 第3讲数列的综合问题A组专题通关1(2015·成都外国语学校月考)已知数列an的前n项和Snan1(a0)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列，或者是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2若数列an的通项公式是an(1)n·(3n2)，则a1a2a10等于()A15 B12C12 D153(2015·日照一模)已知数列an的前n项和Snn26n，则|an|的前n项和Tn等于()A6nn2Bn26n18C.D.4(2015·成都七中高三上学期期中)今有女善织，日益功疾，且

9、从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织()尺布(不作近似计算)()A.B.C.D.5已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足ax，且f(x)g(x)<f(x)g(x)，若有穷数列 (nN*)的前n项和等于，则n等于()A5 B6 C7 D86若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.7等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_8对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项公式为2n，则数列an的前n项和Sn_.9已知数列

10、an的前n项和Sn满足：Sn2an2n(nN*)(1)求数列an的通项an；(2)若数列bn满足bnlog2(an2)，Tn为数列的前n项和，求证：Tn.10(2015·杭州质检)已知数列an的首项a11，an11，其中nN*.(1)设bn，求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式；(2)设cn，数列cncn2的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<对于nN*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由B组能力提高11已知曲线C：y(x>0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C

11、于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差数列Bx1，x2成等比数列Cx1，x3，x2成等差数列Dx1，x3，x2成等比数列12记数列2n的前n项和为an，数列的前n项和为Sn，数列bn的通项公式为bnn8，则bnSn的最小值为_13已知向量a(2，n)，b(Sn，n1)，nN*，其中Sn是数列an的前n项和，若ab，则数列的最大项的值为_14数列an的前n项和为Sn，a11，且对任意正整数n，点(an1，Sn)在直线2xy20上(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列Snn为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由学生用书答

12、案精析第3讲数列的综合问题高考真题体验1证明f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)eaxsin(x)，其中tan ，0.令f(x)0，由x0得xm，即xm，mN*，对kN，若2kx(2k1)，即2kx(2k1)，则f(x)0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)·x(2k2)，则f(x)0.因此，在区间(m1)，m)与(m，m)上，f(x)的符号总相反于是当xm(mN*)时，f(x)取得极值，所以xnn(nN*)此时，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常数，故数列f(xn)是首项为f(x1)e

13、a()·sin ，公比为ea的等比数列2(1)解由an13an1得an13(an)又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.(2)证明由(1)知.因为当n1时，3n12×3n1，所以.于是1(1)<.所以<.热点分类突破例1解由已知，当n2时，1，所以1，即1，所以.又S1a11，所以数列是首项为1，公差为的等差数列所以1(n1)，即Sn.所以当n2时，anSnSn1.因此an跟踪演练1an2n解析Sn，当n1时，a1S1，解得a12或a10(舍去)当n2时，由anSnSn1aa2(anan1)，因为an>0，所以anan

14、10，则anan12，所以数列an是首项为2，公差为2的等差数列，故an2n.例2解(1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S13×1226×15，所以an6n5(nN*)(2)由(1)得bn·，故Tn(1)()()(1)因此，要使(1)<对nN*恒成立，则m必须且仅需满足，即m10.所以满足要求的最小正整数为10.跟踪演练

15、2(1)解y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1,2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1)令y0，解得切线与x轴交点的横坐标xn1.所以数列xn的通项公式为xn.(2)证明由题设和(1)中的计算结果知Tnxxx222.当n1时，T1.当n2时，因为x2>.所以Tn>2××××.综上可得对任意的nN*，均有Tn.例3(1)解当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，故an12010(n1)13010n，当n7时，数列an从a6开始的项构成一个以a61306070为首项，以为公比的等比数列

16、，故an70×()n6，所以第n年年初M的价值an(2)证明设Sn表示数列an的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得当1n6时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n95>80，当n7时，由于S6570，故Sn570(a7a8an)57070××4×1()n6780210×()n6.因为an是递减数列，所以An是递减数列因为An，A882.734>80，A976.823<80，所以必须在第九年年初对M更新跟踪演练3B由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为

17、公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an4×2n1，bnn，则上午11时30分公园内的人数为S221257.高考押题精练(1)解直线l的斜率为k2，故直线l的方程为y2x(1)，即y2x2.所以数列an的通项公式为an2n2.把点C(1,2)代入函数f(x)ax，得a2，所以数列bn的前n项和Snf(n)12n1.当n1时，b1S11；当n2时，bnSnSn12n2n12n1，当n1时也适合，所以数列bn的通项公式为bn2n1.(2)证明设cn，由(1)知cn()，所以Tnc1c2c

18、3cn(1)()()()(1)因为>0，所以Tn<.二轮专题强化练答案精析第3讲数列的综合问题1Ca1S1a1，anSnSn1(a1)an1(n>0)当a1时，Sn0，是等差数列而不是等比数列；当a1时是等比数列故选C.2A记bn3n2，则数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5×315.3C由Snn26n可得，当n2时，anSnSn1n26n(n1)26(n1)2n7.当n1时，S15a1，也满足上式，an2n7，nN*.n3时，an<0；n>3时，an>0

19、.Tn4C由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d，前30项和为390.根据等差数列前n项和公式，有39030×5d，解得d.5A令h(x)，则h(x)<0，故函数h(x)为减函数，即0<a<1.再根据，得a，解得a2(舍去)或者a.所以n，数列的前n项和是1，由于1，所以n5.6(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.749解析设数列an的首项和公差分别为a1，d，则则nSnn3nn2.设函数f(x)x2，则f(x)x2x，当x(0，)时，f(x)<0；当x(，)时，f(x)>0，所以函数f(x)minf()，但6<<7，且f(6)48，f(7)49，因为48>49，所以最小值为49.82n12解析an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.9(1)解当nN*时，Sn2an2n，则当n2时，Sn12an12(n1)，两式相减得an2an2an12，即an2an12，an22(an12)，2，当n1时，S12a12，则a12，an2是以a124为首项，2为公比的等比数列，an24·2n1，an2n12.(2)证明bnlog2(an